陳向榮，陳 星，王鑫偉

(西安建筑科技大學(xué)土木工程學(xué)院，陜西西安 710055)

隨著綠色建筑的發(fā)展，鋼結(jié)構(gòu)越來越受到建筑師們的青睞，蜂窩梁也隨之得到廣泛應(yīng)用.由于計(jì)算方法和規(guī)范編制的相對(duì)滯后，因此在很大程度上蜂窩梁的精細(xì)化、最優(yōu)化設(shè)計(jì)被限制［1］.作為一種新興的演化計(jì)算技術(shù)，群智能算法正逐漸成為各領(lǐng)域研究人員的關(guān)注焦點(diǎn)［2-5］.粒子群算法具有尋優(yōu)程序簡(jiǎn)單、速度快的優(yōu)點(diǎn)［2，4］.圓孔蜂窩梁因受力合理、節(jié)省鋼材、制作方便、造型美觀的優(yōu)點(diǎn)在近期工程中有較為廣泛的應(yīng)用［6］.應(yīng)用單軸對(duì)稱圓孔蜂窩梁可使結(jié)構(gòu)內(nèi)力分布更加合理，并充分利用鋼材［7］.但目前的相關(guān)研究較少，且未見有學(xué)者利用優(yōu)化程序?qū)ζ溥M(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).設(shè)計(jì)單軸對(duì)稱圓孔蜂窩梁時(shí)，不僅需要考慮開孔率、孔間距和跨度等常規(guī)蜂窩梁設(shè)計(jì)參數(shù)，還需對(duì)翼緣進(jìn)行進(jìn)一步設(shè)計(jì)計(jì)算，設(shè)計(jì)過程繁瑣.為簡(jiǎn)化計(jì)算過程，同時(shí)得到一組經(jīng)濟(jì)合理、安全可靠的設(shè)計(jì)參數(shù)，有必要進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).

本研究采用MATLAB編寫優(yōu)化設(shè)計(jì)程序，使用基于隨機(jī)慣性權(quán)重的粒子群算法，經(jīng)過多次運(yùn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)程序，得到一組穩(wěn)定且符合邊界條件的參數(shù)，并對(duì)所得優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行有限元驗(yàn)證，以期為實(shí)際工程提供理論依據(jù)和參考.

1 單軸對(duì)稱圓孔蜂窩梁設(shè)計(jì)

本研究中鋼材選用Q235鋼材，屈服強(qiáng)度為235 MPa，彈性模量E=2.06×105N·mm-2，泊松比 υ取值0.3.

1.1 制作過程

圖1為蜂窩梁構(gòu)造圖.圓孔蜂窩梁的一般制作方法是預(yù)先在H型鋼上畫切割線，按線切割后錯(cuò)位焊接.因設(shè)計(jì)的蜂窩梁為單軸對(duì)稱截面，故需采用兩種型號(hào)的鋼材進(jìn)行切割后混合焊接，焊成的構(gòu)件如圖2所示.

圖1 蜂窩梁構(gòu)造圖

圖2 構(gòu)件截面示意圖

1.2 幾何尺寸

英國(guó)的BS 5950《建筑使用的鋼制結(jié)構(gòu)規(guī)范》［8］中以孔間距S和孔洞直徑D為幾何設(shè)計(jì)參數(shù)，規(guī)定蜂窩梁應(yīng)符合式(1)、式(2)的基本幾何條件，即

式中:HS為蜂窩梁截面高度.

1.3 截面彎曲正應(yīng)力

蜂窩梁空腹截面處的彎曲正應(yīng)力較大，應(yīng)使空腹截面處的彎矩MU小于根據(jù)全截面塑性慣性矩計(jì)算得到的塑性彎矩MP，即滿足式(3)的要求:

式中:ALT為蜂窩梁上部T截面的面積;pY為鋼材設(shè)計(jì)強(qiáng)度;HU為上、下T截面的重心距.

1.4 截面剪切應(yīng)力

蜂窩梁的豎向剪應(yīng)力PVY、水平剪應(yīng)力PVH按式(4)和(5)計(jì)算，即

式中:AWUL為上、下T截面的面積;AWP為最小腹板的面積.

