朱瑞飛，魏　群*，王　超，賈宏光，吳海龍,2

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春130033；

2.中國科學院大學，北京 100049)

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基于隨機點擴散函數(shù)的多幀湍流退化圖像自適應復原方法

朱瑞飛1，魏群1*，王超1，賈宏光1，吳海龍1,2

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春130033；

2.中國科學院大學，北京 100049)

摘要：針對湍流退化圖像隨機性的問題，提出了一種基于隨機點擴散函數(shù)的多幀湍流退化圖像自適應復原方法。首先介紹了隨機點擴散函數(shù)的圖像退化模型，并分析了點擴散函數(shù)隨機性對圖像復原造成的影響，建立了基于隨機點擴散函數(shù)的多幀圖像退化模型。在此基礎上，建立了基于多幀退化圖像的全變分復原模型，利用前向后向算子分裂法對模型進行求解，提高了算法的運算效率。然后，提出了一種新的自適應正則化參數(shù)選取方法，該方法利用全變分復原模型的目標函數(shù)計算正則化參數(shù)，當正則化參數(shù)收斂時，復原圖像的峰值信噪比達到最大值，因此利用目標函數(shù)的相對差值作為自適應算法迭代終止的條件，可以獲得最佳復原效果。最后通過實驗分析，算法中退化圖像的幀數(shù)應不大于10幀。實驗結(jié)果表明：當取10幀退化圖像時，AFBS算法運算時間與單幀的FBS算法相當，信噪比增益為1.4 dB。本文算法對圖像噪聲有明顯的抑制作用，對湍流退化圖像可以獲得較好的復原效果。

關鍵詞:圖像復原；自適應正則化；隨機點擴散函數(shù)；多幀模型；前向后向分裂算子；湍流退化圖像

Adaptive restoration method of multi-frame turbulence-degraded

images based on stochastic point spread function

1引言

導彈作為目前高科技戰(zhàn)爭的主要武器，對目標特性獲取的精確性及導彈時效性的依賴程度不斷提高，因此，導彈多采用成像探測跟蹤瞄準系統(tǒng)，而且飛行速度不斷提高[1]。然而，帶有成像探測系統(tǒng)的飛行器在大氣層內(nèi)高速飛行時，光學頭罩與來流之間形成復雜的流場，引起目標圖像偏移、抖動、模糊等氣動光學效應[2]，從而嚴重影響導引頭探測、識別和跟蹤目標的能力[3-4]。從湍流退化圖像中有效地復原出原目標圖像，是實現(xiàn)超聲速導彈成像探測及精確制導必須解決的關鍵問題之一[5]。

湍流退化圖像復原的困難之處在于其點擴散函數(shù)是隨機的[6]，這就導致利用湍流物理知識和退化圖像先驗知識估計得到的點擴散函數(shù)不能很好地復原出每一幀圖像。基于多幀圖像復原的方法可以在一定程度上提高湍流退化圖像復原的穩(wěn)定性，是目前主流的湍流退化圖像復原方法。邵慧等人以退化序列中任意幀作為起始幀，逐次增加迭代幀，有效地提高了多幀算法的運算效率[7]。Hong等人利用連續(xù)兩幀退化圖像結(jié)合湍流的先驗知識估計出圖像退化的點擴散函數(shù)，獲得了較好的復原效果[8]。這些方法都是從提高圖像復原算法的運算效率出發(fā)，沒有考慮湍流流場中圖像的退化模型，所以算法的穩(wěn)定性相對較差。

為了解決大氣湍流點擴散函數(shù)隨機性的問題，Ward提出了一種新的圖像退化模型[9]，該模型考慮了湍流隨機性的特點，能夠較為準確地描述大氣湍流對圖像的影響?；陔S機點擴散函數(shù)的圖像退化模型被成功應用于均值濾波[10]、維納濾波[12]以及全變分圖像復原[12]，取得了一定的復原效果。但是這些方法在復原圖像時都假設點擴散函數(shù)噪聲是一個已知量，當點擴散函數(shù)噪聲未知時，實際復原圖像往往不能達到理想效果。Jung等人將隨機點擴散函數(shù)的圖像退化模型應用于多幀的全變分圖像復原中，當點擴散函數(shù)噪聲未知時，獲得了高質(zhì)量的復原圖像[13]。

