張瀅，楊任農(nóng)，李明陽(yáng)，左家亮，陳星伊

(1.空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院，陜西 西安710051;2.西安衛(wèi)星測(cè)控中心，陜西 西安710043)

0 引言

三軸磁力儀是一種低成本的導(dǎo)航定向傳感器［1］。它通常與其他傳感器組合以獲得捷聯(lián)載體的航向估計(jì)［2-3］。以陸用車(chē)輛導(dǎo)航為例，捷聯(lián)三軸磁力儀通過(guò)測(cè)量地磁場(chǎng)矢量在體坐標(biāo)系的投影，然后借助其他姿態(tài)傳感器如慣性測(cè)量單元(IMU)提供的傾角信息將之轉(zhuǎn)換到當(dāng)?shù)厮阶鴺?biāo)系下，計(jì)算出車(chē)體與磁北方向的夾角，最后利用當(dāng)?shù)卮牌菍?duì)其進(jìn)行修正以得到車(chē)輛與地理北的夾角，即航向角。但是，磁力儀的輸出經(jīng)常受到干擾磁場(chǎng)的影響。這些磁場(chǎng)會(huì)嚴(yán)重降低航向估計(jì)的精度。因此，在使用磁力儀之前，需要對(duì)其進(jìn)行標(biāo)定。

目前，已經(jīng)有許多方法相繼被提出用于解決三軸磁力儀的標(biāo)定問(wèn)題。文獻(xiàn)［4 -5］提出兩步法并給出了閉合解。該方法通過(guò)定義中間變量，將磁力儀的非線性觀測(cè)方程轉(zhuǎn)換為線性方程形式AX =b，其中系統(tǒng)矩陣A 和數(shù)據(jù)矩陣b 都由磁力儀測(cè)量數(shù)據(jù)構(gòu)成，而X 是未知的中間變量。方程的解可以采用標(biāo)準(zhǔn)的線性最小二乘方法進(jìn)行估計(jì)。文獻(xiàn)［3，6 -8］采用橢球擬合的思想對(duì)磁力儀進(jìn)行標(biāo)定，其算法核心是采用最小二乘或自適應(yīng)最小二乘方法。文獻(xiàn)［9］針對(duì)磁力儀的觀測(cè)方程等式兩邊同時(shí)含有噪聲的情況，提出了基于總體最小二乘(TLS)算法的磁力儀標(biāo)定方法。

注意到現(xiàn)有的磁力儀標(biāo)定方法要求傳感器能夠在不同方向上進(jìn)行旋轉(zhuǎn)以獲得盡可能多的方向的測(cè)量值。但是在車(chē)載磁導(dǎo)航應(yīng)用中，車(chē)體受到路面的約束而不能實(shí)現(xiàn)空間全方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，與之固連的磁力儀將難以獲取全方向的磁場(chǎng)信息。因此，上述用于標(biāo)定磁力儀標(biāo)定的線性觀測(cè)方程將面臨病態(tài)問(wèn)題。如果沒(méi)有對(duì)應(yīng)的方法對(duì)病態(tài)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)靥幚恚敲磦鹘y(tǒng)的標(biāo)定方法將產(chǎn)生不可靠的解，甚至無(wú)解。為了獲得魯棒的解，通常需要引入正則化方法。傳統(tǒng)的正則化方法如Tikhonov 正則化［10］假設(shè)線性觀測(cè)方程的右邊部分受到噪聲干擾，而左邊部分則是精確的。但是在磁力儀標(biāo)定問(wèn)題中，系統(tǒng)矩陣A和數(shù)據(jù)矢量b 都同時(shí)被測(cè)量噪聲所干擾。因此，在選擇正則化方法時(shí)，選擇一種能夠同時(shí)處理等式兩邊誤差的方法更為合適。本文采用截?cái)嗫傮w最小二乘(TTLS)方法對(duì)車(chē)載磁力儀進(jìn)行標(biāo)定。TTLS 方法適合處理強(qiáng)病態(tài)情況下的線性最小二乘求解問(wèn)題［11］。車(chē)載磁導(dǎo)航實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，TTLS 方法能夠有效地抑制磁力儀標(biāo)定中的病態(tài)問(wèn)題，獲得良好的標(biāo)定效果。

1 磁導(dǎo)航原理

車(chē)載磁導(dǎo)航系統(tǒng)主要由三軸磁力儀和IMU 組成。由于車(chē)體并不總是在水平面上行駛，使得磁力儀很難保持水平狀態(tài)，為此在解算航向角時(shí)需要進(jìn)行傾角補(bǔ)償。傾角信息主要由IMU 經(jīng)過(guò)慣性解算實(shí)時(shí)提供。由于磁力儀與車(chē)體捷聯(lián)，其輸出值為地磁場(chǎng)在體坐標(biāo)系下的投影。為了確定航向角，這些投影值需要轉(zhuǎn)換到當(dāng)?shù)厮阶鴺?biāo)系下，其轉(zhuǎn)換公式［1］為