1.5 實(shí)腹處彎曲應(yīng)力

蜂窩梁的橋墩處有焊接接口，應(yīng)力復(fù)雜，是蜂窩梁中又一個(gè)較為薄弱的截面，故此處應(yīng)力應(yīng)滿足式(6)至式(9):

式中:Mmax為蜂窩梁橋墩處的最大彎矩;ME為橋頂水平截面處的最大彎矩.

1.6 撓度

計(jì)算蜂窩梁的撓度時(shí)，需要先分別計(jì)算每一個(gè)開孔單元的撓度，然后疊加各部分撓度得到總撓度ytot，其值不應(yīng)大于 BS 5950［8］規(guī)定的撓度限值.式(10)-(15)為撓度計(jì)算公式:

式中:yMP為空腹截面處彎矩作用產(chǎn)生的撓度;yAP為T截面在軸力作用下產(chǎn)生的撓度;yST為空腹截面處剪力作用產(chǎn)生的撓度;ySMP為在實(shí)腹截面處剪力作用產(chǎn)生的撓度.

2 優(yōu)化設(shè)計(jì)程序

2.1 SIWPSO算法

粒子群優(yōu)化算法(PSO)由Eberhart和Kennedy于1995年提出，是一種基于群智慧的優(yōu)化算法［3］.由于PSO算法參數(shù)較少、收斂速度快、精度高，計(jì)算流程簡(jiǎn)潔，速度、位移變化公式簡(jiǎn)單易操作，與和聲算法、遺傳算法［9］相比更適合編程［2］.粒子群算法的流程圖見圖3.

圖3 粒子群算法的計(jì)算框圖

速度及位移變化的計(jì)算公式見式(16)和(17):

式中:c1為認(rèn)知因子;c2為社會(huì)因子;ζ和η為［0，1］區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù);r為位置更新時(shí)在速度前面加的約束因子，通常設(shè)置為1;w為慣性權(quán)重.本研究采用隨機(jī)慣性權(quán)重，在一定程度上可以避免線性遞減慣性權(quán)重在初期搜索不到最優(yōu)點(diǎn)附近的區(qū)域時(shí)，隨著w的遞減仍然收斂不到最優(yōu)點(diǎn)的局限性［3］.式(18)和(19)為w的計(jì)算公式:

式中:rand(0，1)代表0到1之間的隨機(jī)數(shù);N(0，1)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù).

2.2 邊界條件

邊界條件分為幾何、彎曲應(yīng)力、剪切應(yīng)力、彎剪應(yīng)力和撓度等.參考英國(guó)規(guī)范BS 5950［8］中的設(shè)計(jì)公式并做簡(jiǎn)單推導(dǎo)，得到如式(20)至式(31)所示的約束條件，將這些邊界條件加入到優(yōu)化程序的目標(biāo)函數(shù)中，以此約束各參數(shù)的取值.

限制孔洞直徑、孔間距和蜂窩梁高度:

截面的最大彎矩小于塑性彎矩:

空腹截面處及橋墩處的剪應(yīng)力滿足:

T截面處考慮彎-剪應(yīng)力相互作用:

撓度不應(yīng)超過限值L/360:

2.3 選取算法程序中的變量及范圍

單軸對(duì)稱圓孔蜂窩梁的制作過程特殊，其優(yōu)化問題具有連續(xù)性，狀態(tài)變量的范圍應(yīng)取截面表各尺寸的全集.優(yōu)化變量中的截面高度H、腹板厚度t1、上翼緣寬度b1、上翼緣厚度t2、下翼緣寬度b2和下翼緣厚度t3等參數(shù)變化的范圍采用BS 5950［8］截面尺寸表的全集;另外兩個(gè)優(yōu)化變量距高比E取0.2～2.0，開孔率η取0.3～0.9(實(shí)際中用到E和η的極大、極小值的可能性很小，本研究目的在于以較大的范圍盡可能搜索最優(yōu)解，在運(yùn)行中基本不會(huì)搜索到E和η的極大、極小值).

