鄭亞雄，王明振，史圣哲

(中國特種飛行器研究所水動力研究中心，湖北荊門448035)

基于FPM的液艙晃蕩研究

鄭亞雄，王明振，史圣哲

(中國特種飛行器研究所水動力研究中心，湖北荊門448035)

摘要:隨著液艙晃蕩運動機理的研究深入，艙內液體運動響應和自由液面波形精細模擬成為研究的重點。本文應用無網格方法中的FPM(Finite Point Method)來對液艙晃蕩中的動邊界及自由液面大變形等問題進行數(shù)值求解和圖像模擬。以二維液艙晃蕩為例，校核運動邊界與內部流體粒子點間的運動響應，得到FPM對于邊界所受砰擊力和內部興波波高的計算結果以及自由液面模擬圖像。將計算結果進行無因次化處理，通過與試驗結果進行比對，驗證了FPM在液艙晃蕩問題中應用的可行性和準確性，也為FPM解決三維復雜液艙晃蕩問題中提供鋪墊。

關鍵詞:FPM;液艙晃蕩;自由液面;動邊界

Research on sloshing of liquid tank based on FPM

ZHENG Ya-xiong，WANG Ming-zhen，SHI Sheng-zhe
(Hydrodynamic Research Center，AVIC Special Vehicle Research Institute，Jingmen 448035，China)

Abstract:With the development of research on sloshing of liquid tank，the motion response and the free surface wave simulation have been focused．In this paper，F(xiàn)PM (Finite Point Method) has been applied into numerical calculation of sloshing in the moving boundary and simulation of free surface deformation．Taking the two－dimensional sloshing tank as an example，interactional response between moving boundary and internal fluid particle points has been checked．Slamming force on boundary，internal wave height and image of free surface have been attained．Taking the computational results into dimensionless，the comparison with the experimental results verify the feasibility and accuracy of application of FPM in the liquid sloshing，and pave the way for FPM to solve the complex 3D liquid sloshing．

Key words:FPM; sloshing of liquid tank; free surface;moving boundary

0　引言

隨著海上運輸?shù)陌l(fā)展，液貨船得到廣泛的應用，液艙內液體晃蕩所引起的砰擊壓力對船舶性能有很大的影響。晃蕩液體的運動具有很強的非線性特性，當艙壁做規(guī)律性很強的簡諧運動時，液艙內液體受到簡諧激勵，由此反饋激發(fā)的砰擊作用的持續(xù)時間和所產生的興波幅值跟著時間來變化?；问幩ぐl(fā)的砰擊力的幅值大小很難去做實時準確的預報，只能從統(tǒng)計角度上進行大小的估計。在容器晃蕩時，當外界激勵頻率接近內部帶自由液面液體的固有頻率時，液體的運動則會十分激烈，尤其是在接近最低固有頻率時，這會對容器壁面和容器結構帶來嚴重的不利影響。對于液艙晃蕩的研究，主要集中在液艙所受的最大晃蕩沖擊載荷以及液艙晃蕩受力與時間之間的關系及其統(tǒng)計特征。

在早期受計算手段的限制，研究液艙晃蕩問題都是用試驗的方法來模擬和記錄的，但從70年代開始，CFD技術的發(fā)展和興起，很多有效的數(shù)值計算方法得以實現(xiàn)，開始用數(shù)值手段來進行晃蕩問題的模擬求解。有限元法、有限差分方法等被應用于晃蕩問題的求解中。通過很多研究者的計算模擬，發(fā)

現(xiàn)對晃蕩問題模擬的最關鍵的問題在對自由液面變化的精確捕捉。在整個模擬的時間過程中，自由液面的形狀和運動實時發(fā)生變化，同時由于壁面邊界也在做運動，相應的液體在發(fā)生遷移，這造成了自由液面運動的強非線性特征，大大增加模擬仿真的難度。近年來，無網格方法逐漸興起，表現(xiàn)出有限元法和有限差分法等所不具備的優(yōu)勢［1］。FPM是無網格方法中很重要的一種，在計算流體中有著很好的適應性，對于解決自由液面大變形問題有其獨特之處。

在前人研究液艙晃蕩理論的成果中，給出不同浸深比下晃蕩的共振頻率與液艙形狀和大小之間的關系。對于二維簡化的矩形液艙，其共振頻率公式可表述如下:

式中: fn為頻率; a為液艙內的水深; b為液艙內水的寬度; n為擬合的階數(shù)，其中一般情況都只按一階情況來處理即可; g為重力加速度。通過計算得到的二維液艙共振頻率，來制定進行數(shù)值計算模擬時所采用的艙壁搖蕩頻率。

1　FPM計算概述

FPM (Finite Point Method )是由Onate和Idelsohn等［2－3］于1996年提出的。FPM采用了移動最小二乘法(MLS)生成形函數(shù)，是不用預先生成網格作為背景的方法，利用配點法生成離散粒子點，將代數(shù)方程進行離散求解，在計算流體力學領域中的應用有獨特的優(yōu)勢。

