沈劍

【摘要】學(xué)校體能測(cè)試包括5個(gè)項(xiàng)目，每一個(gè)同學(xué)都要把這5項(xiàng)進(jìn)行完不能夠缺少項(xiàng)目，各個(gè)儀器測(cè)試規(guī)則和測(cè)試時(shí)間不同，在這個(gè)條件下的模型可以對(duì)更多的班級(jí)求解，班級(jí)的數(shù)量可以擴(kuò)展得更多。此類模型可以推廣到新生報(bào)名交費(fèi)，由于它程序較多，人也多，這就要求對(duì)整過報(bào)名環(huán)節(jié)要有個(gè)大體的安排，以便縮短報(bào)名的時(shí)間。醫(yī)院體檢有關(guān)問題和在銀行辦理有關(guān)業(yè)務(wù)問題也可適用。

【關(guān)鍵詞】體能測(cè)試；組合方式；0-1規(guī)劃

某中學(xué)按計(jì)劃安排每一個(gè)班級(jí)每一位學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，測(cè)試項(xiàng)目包括身高和體重、立定跳遠(yuǎn)、肺活量、握力和臺(tái)階實(shí)驗(yàn)等5個(gè)項(xiàng)目。為此學(xué)校引進(jìn)了身高與體重測(cè)量?jī)x2臺(tái)，立定跳遠(yuǎn)儀1臺(tái)、肺活量?jī)x1臺(tái)、握力測(cè)量?jī)x2臺(tái)和臺(tái)階實(shí)驗(yàn)測(cè)量?jī)x2臺(tái)。立定跳遠(yuǎn)肺活量、握力、身高和體重5個(gè)項(xiàng)目4種儀器，每臺(tái)儀器每位學(xué)生平均測(cè)試的時(shí)間長(zhǎng)度分別是20秒、20秒、15秒、10秒，其中臺(tái)階實(shí)驗(yàn)每臺(tái)儀器一次測(cè)五名學(xué)生，用時(shí)三分三十秒。校方安排的測(cè)試時(shí)間為上午八點(diǎn)到十二點(diǎn)十分與下午一點(diǎn)到四點(diǎn)四十五這兩個(gè)時(shí)間區(qū)間里。這五項(xiàng)測(cè)試地點(diǎn)都是在最高可以容納一百五十名學(xué)生的小型場(chǎng)所進(jìn)行的。校方要求同一班級(jí)的每一位學(xué)生在同一時(shí)間段內(nèi)完成所有測(cè)試，盡量節(jié)省每一位學(xué)生的等待時(shí)間。安排一個(gè)一個(gè)班級(jí)進(jìn)行測(cè)試，把班級(jí)分組，測(cè)完的同學(xué)就可以回到教室，這樣即減少測(cè)試場(chǎng)所的等待人員，不會(huì)超過場(chǎng)所最多容納150人的限制又節(jié)省同學(xué)整體的等待時(shí)間。從整體計(jì)算單位人完成每項(xiàng)的時(shí)間中第5項(xiàng)花費(fèi)時(shí)間最多，所以第5項(xiàng)決定了完成測(cè)試的時(shí)間，每個(gè)時(shí)間段測(cè)試的人越多就可減少測(cè)試時(shí)間段。根據(jù)上述條件，以每個(gè)時(shí)間段測(cè)試的人最多為目標(biāo)，用時(shí)間的限制為約束，建立0-1整數(shù)規(guī)劃模型，在lingo中求解得到各個(gè)時(shí)間段測(cè)試的班級(jí)，計(jì)算各個(gè)班級(jí)測(cè)試時(shí)間?？傮w上講臺(tái)階實(shí)驗(yàn)、立定跳遠(yuǎn)和肺活量時(shí)間較長(zhǎng)，學(xué)?？梢钥紤]引進(jìn)這幾臺(tái)儀器，測(cè)完的學(xué)生就離開測(cè)試場(chǎng)所的容量不用擴(kuò)大，把節(jié)省時(shí)間把班級(jí)進(jìn)行分組。

一、引入問題

為了全面實(shí)施素質(zhì)教育，進(jìn)一步加強(qiáng)和改進(jìn)學(xué)校體育工作，促進(jìn)學(xué)生持續(xù)、積極、主動(dòng)地參加體育鍛煉，養(yǎng)成良好的鍛煉習(xí)慣，提高體質(zhì)健康水平。各個(gè)學(xué)校都會(huì)對(duì)學(xué)校新生進(jìn)行體能測(cè)試。通過體能測(cè)試，既為學(xué)校全面地掌握學(xué)生的體質(zhì)狀況奠定了基礎(chǔ)，也為學(xué)校制定體育教學(xué)工作提供了較為全面的數(shù)據(jù)。學(xué)校將進(jìn)一步加強(qiáng)體育鍛煉，積極引導(dǎo)學(xué)生參加健康的體育運(yùn)動(dòng)，使學(xué)生能夠健康、快樂地成長(zhǎng)。