本文根據(jù)湍流退化圖像隨機性的特點，提出了一種基于隨機點擴散函數(shù)的多幀湍流退化圖像自適應復原方法。為了減小點擴散函數(shù)隨機性給圖像復原帶來的困難，該方法首先建立了多幀圖像退化模型，在此基礎上，建立了基于多幀退化圖像的全變分復原模型。為了提高算法的運算效率，采用前向后向算子分裂法(Forward-backward Splitting，F(xiàn)BS)對模型進行了求解。針對傳統(tǒng)正則化參數(shù)選取方法的不足，提出了利用模型目標函數(shù)自適應地計算正則化參數(shù)的方法，并通過實驗證明了當正則化參數(shù)收斂時，復原圖像的峰值信噪比(PSNR)達到最大，從而給出了算法迭代終止的條件。

2基于隨機點擴散函數(shù)的多幀圖像退化模型

2.1　隨機點擴散函數(shù)模型

受Ward的啟發(fā)，圖像退化的一般數(shù)學模型可以改寫為：

(1)

式中：觀測時間t∈[0,T]，點擴散函數(shù)h(x,y,t)以及噪聲n1(x,y,t)都是隨時間隨機變化的，所以退化圖像也是隨時間變化的。這里假設h(x,y,t)隨時間變化的均值是已知的，即:

(2)

這樣，式(1)可以寫成如下形式：

(3)

(4)

(5)

本文把n2(x,y,t)稱為點擴散函數(shù)h(x,y)的噪聲，式(3)~(5)稱為圖像退化的隨機點擴散函數(shù)模型。

以國際標準測試圖像Lena為例，分析點擴散函數(shù)噪聲對觀測圖像的影響，原始圖像如圖1(a)所示。n2(x,y,t)是一個均值為0的高斯噪聲，方差分別取0.001，0.01，0.1，h(x,y)是一個大小為11×11的高斯模糊核，不考慮噪聲n1(x,y,t)。對原始圖像退化處理后得到如圖1(b)、1(c)、1(d)所示模糊圖像。

圖1　點擴散函數(shù)噪聲對觀測圖像的影響 Fig.1　Influence of the noise of the PSF on the blurred images

從圖1中可以看出，點擴散函數(shù)噪聲n2(x,y,t)對觀測圖像的質(zhì)量影響很大，點擴散函數(shù)噪聲越大，圖像的質(zhì)量越差。應用全變分正則化復原方法分兩種情況對圖1中退化圖像進行復原，第一種情況點擴散函數(shù)噪聲已知，第二種情況點擴散函數(shù)噪聲未知，復原結(jié)果分別如圖2和圖3所示。

圖2　點擴散函數(shù)噪聲已知時圖像復原結(jié)果 Fig.2　Results of image restoration with known n2

圖3　點擴散函數(shù)噪聲未知時圖像復原結(jié)果 Fig.3　Results of image restoration with unknown n2

從圖2和圖3可以看出，當點擴散函數(shù)噪聲已知時，圖像能獲得非常好的復原效果；當點擴散函數(shù)噪聲未知時，復原效果較差，尤其是噪聲較大時，復原圖像的質(zhì)量甚至低于退化圖像。因此，從隨機的湍流退化圖像中直接獲得高質(zhì)量的復原圖像是非常困難的。

2.2　多幀圖像退化模型

在隨機點擴散函數(shù)模型的基礎上，提出了多幀圖像退化模型，其表達式為：

(6)

(7)

式中：k=1,2,…,N，N為所取的連續(xù)圖像的幀數(shù)。對于N幀連續(xù)圖像，其平均圖像的定義為：

(8)

將式(6)和式(7)代入式(8)中可得：

(9)

(10)

(11)

3基于FBS的自適應正則化圖像復原

3.1　基于多幀退化圖像的全變分正則化模型

Rudin和Osher提出的全變分圖像復原模型[14]因為其具有明顯的各向異性擴散的特性，被認為是目前較為合理的能夠保持圖像邊緣特征的圖像模型，公式如下：

(12)

(13)

(14)

(15)

3.2　前向后向算子分裂法

前向后向算子分裂法是一種分而治之的方法，能夠?qū)碗s問題分解為一系列簡單項子問題進行求解[15]，經(jīng)常用來求解包含光滑保真項和非光滑懲罰項的優(yōu)化問題，具有很好的收斂性[16]。如果函數(shù)f0(Ω)，對于任意x∈Ω，最小化問題:

(16)