對(duì)ψmag進(jìn)行當(dāng)?shù)卮牌铅?的修正，即可得到車(chē)體與地理北之間的夾角，此即為航向角。δ 值可通過(guò)查詢(xún)?nèi)虼艌?chǎng)模型得到［12］。

2 傳感器誤差模型

地磁場(chǎng)的測(cè)量誤差來(lái)源于傳感器自身的誤差(非正交誤差、刻度因子誤差和零偏誤差)和載體磁場(chǎng)干擾(硬磁誤差和軟磁誤差)。在數(shù)學(xué)上，這兩類(lèi)誤差統(tǒng)一建模為總非正交誤差、總刻度因子誤差和總零偏誤差［3-4，8，13-14］。磁力儀的輸入輸出過(guò)程［4］可描述為

式中:Bs是地磁場(chǎng)矢量在傳感器坐標(biāo)系下的投影;Bb是地磁場(chǎng)矢量在體坐標(biāo)系下的投影;ρ1、ρ2、ρ3是總非正交誤差角;κ1、κ2、κ3是總刻度因子誤差;o1、o2、o3是總零偏誤差。

如文獻(xiàn)［4］所示，總非正交誤差角來(lái)源于磁力儀的制造工藝誤差、磁力儀安裝誤差以及軟磁誤差;總刻度因子誤差則來(lái)源于傳感器刻度因子誤差和軟磁誤差;總零偏誤差由傳感器零偏誤差和硬磁誤差組成。三軸磁力儀的標(biāo)定模型可對(duì)(3)式進(jìn)行逆向映射得到，即

假設(shè)捷聯(lián)三軸磁力儀在一個(gè)固定磁場(chǎng)的區(qū)域旋轉(zhuǎn)，那么磁力儀標(biāo)定后的輸出將約束分布在以當(dāng)?shù)氐卮艌?chǎng)幅值為半徑的圓球表面上，即有

式中:R 是當(dāng)?shù)氐卮艆⒖紙?chǎng)的幅值。將(4)式和(5)式展開(kāi)可得

注意到數(shù)據(jù)矢量b 的構(gòu)成可以從觀測(cè)方程中任意選取。地磁場(chǎng)測(cè)量個(gè)數(shù)q 遠(yuǎn)大于觀測(cè)方程中的未知量個(gè)數(shù)，因此(7)式是一個(gè)超定線性方程組。一旦方程組求解出未知量，即可從中解算出標(biāo)定參數(shù)的估計(jì)值和

3 總體最小二乘標(biāo)定方法

在磁力儀標(biāo)定中，系統(tǒng)矩陣A 和數(shù)據(jù)矩陣b 都受到測(cè)量噪聲的干擾，導(dǎo)致(7)式可能是不相容的。在此情況下，線性最小二乘解不再是最優(yōu)的。文獻(xiàn)［9］采用TLS 算法來(lái)處理系統(tǒng)矩陣A 和數(shù)據(jù)矩陣b 都存在誤差的情況。TLS 通過(guò)最小化以下指標(biāo)得到問(wèn)題的解:

式中:‖＊‖F(xiàn)是Frobenius 模和分別是包含誤差量的A 和b. (8)式的求解可以參考文獻(xiàn)［15］。首先，對(duì)擴(kuò)展矩陣(A，b)進(jìn)行奇異值分解，得

式中:n 是X 的維數(shù);σi是第i 個(gè)奇異值，并且有σ1≥σ2≥…≥σn+1;ui是矩陣U 的第i 列矢量，U∈?m×m，UTU = Im;vi是矩陣V 的第i 列矢量，V∈?(n+1)×(n+1)，VTV = In+1;Σ = diag(σ1，…，σn+1)。如果矩陣A 是滿列秩的，那么(8)式可得到閉合解［16］為

式中:σn+1是擴(kuò)展矩陣(A，b)的最小奇異值。從統(tǒng)計(jì)的角度看，σ2n+1In×n是誤差協(xié)方差的估計(jì)矩陣。與最小二乘方法相比，TLS 方法從協(xié)方差矩陣ATA中移去測(cè)量誤差使之能夠獲得更高精度的解，其付出的代價(jià)是TLS 的解過(guò)程，是降正則化的。