FPM離散和近似的目的是為了求解流體力學控制方程［4］，控制方程包括質量守恒方程、動量守恒方程和能量守恒方程。其中離散和近似的方法簡要介紹如下。

1.1配點法

FPM使用配點法來對空間場量進行離散，根據(jù)幾何模型特征來確定所計算的流體域，在流體域內產生計算節(jié)點進行離散。由于計算流體域可能隨時間而變化，因此定義某時刻的計算流體域為Ω( t)，邊界為Ω( t)。在計算域生成一系列的計算粒子點集，其中將計算粒子點進一步劃分為計算域內部的粒子點集，計算域邊界粒子點集。

離散得到的每個粒子點都攜帶相應位置處的場量信息，粒子點的位置信息隨著時間實時發(fā)生變化。

1.2移動最小二乘法(MLS)

分析流體域Ω中場變量u(x)，在x處u(x)的MLS近似表達式為

式中p(x)為對于2維空間坐標xT=［x，y］的基函數(shù)。為保證基函數(shù)p(x)的最小完備性，采用Pascal三角形求解。式(2)中的a(x)為一系數(shù)向量，可表示為

注意，式(3)中的系數(shù)向量a(x)是x函數(shù)。系數(shù)a(x)可進行加權離散取極小得到

式中: n為包含在權函數(shù)珚W(x－xi)≠0的x支持域中的計算節(jié)點數(shù); ui為u在x = xi處的計算點物理量。式(4)是一種泛函形式，主要是針對場函數(shù)的加權殘量，用粒子點坐標參數(shù)和近似函數(shù)來得到場函數(shù)的近似形式。對泛函進行求導如下:

導數(shù)為0的點即為駐點，可得到對空間場量分布的最佳近似。

1.3自由液面處理

在本文計算中，自由液面是FPM所需解決的主要問題。在FPM中，自由液面通過自由邊界粒子來描述，在每個時間步長開始時，都需要進行遍歷檢測自由面粒子點。在自由邊界上，表面張力占很大的比重，在壓力張量和表面張力張量之間存在著力的平衡。

τ·n= kκn。(6)

式中:τ為壓力張量; k為表面張力;κ為自由面曲率。壓力張量可以分解為壓力部分和衰減的壓力張量部分，后者可以進一步表示為對稱的速度變形張量，具體表示形式如下:

將式(7)乘以nT，得到壓力和速度的耦合方程為:

自由面粒子的速度－時間方程為

對式(9)需要補充不可壓縮條件·u = 0。通過上述自由液面粒子點運動方程即可對自由液面粒子點的運動進行求解，使用粒子點對自由液面波形進行精細化模擬。

2　二維液艙晃蕩計算模型

二維矩形艙模型如圖1所示。計算結果與Yang C［5］所得結果做比較。對液艙艙壁采用水平激勵，約束艙的運動，實現(xiàn)水平振蕩運動，其運動方程可表述為

x= Asin(ωt)，

式中: x為水平位移; A為振幅;ω為圓頻率，ω= 2π/T，T為周期［6］。

圖1　液艙晃蕩計算模型Fig.1　Computational model of sloshing tank

用式(10)來計算該液艙一階近似的共振周期

在計算中，取振幅A為0.05 m。在共振周期周圍取13個周期進行計算，具體周期見表1，圖2中的計算圖像都是計算周期內容。在觀測整個晃蕩過程中，壁面所受的橫向力Fx時間歷程，和觀測點處波高時間歷程，計算真實時間為20個周期，計算圖像如圖2所示。將12個工況下的結果進行統(tǒng)計分析，得到每個工況下的最大橫向力和最大波高。此外，還取周期為1.265 s的工況，以驗證共振周期(見圖3)。

3　計算圖像分析

從計算所得到的圖像可以看出，隨著周期的改變，其液面形狀也發(fā)生很大的改變，其中周期越大，所具有的完整波形就越少。由于圖片截取時刻的差異，在圖中波形存在不同。從總體上看，隨著周期的增長，波長幅值也在增大。

圖2　不同周期的計算圖像Fig.2　Image in different period

圖3　共振周期t = 1.265 sFig.3　Image in resonant period t = 1.265 s

此外，通過圖3的的測量證實，本二維矩形艙的共振周期為1.265 s，在此周期下，液艙內共有4個完整波形。

4　計算結果分析

4.1激勵周期校對

由于在計算液艙晃蕩時，壁面運動與興波傳遞存在著一定的時間差。為了確定這個時間差，特選取如圖1中所示近壁面的A處作為測量點，測量不同時刻的波高和橫向力，通過波高的變化周期來得到內部流場的周期。A是相對測量點，與兩側壁面保持固定位置，隨著液艙的晃動而運動，不對內部流場產生影響。

表1　給定周期與測量周期對比Tab.1 The comparison of given and measured period

從表1可看出，在計算過程中，預設周期與計算中實測周期相差很微小，保證了液面波形周期的可知性。從而也說明，F(xiàn)PM計算方法對邊界的運動和內流場激勵的實時性，數(shù)值延遲和失真現(xiàn)象幾乎可以忽略不計。