存在唯一最小解，稱這個最小解為函數(shù)f的鄰近算子，記為proxf。鄰近算子具有非常嚴格的非擴張?zhí)匦?，非常適合迭代最小化的算法求解。

對于式(17)所示的凸最優(yōu)問題：

(17)

如果f1∈Γ0(Ω)，f2∈Ω滿足利普西茨連續(xù)可微條件，那么對于?(x,y)∈Ω，有

(18)

式中：β∈(0,+∞)是f2的利普西茨常數(shù)。這時，式(17)的最優(yōu)解為：

(19)

式(19)寫成迭代的形式：

(20)

式中：步長參數(shù)γn是一個滿足有界區(qū)間[γmin,γmax]的序列，即:

(21)

FBS算法的第一步迭代是對函數(shù)f2(x)進行梯度下降操作，是顯式的迭代格式；第二步迭代是求解f1(x)的鄰近算子，是隱式的迭代格式。FBS算法是聯(lián)合了兩種基本的迭代格式的方法，算法不需要求解整個目標函數(shù)的鄰近算子，從而降低了求解難度，同時又保持了隱式的迭代格式，保證了算法的收斂性，

但是使用FBS求解模型時，其中一項必須滿足利普西茨可微條件，所以應用范圍有一定的局限性。

利用FBS求解式(12)的全變分正則化模型，算法執(zhí)行過程如表1所示。

表1　FBS算法執(zhí)行步驟

序列{αn}是松弛因子，定義為：

(22)

3.3　基于FBS的自適應正則化圖像復原

在正則化圖像復原的方法中，正則參數(shù)的選取非常關鍵，其在很大程度上決定了復原圖像的質(zhì)量。正則參數(shù)起著平衡保真項和正則項的作用，參數(shù)過小時，復原模型的平滑性較差，去噪效果不佳，甚至在圖像中產(chǎn)生塊狀的失真，參數(shù)過大時，正則項在模型中占的比重就大，平滑效果雖好，但是圖像的紋理細節(jié)也同樣被平滑掉了，造成圖像信息丟失。

目前，正則化參數(shù)的自適應選擇方法主要有廣義交互驗證法(Generalized Cross-Validation，GCV)[17]和L曲線法[18]。GCV利用統(tǒng)計學方法，無需噪聲方差的先驗知識，但是GCV法不能實現(xiàn)全局最優(yōu)，L曲線法的收斂性比GCV法差，計算量更大。為了提高運算效率，在壓縮感知理論中經(jīng)常采用序貫策略選擇合適的正則參數(shù)，即預先規(guī)定正則參數(shù)的初值和迭代終止的最小值，然后選取合適的下降方法使正則參數(shù)逐漸減小，較大正則參數(shù)時的模型最優(yōu)解作為下一次迭代的初始解，直到正則參數(shù)下降到預設的最小值時停止迭代。一般按照如下經(jīng)驗公式計算：

(23)

式中:r∈(0,1)是減縮因子。采用這種方法選取γ，保證了正則參數(shù)單調(diào)遞減，同時可以提高算法的收斂速度，但是這種方法無法自適應地找到合適的λ1、λmin以及減縮因子r，這幾個參數(shù)能否合理的選擇直接影響著算法復原效果和運算效率。利用FBS算法對Lena退化圖像進行復原，圖4是按照式(23)選取正則參數(shù)時，復原圖像的PSNR隨正則參數(shù)的變化關系。

圖4　選擇不同減縮因子時PSNR與λ的關系 Fig.4　PSNR versus λ by choosing different r

從圖4中可以看出，減縮因子越小，算法收斂的速度越快，但復原效果也越差，所以選擇合適的下降規(guī)律尤為重要；隨著正則參數(shù)的減小，PSNR先增加后減小，因而找到一種合適的迭代停止條件不僅可以獲得最佳的復原圖像，還可以減少算法的運算時間。本文提出一種新的利用全變分正則化模型的目標函數(shù)自適應地選取正則參數(shù)的方法，目標函數(shù)定義如下：

(24)

式中：

(25)

正則參數(shù)的計算公式為：

(26)

容易證明，目標函數(shù)是凸函數(shù)，而且是λk的單增函數(shù)，即當F(λk,uλk)減小時，λk隨之減小，保證了算法的收斂性。

分別用兩種不同正則參數(shù)選取方法對Lena退化圖像復原，第一種方法作為參考方法，λ從λ1=0.5依次減小0.001，進行500次迭代，第二種方法按照式(26)計算正則參數(shù)，取λ1=0.5,λ2=0.4，同樣進行500次迭代，復原過程中PSNR和F(λ,μλ)隨正則參數(shù)λ的變化曲線如圖5所示。