某中學(xué)按計(jì)劃安排每一個(gè)班級(jí)的每一位學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，其目的是為了了解學(xué)校里每一位學(xué)生的身體狀況。測(cè)試項(xiàng)目包括身高與體重、立定跳遠(yuǎn)、肺活量、握力和臺(tái)階試驗(yàn)5個(gè)測(cè)試的項(xiàng)目，均由儀器完成，其中包括測(cè)量、記錄、保存信息等。為此學(xué)校引進(jìn)了身高與體重測(cè)量?jī)x2臺(tái)，立定跳遠(yuǎn)儀1臺(tái)、肺活量?jī)x1臺(tái)、握力測(cè)量?jī)x2臺(tái)和臺(tái)階實(shí)驗(yàn)測(cè)量?jī)x2臺(tái)。這幾臺(tái)儀器當(dāng)中立定跳遠(yuǎn)、肺活量、握力、身高與體重5個(gè)測(cè)試的項(xiàng)目里每一臺(tái)儀器每一名學(xué)生的平均測(cè)試（含學(xué)生之間的轉(zhuǎn)換時(shí)間）的時(shí)間分別為20秒、20秒、15秒、10秒，臺(tái)階試驗(yàn)每一臺(tái)儀器一次只能測(cè)試五名學(xué)生，用時(shí)達(dá)三分三十秒。

每一名學(xué)生測(cè)試的每一個(gè)項(xiàng)目前是要錄入個(gè)人信息的，平均用時(shí)5秒。儀器在每一名學(xué)生測(cè)試完后學(xué)號(hào)將自動(dòng)向后移動(dòng)一位，所以如果前后測(cè)試的學(xué)生學(xué)號(hào)相連，可以省去記錄時(shí)間，當(dāng)然同班的學(xué)生學(xué)號(hào)是相連的。校方安排的體能測(cè)試時(shí)間是上午八點(diǎn)到十二點(diǎn)十分與下午一點(diǎn)到四點(diǎn)四十五這兩個(gè)時(shí)間段。五個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試都是在最高可以容納一百五十名學(xué)生的小型場(chǎng)所中進(jìn)行的，測(cè)試項(xiàng)目并沒固定其順序。但是校方要求同一個(gè)班級(jí)的每一位學(xué)生必須在同一時(shí)間段內(nèi)完成所有的測(cè)試項(xiàng)目，并且在整個(gè)測(cè)試中所需時(shí)間區(qū)間的段數(shù)最少的條件下，節(jié)省學(xué)校學(xué)生等待時(shí)間。

請(qǐng)找到各班級(jí)測(cè)試安排，并對(duì)學(xué)校在今后的體能測(cè)試中就以下情況提出自己的建議，說明其理由。

二、問題的分析

經(jīng)過初步分析，認(rèn)為在一個(gè)有限的空間內(nèi)要完成一項(xiàng)測(cè)試任務(wù)，并且要求時(shí)間最短這類模型關(guān)鍵在于：

a.要抓住影響時(shí)間的主要因素，在這個(gè)實(shí)際問題中，消耗時(shí)間的關(guān)鍵因素就是臺(tái)階測(cè)試這個(gè)項(xiàng)，因此要從這個(gè)入手；

b.特別注意測(cè)試的流程圖，這直接關(guān)系到測(cè)驗(yàn)的時(shí)間，因?yàn)樵撃Ｐ椭械牧餍袌D，直接的決定了問題的求解；

分析結(jié)果：此問題屬于0-1整數(shù)規(guī)劃的問題。

題中需要的要求：同班的每一位學(xué)生在相同時(shí)間內(nèi)完成所有項(xiàng)目，所需時(shí)間區(qū)間的段數(shù)最少的條件下，節(jié)省學(xué)校學(xué)生等待時(shí)間。

三、模型的假設(shè)

（l）測(cè)試過程，每一名學(xué)生均不會(huì)出現(xiàn)意外，延長(zhǎng)測(cè)試時(shí)間；（2）在測(cè)試期間各班、各組之間的銜接不會(huì)有間隔；（3）在測(cè)試期間各測(cè)量?jī)x器不會(huì)出現(xiàn)障礙；（4）每組的成員都是以學(xué)號(hào)先后順序排好，不會(huì)出現(xiàn)差錯(cuò)；（5）在測(cè)試的時(shí)間之前班級(jí)的排序以及其他準(zhǔn)備問題都已完成；（6）班級(jí)要求一起來；（7）為了結(jié)果更準(zhǔn)確同一時(shí)刻一名學(xué)生只能進(jìn)行一項(xiàng)測(cè)試。

四、符號(hào)說明

x_i：待測(cè)班級(jí)編號(hào)，j：已測(cè)班級(jí)數(shù)目，c_i：班級(jí)人數(shù)（i=l，2，…56），

y_i：各項(xiàng)目測(cè)試的儀器數(shù)（i=l，2，3，4，5），w：每個(gè)時(shí)間段測(cè)試的總?cè)藬?shù)，T_i：對(duì)應(yīng)時(shí)間段的秒數(shù)，t_i：各個(gè)儀器測(cè)試時(shí)間，p：錄入學(xué)號(hào)的時(shí)間（5秒）；

