秦勇

(常州工學(xué)院理學(xué)院，江蘇常州213002)

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輪換對(duì)稱性在積分中的應(yīng)用

秦勇

(常州工學(xué)院理學(xué)院，江蘇常州213002)

利用對(duì)稱性計(jì)算積分在一般“高等數(shù)學(xué)”的教材中均未提及，主要在一些考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)書或數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)書上有介紹。了解用對(duì)稱性計(jì)算積分對(duì)改進(jìn)“高等數(shù)學(xué)”的教學(xué)、簡(jiǎn)化積分的計(jì)算過(guò)程及提高學(xué)生的解題運(yùn)算能力都有著實(shí)際的意義。對(duì)稱性計(jì)算積分主要包括兩方面[1]：一是積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱情況下被積分函數(shù)具有奇偶性的積分；二是積分區(qū)域關(guān)于積分變量具有輪換對(duì)稱性情況下的積分。對(duì)于第1種情況比較好理解，因?yàn)槎嘣瘮?shù)的積分可以視為定積分在對(duì)稱區(qū)間上積分的推廣，而對(duì)于第2種情況則沒(méi)有簡(jiǎn)單的理解方法且有關(guān)的結(jié)論也沒(méi)有給出證明。

本文給出積分區(qū)域關(guān)于積分變量具有輪換對(duì)稱性情況下積分的有關(guān)結(jié)論并給出證明，最后介紹其在計(jì)算積分中的一些應(yīng)用。

1定理

定義設(shè)Ω?R3，如果?(x,y,z)∈Ω，都有(z,x,y),(y,z,x)∈Ω，則稱區(qū)域Ω關(guān)于變量x,y,z具有輪換對(duì)稱性。

引理設(shè)區(qū)域Ω關(guān)于變量x,y,z具有輪換對(duì)稱性，則存在Ω上的一個(gè)一一變換[2]。

證明因?yàn)棣戈P(guān)于x,y,z具有輪換對(duì)稱性，所以?(x,y,z)∈Ω，有(z,x,y),(y,z,x)∈Ω，定義σ(x,y,z)=(z,x,y)∈Ω。?(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)∈Ω,若(x1,y1,z1)=(x2,y2,z2)，則有x1=x2，y1=y2，z1=z2，從而(z1,x1,y1)=(z2,x2,y2)，即σ(x1,y1,z1)=σ(x2,y2,z2)，所以σ是Ω到Ω的一個(gè)映射，從而σ是Ω上的一個(gè)變換。?(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)∈Ω，若σ(x1,y1,z1)=σ(x2,y2,z2)，即(z1,x1,y1)=(z2,x2,y2)，從而有z1=z2，x1=x2，y1=y2，故(x1,y1,z1)=(x2,y2,z2))，所以σ是Ω到Ω的單射。?(x,y,z)∈Ω，因?yàn)棣戈P(guān)于x,y,z具有輪換對(duì)稱性，所以(z,x,y),(y,z,x)∈Ω，因而存在(y,z,x)∈Ω，使σ(y,z,x)=(x,y,z)，所以σ是Ω到Ω的滿射，從而σ是Ω到Ω的雙射，因此σ是Ω上的一一變換。

定理1設(shè)積分區(qū)域Ω關(guān)于x,y,z具有輪換對(duì)稱性，則有

因此

推論設(shè)積分區(qū)域Ω關(guān)于x,y,z具有輪換對(duì)稱性，則有

命題區(qū)域D關(guān)于變量x,y具有輪換對(duì)稱性的充分必要條件是區(qū)域D關(guān)于直線y=x是對(duì)稱的。

證明充分性：因?yàn)?(x,y)∈D，點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)為(y,x)，又D關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以(y,x)∈D，因此D關(guān)于變量x,y具有輪換對(duì)稱性。

必要性：若D關(guān)于變量x,y具有輪換對(duì)稱性，則?(x,y)∈D，有(y,x)∈D，又點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(y,x)關(guān)于直線y=x是對(duì)稱的，所以區(qū)域D關(guān)于直線y=x對(duì)稱。

由定理1和命題可得以下定理。

定理2[3]設(shè)區(qū)域D關(guān)于變量x,y具有輪換對(duì)稱性，則有

②設(shè)區(qū)域D位于直線y=x的上半部分為D1，下半部分為D2，則：

對(duì)于第1類曲線和曲面積分，同理可得定理3。

定理3設(shè)曲線Γ關(guān)于變量x,y,z具有輪換對(duì)稱性，則有

定理4[3]設(shè)平面曲線L關(guān)于變量x,y具有輪換對(duì)稱性，則有

②設(shè)平面曲線L在直線y=x的上半部分為L(zhǎng)1，下半部分為L(zhǎng)2，則:

定理5設(shè)曲面∑關(guān)于變量x,y,z具有輪換對(duì)稱性，則有

需要指出：由于第2類曲線積分中的曲線與第2類曲面積分中的曲面都是有向的，所以輪換對(duì)稱性的有關(guān)結(jié)論對(duì)于第2類曲線積分與第2類曲面積分類似的結(jié)論是不成立的。

2應(yīng)用

解：因?yàn)榉e分區(qū)域Ω關(guān)于x,y,z具有輪換對(duì)稱性，由定理1，得

解：因?yàn)榉e分區(qū)域D關(guān)于變量x,y具有輪換對(duì)稱性，由定理2，得

例3設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上連續(xù)，并設(shè)∫20f(x)dx=a，求∫20dx∫2xf(x)f(y)dy。

解：因?yàn)榍€積分Γ關(guān)于變量x,y,z具有輪換對(duì)稱性，由定理3，得

解：因?yàn)榉e分曲線L關(guān)于變量x,y具有輪換對(duì)稱性，由定理4，得

解：因?yàn)榍娣e分∑關(guān)于變量x,y,z具有輪換對(duì)稱性，由定理5，得

[參考文獻(xiàn)]

[1]毛綱源.最新考研數(shù)學(xué)(一)常考題型解題方法技巧歸納[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社,2008：164-171.

[2]張禾瑞,郝鈵新.高等代數(shù)[M].4版.北京：高等教育出版社,2000.

[3]秦勇.再談?shì)啌Q對(duì)稱性[J].高等數(shù)學(xué)研究,2007,10(2)：20-22.

責(zé)任編輯：周澤民

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摘要：證明了輪換對(duì)稱性的有關(guān)結(jié)論，并闡述了其在積分中的一些應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：輪換對(duì)稱性；積分；區(qū)域；變量；雙射

Application of Cyclosymmetric Property in IntegralQIN Yong

(School of Science,Changzhou Institute of Technology,Changzhou 213002)

Abstract：This article has proved some conclusions about cyclosymmetric property and introduced applications of cyclosymmetric property in integral.

Key words：cyclosymmetric property；integral；range；variable；bijection

中圖分類號(hào)：O172

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1671-0436(2015)03-0062-04

作者簡(jiǎn)介：秦勇(1958—)，男，副教授。

收稿日期：2015-03-16

doi:10.3969/j.issn.1671-0436.2015.03.015