圖5　兩種正則參數(shù)選取方法比較 Fig.5　Comparison of two selection methods of regularization parameter

從圖5(a)可以看出，使用本文方法復原的圖像，PSNR隨正則參數(shù)λ的減小快速增大，并收斂到最大值，圖像獲得最佳復原效果，而目標函數(shù)F(λ,uλ)在迭代過程中能快速收斂，因此可以用連續(xù)兩次迭代中F(λ,uλ)的相對差值作為迭代終止的判定條件，這樣就避免了由于λmin選取不合適造成的復原效果不佳以及迭代次數(shù)多的問題。定義循環(huán)迭代終止的條件為：

(27)

顯然，算法中λ1和λ2的選取不能通過式(26)計算，本文用退化圖像作為初值計算λ1，即：

(28)

式中：權(quán)系數(shù)一般取0

(29)

如果λ2≥λ1，那么取λ2=0.8λ1。

為了進一步提高自適應算法的計算效率，將算法FBS中的內(nèi)外兩層迭代合并為只有一層迭代，算法執(zhí)行步驟如表2所示。

表2　AFBS算法執(zhí)行步驟

4實驗結(jié)果與分析

為了驗證本文算法對湍流退化圖像的復原效果，本文在Matlab2012軟件環(huán)境條件下進行了復原實驗，實驗所使用的計算機配置為：處理器是Intel(R) Core(TM) i5-2450M CPU，主頻是2.5 GHz，內(nèi)存是2 GB。

4.1　復原效果比較實驗

圖6　復原效果比較 Fig.6　Restoration effect comparison

圖7　ISNR隨幀數(shù)k的變化曲線 Fig.7　Curves of ISNR vs. k

實驗一的目的是從圖像的復原效果和實時性兩方面驗證本文自適應算法。原始Satellite圖像如圖6(a)所示，通過仿真得到序列湍流退化圖像，圖6(b)是其中一幀退化圖像。分別用單幀圖像的FBS算法和AFBS算法以及多幀圖像的FBS算法和AFBS算法進行了圖像復原實驗，其中FBS算法所選參數(shù)為：λ1=0，λmin=0.000 1，r=0.8，niter=10；AFBS算法迭代終止條件為：reldiff=0.000 1。復原結(jié)果如圖6(c)~6(h)所示。從圖中可以看到，隨著幀數(shù)k的增加，F(xiàn)BS算法和AFBS算法圖像復原效果越來越好，而且多幀的算法對噪聲有明顯的抑制作用。復原圖像信噪比增益(ISNR)隨幀數(shù)k的變化曲線如圖7所示，ISNR隨著幀數(shù)k的增大而增大，當k>10時，ISNR的增幅變緩，AFBS算法的ISNR明顯大于FBS算法。算法的運算時間隨幀數(shù)k的變化曲線如圖8所示，運算時間隨著幀數(shù)k的增大而增大，F(xiàn)BS算法運算時間大于AFBS算法。綜合考慮復原效果和運算效率，退化圖像的幀數(shù)應小于10幀。

圖8　運算時間隨幀數(shù)k的變化曲線 Fig.8　Curves of time vs. k

4.2　實際湍流退化圖像復原實驗

實驗二利用AFBS算法對實際湍流退化圖像進行復原，圖9是連續(xù)10幀湍流退化圖像，圖10是單幀圖像和多幀圖像的復原結(jié)果，圖11是復原圖像的局部放大圖。從圖中可以看出，本文復原方法復原的圖像邊緣細節(jié)清晰，與單幀圖像的復原方法相比，圖像的復原效果更加明顯。