五、模型的建立與求解

（一）模型的建立

總?cè)藬?shù)一定，要求所需時(shí)間段最少，那么每個(gè)時(shí)間段測(cè)試的人數(shù)就越多越好。要在滿足同一班級(jí)的所有同學(xué)在同一時(shí)間段內(nèi)測(cè)試完成所有項(xiàng)目的條件下，用0-1整數(shù)規(guī)劃模型，引入0-1變量：其中x i=0表示班號(hào)為i的班級(jí)沒有參加測(cè)試；x_i=1表示班號(hào)為i的班級(jí)參加了測(cè)試。則目標(biāo) 函數(shù)：約束條件：

（二）模型的求解

其中t₅=215，因第5項(xiàng)花費(fèi)的時(shí)間最多，兩組完成第5項(xiàng)的時(shí)間也可以完成前4項(xiàng)，把前4項(xiàng)流程：在測(cè)試之前，將學(xué)號(hào)相連的同一個(gè)班的十個(gè)同學(xué)分成兩組。并且將分好的兩組同時(shí)進(jìn)行臺(tái)階測(cè)試，兩組在經(jīng)過臺(tái)階測(cè)試后，同時(shí)分別進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)和肺活量?jī)蓚€(gè)項(xiàng)目測(cè)試。其中每組在錄入個(gè)人信息后直接進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)測(cè)試，緊接著依次進(jìn)入握力，身高與體重的測(cè)試，考慮到各項(xiàng)的錄入時(shí)間和測(cè)試時(shí)間第一個(gè)人只要60秒就可以完成圖中左邊3項(xiàng)測(cè)試等待肺活量測(cè)試完另外一組。左右兩個(gè)測(cè)試流程圖是對(duì)稱的，當(dāng)左邊的第一個(gè)人等待完右邊進(jìn)行肺活量測(cè)試進(jìn)行肺活量測(cè)試時(shí)同時(shí)右邊的第一個(gè)人進(jìn)行立定跳遠(yuǎn)測(cè)試，即在整個(gè)前4項(xiàng)測(cè)試中肺活量和立定跳遠(yuǎn)儀器不會(huì)停止，簡(jiǎn)便理解完成時(shí)間相當(dāng)于進(jìn)行肺活量或立定跳遠(yuǎn)測(cè)試十個(gè)人的時(shí)間，再加上兩組的錄入信息，總共時(shí)間210秒。第5項(xiàng)每測(cè)試一組要215秒，這樣在下一組完成第5項(xiàng)出來時(shí)前一組的前4項(xiàng)測(cè)試已經(jīng)完成。所以整個(gè)測(cè)試時(shí)間主要考慮第5項(xiàng)完成的時(shí)間。把各變量對(duì)應(yīng)值代入上面的模型，用lingo求解。

結(jié)果方案一與方案二對(duì)比

方案一：所需時(shí)間段為4，最后測(cè)試完的時(shí)刻14：19，有效時(shí)間占時(shí)間段的比25%：方案二：所需時(shí)間段為3，最后測(cè)試完的時(shí)刻11：54，有效時(shí)間占時(shí)間段的比93.8%。

方案一最后的時(shí)間段用的有效時(shí)間達(dá)25%，而方案二用的有效時(shí)間達(dá)93.8%，充分利用各個(gè)工作日，即減少了時(shí)間段數(shù)又提高了時(shí)間的利用率?？紤]到實(shí)際還使同學(xué)多了一下午穩(wěn)定上課的時(shí)間。所以選擇方案二，用三個(gè)上午的時(shí)間段來進(jìn)行測(cè)試。為了測(cè)試的班級(jí)更好的銜接，各個(gè)班級(jí)之間要提早30秒去測(cè)試。

六、模型的評(píng)價(jià)和推廣

本模型對(duì)各個(gè)班級(jí)進(jìn)行5人分組，而且要求學(xué)號(hào)相連，測(cè)試之前的準(zhǔn)備工作稍有增加。同時(shí)可以減少學(xué)生的等待時(shí)間，對(duì)場(chǎng)地的人數(shù)也沒限制。

學(xué)校體能測(cè)試包括5個(gè)項(xiàng)目，每一個(gè)同學(xué)都要把這5項(xiàng)進(jìn)行完不能夠缺少項(xiàng)目，各個(gè)儀器測(cè)試規(guī)則和測(cè)試時(shí)間不同，在這個(gè)條件下的模型可以對(duì)更多的班級(jí)求解，班級(jí)的數(shù)量可以擴(kuò)展得更多。此類模型可以推廣到新生報(bào)名交費(fèi)，由于它程序較多，人也多，這就要求對(duì)整過報(bào)名環(huán)節(jié)要有個(gè)大體的安排，以便縮短報(bào)名的時(shí)間。醫(yī)院體檢有關(guān)問題和在銀行辦理有關(guān)業(yè)務(wù)問題也可適用。