4.2最大橫向力與周期

為了更清晰地表征艙壁所受最大的橫向力與晃蕩激勵周期之間的變化關系，先將兩者分別進行無因次化處理，如圖4所示。其中Tn為共振周期;ρ= 1 000 kg/m3; g= 9.8 m/s2; l= 1 m; b= 0.35 m。

圖4　最大橫向力與周期的曲線對比圖Fig.4 The comparison on the curves of maximum force with period

從圖4可看出，F(xiàn)PM方法計算結果與試驗結果之間差異。大體上看，兩者走勢相同，其中當最大橫向力超過峰值后，隨著周期的增大，F(xiàn)PM理論計算值與試驗值之間的差異變得越來越小，誤差控制在10%以內。這表明FPM對于邊界所受力的計算合理可信，并未受自由液面變形的影響使計算誤差增大。

4.3最大波高與周期

同樣將最大波高與周期進行無因次化處理，L為液艙的寬度，Tn為共振周期。

圖5　最大波高與周期的曲線對比圖Fig.5 The comparison on the curves of maximum wave height with period

從圖5可看出，對于最大波高的測量，F(xiàn)PM數(shù)值計算值與試驗值的變化趨勢相同，在數(shù)值大小上存在一定差異，在周期較大的情況，誤差相對較小。兩者之間最大的不同在于峰值的不同，一方面是因為本圖采用折線圖，使得最大值的捕捉存在誤差，另一方面是在FPM計算中，是采用粒子點的位置來判斷波高位置，由于粒子點數(shù)目的限制，對于最高值的定位也就產生了不同。

5　結語

本文利用FPM在液艙晃蕩模擬過程中，其主要難點在于對劇烈變化的自由液面和動邊界進行模擬。通過上述計算分析，可得出如下結論:

1)通過監(jiān)視A處的變化周期，證實了在FPM中邊界運動與內部流體粒子點運動相互作用的實時性;同時從計算圖像上可以看出，邊界例子點與內部流體粒子點沒有發(fā)生干涉、分離等現(xiàn)象，自由液面形狀捕捉良好;

2)在液艙艙壁運動的激勵下，液艙內的液體也隨之發(fā)生遷移運動，液面也在不斷的變化波形，并且波形的變化周期并不是與晃蕩周期相同，呈現(xiàn)處強烈的非線性特征;從計算數(shù)據(jù)上看，F(xiàn)PM對于動邊界所受砰擊力及液體波高的計算誤差較小，適用于液艙晃蕩關鍵問題的計算和模擬。

參考文獻:

［1］張雄，劉巖．無網格法［M］．北京:清華大學出版社，2004: 137－210．

［2］ONATE E，IDELSOHN S，ZIENKIEWICZ O C，et al．A finite point method in computational mechanics．Applications to convective Transport and fluid flow［J］．Int．J．Numer．Methods Engrg，1996，39:3839－3866．

［3］ONATE E，IDELSOHN S，ZIENKIEWICZ O C，et al．A stbilized finite point method for analysis of fluid mechanics problems［J］．Comp．Meth．Appl．Mech．Eng．，1996，139: 315－346．

［4］王福軍．計算流體動力學分析［M］．北京:清華大學出版社，2011:4－12．

［5］YANG C，LOHNER R．Computation of 3D flows with violent free surface motion［C］/ /Proceeding of the 15th ISOPE，Seoul，Korea．June，2005:19－24．

［6］祁江濤，顧民，吳乘勝．液艙晃蕩的數(shù)值模擬［J］．船舶力學，2008，15(8) :574－581．

［7］TIWARI S，KUHNERT J．Finite pointset method based on the projection method for simulations of the incompressible Navier-Stockes equations［J］．Springer LNCSE: Meshfree methods for Partial Differential Equations，Vol．26，Ed by M．Griebel，M．A．Schweitzer，2002．

［8］KUHNERT J．An upwind finite pointset method for compressible Euler and Navier-Stokes equations［J］．Springer Lecture Notes in Computational Science and Engineering: Meshfree Methods for Partial Differential Equations I，2002．

［9］LUO Yun-hua，ULRICH H C．A generalized finite difference method based on minmimizing global residual［J］．Comput．Methods Appl．Mech．Engrg，2002，191:1421－1438．

［10］LIU G R，LIU M B．Smoothed particle hydro-dynamics: a meshfree particle methods［M］．World Scientific，2003．

作者簡介:鄭亞雄(1990－)，男，碩士，助理工程師，研究方向為船舶水動力學。

基金項目:航空科學基金資助項目(20122305003)

收稿日期:2014－06－27;修回日期: 2014－09－09

文章編號:1672－7649(2015) 07－0034－04doi:10.3404/j.issn.1672－7649.2015.07.008

中圖分類號:U661．32

文獻標識碼:A