李 珍

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000)

一類金融混沌系統(tǒng)的廣義投影同步

李 珍

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000)

以一類金融混沌系統(tǒng)為例，提出了一個(gè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)對應(yīng)多個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)的廣義投影同步方法，實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)-響應(yīng)系統(tǒng)之間的同結(jié)構(gòu)廣義投影同步，以及三個(gè)類型完全不同的混沌系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)廣義投影同步。通過改變廣義投影同步的比例因子，獲得了任意比例于原驅(qū)動(dòng)混沌系統(tǒng)輸出的混沌信號，數(shù)值仿真驗(yàn)證了此方法的有效性。

金融混沌系統(tǒng)；廣義投影同步；比例因子

自從Pecora和Corroll提出混沌同步的概念和方法后[1]，對混沌同步的研究成為非線性科學(xué)中的熱門課題。近年來，人們提出了基于不同角度的各種混沌同步的方法[2]，如OGY法、驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步法、自適應(yīng)控制法、主-被動(dòng)同步法、變量反饋法等。在研究部分線性混沌系統(tǒng)中，Mainieri和Rehacek提出了一種新的投影同步的方法[3]，隨后，投影同步的研究受到廣大學(xué)者的重視[4-8]。

本文以一類金融混沌系統(tǒng)為例，研究一個(gè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)對應(yīng)多個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)的廣義投影同步方法。

1 問題描述與系統(tǒng)模型

經(jīng)濟(jì)學(xué)中的混沌現(xiàn)象自1985年首次被發(fā)現(xiàn)以來，對西方主流經(jīng)濟(jì)學(xué)派產(chǎn)生了巨大的沖擊，因?yàn)榻?jīng)濟(jì)系統(tǒng)中出現(xiàn)混沌現(xiàn)象意味著宏觀經(jīng)濟(jì)運(yùn)動(dòng)本身具有內(nèi)在的不穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[9]建立了一個(gè)由生產(chǎn)子塊、貨幣、證券子塊和勞動(dòng)力子塊所組成的金融混沌系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型為

(1)

式中x表示利率，y表示投資需求，z表示價(jià)格指數(shù)，a≥0為儲蓄量，b≥0為投資成本，c≥0為商品需求彈性。經(jīng)過線性變換x1=x，x2=y-1/b，x3=z，系統(tǒng)(1)可以化成

(2)

系統(tǒng)(1)和(2)是拓?fù)涞葍r(jià)的。當(dāng)a<0.000 01時(shí)，產(chǎn)生通貨膨脹，混沌現(xiàn)象發(fā)生[10]。孫梅、田立新以江蘇能源需求與西部能源供給、江蘇能源進(jìn)口量之間相互支持相互制約的復(fù)雜關(guān)系為背景，建立了一個(gè)能源需求-供給的非線性動(dòng)力學(xué)模型(以下簡稱能源系統(tǒng))，它有著不同于Lorenz系統(tǒng)、Rossler系統(tǒng)等已熟知的混沌系統(tǒng)的復(fù)雜的吸引子[11]。其動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)方程為：

(3)

式中ai，bi，ci，M，N均大于零，為常數(shù)，N

2 三個(gè)同結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的廣義投影同步

根據(jù)主動(dòng)控制的思想構(gòu)造非線性反饋控制器，實(shí)現(xiàn)一個(gè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和兩個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)的同結(jié)構(gòu)同步。以系統(tǒng)(2)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，其同結(jié)構(gòu)的受控系統(tǒng)分別為：

(4)

(5)

式中，ui(i=1，…，6)是要設(shè)計(jì)的同步控制器。定義誤差信號如下：ei=xi-αyi(i=1，2，3)，ei=xi-βyi(i=4，5，6)，常數(shù)α，β為比例因子。由式(2)分別減去式(4)和式(5)，可得同步誤差系統(tǒng)為：

(6)

(7)

根據(jù)主動(dòng)控制的思想，選擇控制函數(shù)分別為如下：

(8)

(9)

其中vi(i=1，…，6)分別是關(guān)于誤差變量ei(i=1，…，6)函數(shù)的控制輸入信號，只要選擇合適的控制輸入vi(i=1，…，6)使得誤差系統(tǒng)(6)和(7)的所有特征根都有負(fù)實(shí)部，誤差系統(tǒng)最終都是收斂的。為簡單起見，選擇vi(i=1，…，6)如下：

(10)

(11)

取步長為0.001，系統(tǒng)(2)的參數(shù)a=0.000 01，b=0.1，c=1，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的初值為(0.1，0.3，0.3)，兩個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)的初值分別為(0.5，0.2，0.5)和(0.1，0.2，0.6)，比例因子α=0.5，β=-2進(jìn)行數(shù)值仿真，如圖1。其中圖1(a)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與兩個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)對應(yīng)狀態(tài)輸出的變化示意圖，圖1(b)為同步誤差信號的曲線，圖1(c)為混沌系統(tǒng)廣義投影同步的混沌吸引子?？梢?，通過主動(dòng)控制法設(shè)計(jì)的非線性控制器，能夠快速地實(shí)現(xiàn)三個(gè)相同的金融混沌系統(tǒng)的廣義投影同步。