4 截?cái)嗫傮w最小二乘標(biāo)定方法

在車(chē)載磁力儀標(biāo)定中，車(chē)體的機(jī)動(dòng)受到限制。車(chē)體一般繞天向軸進(jìn)行順時(shí)針或逆時(shí)針的旋轉(zhuǎn)獲得用于標(biāo)定磁力儀的地磁測(cè)量數(shù)據(jù)。當(dāng)車(chē)體在水平面內(nèi)時(shí)，由于垂直方向上的地磁測(cè)量誤差無(wú)法被充分激勵(lì)，這些測(cè)量數(shù)據(jù)只能滿足二維磁力儀(兩個(gè)正交敏感軸固定在水平面內(nèi))的標(biāo)定，無(wú)法滿足三維軸磁力儀的標(biāo)定［6］。由這些測(cè)量數(shù)據(jù)組成的磁觀測(cè)方程，將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)矩陣A 的條件數(shù)很大，即觀測(cè)方程是病態(tài)的。如果不針對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)靥幚?，那么?chē)載磁力儀標(biāo)定問(wèn)題將可能得到不可靠的解，甚至是無(wú)解。為了求得穩(wěn)定的解，需要引入正則化方法。

在選擇正則化方法的時(shí)候，所選算法應(yīng)具備處理等式兩邊的誤差能力。TTLS 方法是基于TLS 方法發(fā)展而來(lái)的，它適用于嚴(yán)重病態(tài)的、方程等式兩邊都存在誤差的線性求解問(wèn)題。該方法的基本思想是通過(guò)截?cái)嘈〉钠娈愔祵?duì)應(yīng)的解的部分，使得解更為穩(wěn)定，其算法流程總結(jié)［11］如下:

1)計(jì)算(A，b)的奇異值分解;

2)選擇適當(dāng)?shù)恼齽t化參數(shù)k(k≤n);

3)對(duì)矩陣V 進(jìn)行分塊，

4)TTLS 的解可通過(guò)下式得到:

式中:(Ak，bk)是(A，b)的秩k 最佳逼近;到是(A，b)的對(duì)應(yīng)的奇異值;代表對(duì)解的平滑度約束;代表對(duì)數(shù)據(jù)的擬合度。隨著參數(shù)k 的增加，相繼增加相繼減小。為此k 的取值應(yīng)該是上述兩個(gè)模值平衡的結(jié)果。近些年，許多選擇正則化參數(shù)的方法相繼被提出，但是每一種方法都不能夠適用于所有的病態(tài)問(wèn)題，因?yàn)檎齽t化參數(shù)的最佳選擇是依據(jù)所解決的問(wèn)題而定的。

本文選擇L 曲線法［18］作為正則化參數(shù)確定的方法。L 曲線準(zhǔn)則是以為橫坐標(biāo)，以為縱坐標(biāo)，可得到許多點(diǎn)，這些點(diǎn)通過(guò)擬合得到一條形狀如字母“L”的曲線。曲線的拐點(diǎn)能夠較好地平衡上述兩方面的信息并且同時(shí)保持它們的取值較小。因此，拐點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的正則化參數(shù)即為L(zhǎng) 曲線法的最優(yōu)值。

5 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

為驗(yàn)證TTLS 標(biāo)定方法的有效性，將車(chē)載磁導(dǎo)航系統(tǒng)安裝在面包車(chē)體內(nèi)進(jìn)行測(cè)試。為準(zhǔn)確估計(jì)磁導(dǎo)航的精度，車(chē)體內(nèi)部獨(dú)立安裝了慣性導(dǎo)航系統(tǒng)/全球定位系統(tǒng)(INS/GPS)組合導(dǎo)航系統(tǒng)，可提供最大精度誤差為0.1°的航向角作為參考。

選擇一塊地磁場(chǎng)恒定的區(qū)域作為標(biāo)定區(qū)，測(cè)得真實(shí)磁場(chǎng)值作為參考;然后讓車(chē)在該區(qū)域內(nèi)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中盡量地改變俯仰角。車(chē)載三軸磁力儀測(cè)得旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的地磁場(chǎng)數(shù)據(jù)，用于對(duì)磁力儀的標(biāo)定。通過(guò)計(jì)算可知系統(tǒng)矩陣A 的條件數(shù)為1.36 ×1010，表明該線性觀測(cè)方程是嚴(yán)重病態(tài)的［19］。TLS 標(biāo)定方法由文獻(xiàn)［9］提出，其標(biāo)定效果要好于橢球擬合法，因此本文采用TLS 法與TTLS 法進(jìn)行對(duì)比。利用TLS 和TTLS 標(biāo)定算法處理測(cè)量數(shù)據(jù)，可得到磁力儀的標(biāo)定參數(shù)如表1 所示。

表1 參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.1 Parameter estimates

圖1 TLS 和TTLS 標(biāo)定結(jié)果對(duì)比Fig.1 TLS versus TTLS calibrated total magnetic field