圖9　湍流退化圖像序列 Fig.9　Turbulence-degraded images sequence

圖10　湍流退化圖像復原效果 Fig.10　Restoration effect of turbulence-degraded images

圖11　退化/復原圖像局部放大圖 Fig.11　Close-ups of degraded/restored image regions

5結(jié)論

本文提出了一種基于隨機點擴散函數(shù)的多幀湍流退化圖像自適應復原方法。該方法首先根據(jù)湍流隨機性的特點，建立了基于隨機點擴散函數(shù)的多幀圖像退化模型，并證明了模型的正確性，通過實驗驗證了點擴散函數(shù)隨機性給圖像復原造成的困難。在此基礎上，建立了基于多幀退化圖像的全變分復原模型，利用FBS將復原模型分解為兩個簡單的子問題進行求解，提高了算法的計算效率。然后重點研究了正則化參數(shù)的選取方法，建立了正則化參數(shù)與模型目標函數(shù)的關系，提出了基于FBS的自適應正則化圖像復原算法。綜合考慮圖像復原效果和算法運算時間，退化圖像的幀數(shù)應不大于10幀。實驗結(jié)果表明：當退化圖像取相同的幀數(shù)時，AFBS算法運算時間比FBS算法減少了10%以上，PSNR提高了0.6~0.8 dB；當取10幀退化圖像時，AFBS算法運算時間與單幀的FBS算法相當，ISNR為1.4 dB。本文算法對圖像噪聲有明顯的抑制作用，對實現(xiàn)湍流退化圖像的復原具有一定的理論和應用價值。

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朱瑞飛(1986—)，男，山西朔州人，助理研究員，2009年于吉林大學獲得學士學位，2014年于中國科學院長春光機所獲得博士學位，主要從事紅外圖像處理方面的研究。E-mail:zhuiruifei1105@163.com

魏　群(1983—)，男，黑龍江哈爾濱人，副研究員，2005年于浙江大學獲得學士學位，2010年于中國科學院長春光機所獲得博士學位，主要從事共形光學及氣動光學方面的研究。E-mail:wei.q@hotmail.com

王　超(1984—)，男，黑龍江哈爾濱人，助理研究員，2010年于中國地質(zhì)大學(武漢)獲得工學碩士學位，主要從事儀器儀表技術方面的研究。E-mail:wc100714@163.com

賈宏光(1971—)，男，黑龍江省五常人，研究員，博士生導師，2000年于中國科學院長春光學精密機械與物理研究所獲得博士學位，主要從事光機電系統(tǒng)微小型化與精確制導技術方面的研究。E-mail:jiahg@ciomp.ac.cn

吳海龍(1988—)，男，山東濟南人，博士研究生，2011年于中國石油大學(華東)獲得學士學位，主要從事控制系統(tǒng)設計方面的研究。E-mail:wuhailong.2001@163.com

ZHU Rei-fei1, WEI Qun1*, WANG Chao1, JIA Hong-guang1, WU Hai-long1,2

(1.ChangchunInstituteofOptics,FineMechanicsandPhysics,

ChineseAcademyofSciences,Changchun130033,China；

2.UniversityofChineseAcademyofSciences,Beijing100049,China)

Abstract:As the turbulence-degraded images are stochastic, an adaptive restoration approach of multi-frame turbulence-degraded images was proposed based on stochastic Point Spread Function(PSF). Firstly, an image degradation model of stochastic PSF was introduced, and the influence of the model on the image restoration was analyzed. The degradation model of multi-frame images based on stochastic PSF was established. On this basis, the TV restoration model based on multi-frame images was established. In order to improve the computational efficiency of the algorithm, the model was solved by Forward-Backward Splitting(FBS) operator. Then a new adaptive selection method of regularization parameter was proposed. When the regularization parameter which was calculated by the objective function of the TV model was convergent, the Peak Signal-to-Noise Ratio(PSNR) of restoration image reached the maximum value. In order to get the best restoration effect, the relative error of the objective function was used as the iterative termination condition of the adaptive algorithm. Finally, the number of degraded images should be no more than 10 frames through the experimental analysis. Experimental results show that the ISNR of the AFBS algorithm has increased 1.4 dB more than the FBS algorithm based on single frame while the computing time is comparative when the number of degraded images was 10 frames. The proposed algorithm has an obvious inhibition on the noises, and it can obtain a better restoration effect on turbulence-degraded images.

Key words:image restoration;adaptive regularization;stochastic point spread function;multi-frame model;forward-backward splitting;turbulence-degraded image

作者簡介：

*Corresponding author, E-mail:wei.q@hotmail.com

中圖分類號：TP391.4

文獻標識碼:A

doi:10.3788/CO.20150803.0368

文章編號2095-1531(2015)03-0368-10

基金項目：裝備預研基金資助項目(No.51301060207)

收稿日期:2014-11-15；

修訂日期:2015-02-16