(a)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和兩個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)對應(yīng)狀態(tài)輸出變化

(b)同步誤差信號曲線變化

(c)廣義投影同步三個(gè)相同的混沌吸引子圖1 比例因子α=0.5，β=-2的仿真結(jié)果

3 三個(gè)異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的廣義投影同步

當(dāng)混沌系統(tǒng)的同步用于安全通信時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有可能不同，因而考慮異結(jié)構(gòu)的同步更具有實(shí)際意義。根據(jù)主動(dòng)控制的思想，設(shè)計(jì)合適的非線性控制器，實(shí)現(xiàn)三個(gè)結(jié)構(gòu)完全不相同的混沌系統(tǒng)之間的驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)-響應(yīng)的廣義投影同步。

以系統(tǒng)(2)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)(12)(為方便起見，將系統(tǒng)(3)寫成系統(tǒng)(12)的形式)和Rollser系統(tǒng)(13)為其異結(jié)構(gòu)的受控的響應(yīng)系統(tǒng)。

(12)

(13)

同樣，ui(i=1，…，6)是要設(shè)計(jì)的同步控制器。定義誤差信號如下：ei=xi-αyi(i=1，2，3)，ei=xi-βyi(i=4，5，6)，常數(shù)α，β為比例因子。同步誤差系統(tǒng)分別為：

(14)

(15)

(16)

(17)

其中vi(i=1，…，6)分別是關(guān)于誤差變量ei(i=1，…，6)函數(shù)的控制輸入信號，選擇vi(i=1，…，6)如下：

(18)

(19)

則誤差系統(tǒng)(14)和(15)的特征值為-1，-1，-c，-1，-1和-c，當(dāng)t→∞時(shí)，ei(i=1，…，6)均收斂于零，稱三個(gè)異結(jié)構(gòu)的混沌系統(tǒng)獲得任意比例的廣義投影同步。圖2(a)，2(b)，2(c)為多系統(tǒng)廣義投影同步比例因子α=2，β=-0.6，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的初值為(0.2，0.2，0.2)，兩個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)的初值分別為(0.3，0.3，0.3)和(0.4，0.4，0.4)的仿真結(jié)果。

(a)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和兩個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)對應(yīng)狀態(tài)輸出變化

(b)誤差曲線變化

(c)廣義投影同步三個(gè)相同的混沌吸引子圖2 比例因子α=2，β=-0.6的仿真結(jié)果

由圖1和圖2可知：當(dāng)比例因子的絕對值大于1時(shí)，響應(yīng)系統(tǒng)的振幅與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的振幅相比縮小了；當(dāng)比例因子的絕對值小于1時(shí)，響應(yīng)系統(tǒng)的振幅與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的振幅相比放大了。通過改變比例因子α，β可以獲得任意比例于原驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的輸出混沌信號，實(shí)現(xiàn)一個(gè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和兩個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)的廣義投影同步，這種性質(zhì)在利用混沌系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)字通信保密方面也有廣泛的應(yīng)用前景。

4 結(jié)論

本文利用廣義同步的原理，以一類金融混沌系統(tǒng)為例，提出了一個(gè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)對應(yīng)多個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)的廣義投影同步方法，成功實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)-響應(yīng)系統(tǒng)之間的同結(jié)構(gòu)廣義投影同步，以及該混沌系統(tǒng)與能源系統(tǒng)、Rossler混沌系統(tǒng)之間的異結(jié)構(gòu)廣義投影同步，理論和數(shù)值仿真證明了該方法的可行性與有效性。這種方法不僅可以用于其他混沌及超混沌系統(tǒng)的廣義投影同步，而且可以推廣到一個(gè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)對應(yīng)三個(gè)或更多個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)中。

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(責(zé)任編校：夏玉玲)

Generalized Projective Synchronization for a Financial Chaotic System

LI Zhen

(Department of Fundamental Science Teaching， Tangshan College， Tangshan 063000， China)

The author of this paper， with a financial chaotic system as an example， proposes a method of generalized projective synchronization with one drive system corresponding to several response systems， achieving a generalized projective synchronization between the drive system and several response systems with the same structures， as well as a generalized projective synchronization between three different types of chaotic systems with different structures. Output chaotic signals in any proportion to the original drive system can be achieved by changing the scale factors of generalized projective synchronization and the numerical simulations demonstrate the effectiveness of this method.

financial chaotic system； generalized projective synchronization； scaling factor

O231；F830

A

1672-349X(2015)06-0014-03

10.16160/j.cnki.tsxyxb.2015.06.006