圖1是TLS 和TTLS 標(biāo)定結(jié)果對(duì)比。圖中實(shí)線為車(chē)載三軸磁力儀測(cè)得的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，由于儀器以及載體干擾磁場(chǎng)的影響，未標(biāo)定的地磁曲線偏離真實(shí)磁場(chǎng)值(46 100 nT)較大，其峰峰值差異約20 000 nT. 點(diǎn)線為T(mén)LS 法的標(biāo)定結(jié)果，因?yàn)橄到y(tǒng)病態(tài)，由TLS 標(biāo)定后的測(cè)量曲線已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離了真實(shí)值，并沒(méi)有起到標(biāo)定的效果，這表明TLS 法無(wú)法應(yīng)用于病態(tài)情況下的三軸磁力儀標(biāo)定。虛線為T(mén)TLS 方法標(biāo)定結(jié)果，其標(biāo)定后的測(cè)量值則接近地磁場(chǎng)值。令表示標(biāo)定后的地磁場(chǎng)測(cè)量值，r0表示真實(shí)磁場(chǎng)值，那么標(biāo)定后的相對(duì)均方根誤差rmse 可由下式計(jì)算得到:

式中:N 表示地磁場(chǎng)測(cè)量個(gè)數(shù)。經(jīng)計(jì)算可知由TTLS標(biāo)定后的磁場(chǎng)值均方根誤差小于1%. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明TTLS 標(biāo)定方法能夠準(zhǔn)確地估計(jì)磁場(chǎng)誤差并進(jìn)行有效地補(bǔ)償，表明正則化技術(shù)是標(biāo)定方法在病態(tài)問(wèn)題中獲得魯棒解的關(guān)鍵性因素。

由于TLS 方法無(wú)法應(yīng)用于病態(tài)條件下的三軸磁力儀校正，也無(wú)法進(jìn)行航向角的估計(jì)，因此在航向角比較實(shí)驗(yàn)中，本文采用橢圓擬合法［20］與TTLS 標(biāo)定法來(lái)比較結(jié)果。圖2 是磁力儀經(jīng)過(guò)標(biāo)定后的車(chē)載磁航行實(shí)驗(yàn)。圖中的航向角參考曲線由車(chē)載INS/GPS 組合導(dǎo)航系統(tǒng)提供。從圖中可以看出:當(dāng)車(chē)輛在水平行駛時(shí)，兩種標(biāo)定方法標(biāo)定磁力儀并解算的航向角曲線都能夠接近航向參考曲線;當(dāng)車(chē)輛在轉(zhuǎn)彎爬坡時(shí)，橢圓擬合法航向角誤差遠(yuǎn)比TTLS 標(biāo)定法航向角誤差大。這是因?yàn)闄E圓擬合法僅對(duì)水平面的二維磁力儀進(jìn)行了標(biāo)定，并沒(méi)有考慮天向軸傳感器的測(cè)量誤差。由于車(chē)輛在轉(zhuǎn)彎爬坡時(shí)導(dǎo)致天向軸磁力儀在水平投影中所占的比例增大，使得橢圓擬合法航向角解算誤差增大。TTLS 標(biāo)定法考慮了磁力儀天向軸分量數(shù)據(jù)的影響，并有效地抑制了病態(tài)性問(wèn)題，從而提高了磁航向估計(jì)精度。

圖2 橢圓擬合與TTLS 標(biāo)定法航向角估計(jì)對(duì)比Fig.2 Comparison of heading estimates for TTLS and ellipse-fit algorithms

圖3是兩種校正算法的航向誤差曲線對(duì)比。其中，實(shí)線為T(mén)TLS 校正法航向誤差曲線，其平均航向角誤差約為1.5°，可滿足車(chē)載磁導(dǎo)航的精度需求［1，5-6，8］。虛線為橢圓校正法航向誤差曲線，其平均航向誤差約為4.5°. 通過(guò)對(duì)比可看出TTLS 校正法的優(yōu)越性。

6 結(jié)論

圖3 航向誤差曲線對(duì)比Fig.3 Comparison of heading error curves

磁力儀的標(biāo)定是影響車(chē)載磁導(dǎo)航精度的關(guān)鍵技術(shù)。由于車(chē)輛機(jī)動(dòng)能力受限，三軸磁力儀標(biāo)定問(wèn)題中的觀測(cè)方程將嚴(yán)重病態(tài)，早先提出的三軸磁力儀標(biāo)定方法如TLS 標(biāo)定法有可能不再適用，因此正則化技術(shù)是必不可少的。本文提出TTLS 技術(shù)解決病態(tài)情況下的磁力儀標(biāo)定問(wèn)題，能夠有效地抑制病態(tài)問(wèn)題帶來(lái)的影響，獲得準(zhǔn)確的參數(shù)估計(jì)。車(chē)載磁導(dǎo)航實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法提高了航向角估計(jì)精度和魯棒性。

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