狀態(tài)變量的選取關(guān)系到算法的精度及速度，故在算法程序的調(diào)試階段，需要進(jìn)行大量試驗(yàn)和迭代的評(píng)估工作.通過對(duì)參數(shù)選取的評(píng)估，發(fā)現(xiàn)粒子個(gè)數(shù)取80個(gè)，隨機(jī)平均慣性權(quán)重從0.8變化到0.5，認(rèn)知因子和社會(huì)因子均取0.5，迭代次數(shù)取1 000次，速度限制為各參數(shù)變化范圍的5%，此時(shí)程序的性能達(dá)到最優(yōu).本研究算例均設(shè)置為上述狀態(tài)變量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).

2.4 目標(biāo)函數(shù)及計(jì)算原理

以整根單軸對(duì)稱圓孔蜂窩梁的重量為目標(biāo)函數(shù)，或稱之為適應(yīng)度.利用懲罰算法對(duì)優(yōu)化程序中的邊界條件進(jìn)行處理［10］，目標(biāo)函數(shù)為

式中:f(x)為以蜂窩梁重量為目標(biāo)的目標(biāo)函數(shù);ai代表對(duì)第i個(gè)約束條件的懲罰因子，為12個(gè)趨于無窮大的數(shù).

優(yōu)化程序循環(huán)中，如果邊界條件不滿足，就會(huì)對(duì)相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行懲罰，使本次迭代的適應(yīng)度值很大，從而提前結(jié)束迭代，進(jìn)入下一次迭代過程，直到得出的適應(yīng)度值在正常范圍內(nèi)，即當(dāng)所有邊界條件均得到滿足時(shí)，可結(jié)束本輪迭代并自動(dòng)記錄;然后比較每輪迭代所得的適應(yīng)度值，選出最小值，即最小自重作為運(yùn)行結(jié)果并輸出.

3 工程算例1

3.1 工程概況

結(jié)合工程實(shí)際，選取同時(shí)承受集中荷載和均布荷載的梁為算例1，對(duì)前文提出的優(yōu)化程序進(jìn)行驗(yàn)證.受力情況及各參數(shù)見圖4.

圖4 工況1下的單軸對(duì)稱圓孔蜂窩梁

3.2 迭代過程

為直觀顯示優(yōu)化設(shè)計(jì)的全過程，在SIWPSO算法的末尾加入結(jié)果的輸出語句，運(yùn)行MATLAB優(yōu)化程序，可得每次迭代的粒子適應(yīng)度最小值(目標(biāo)函數(shù)的最小值)，將各點(diǎn)連接起來，剔除后500次相同的適應(yīng)度值后的迭代過程如圖5所示.

圖5 算例1的優(yōu)化程序迭代圖

初始粒子狀態(tài)和迭代100次時(shí)的粒子狀態(tài)見表1.

表1 算例1迭代過程的粒子狀態(tài)

通過圖5和表1可以看出，用SIWPSO算法編寫的MATLAB優(yōu)化程序，初期收斂速度很快，經(jīng)100次迭代后就進(jìn)入小范圍搜索，整個(gè)搜索過程在迭代200次左右完成，之后迭代粒子參數(shù)基本不變，1 000次迭代的運(yùn)行時(shí)間保持在2～3 min.通過對(duì)本優(yōu)化程序進(jìn)行多次運(yùn)行，發(fā)現(xiàn)程序較為穩(wěn)定，每次的運(yùn)行結(jié)果幾乎一致，有較小的幾率出現(xiàn)一次很大差異的結(jié)果，實(shí)際使用時(shí)經(jīng)幾次運(yùn)行程序就可以避免此類偶然事件的發(fā)生.

3.3 優(yōu)化結(jié)果

通過MATLAB迭代程序的計(jì)算與分析，最終得到工況1下蜂窩梁的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果:梁高為252.9 mm，上翼緣寬為120.4 mm，下翼緣寬為101.6 mm，腹板厚為5.8 mm，上、下翼緣厚度均為7.0 mm，孔洞10個(gè)，孔間距為358.0 mm，梁自重為89.980 kg.

3.4 有限元評(píng)估

根據(jù)工況特點(diǎn)及邊界條件，用ABAQUS對(duì)所得蜂窩梁優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行分析和校驗(yàn).圖6為單軸對(duì)稱圓孔蜂窩梁在工況1下的應(yīng)力云圖.由圖6所示的應(yīng)力云圖可知，通過SIWPSO算法所得截面上的最大Mises應(yīng)力為212.0 MPa，小于并接近材料的強(qiáng)度235.0 MPa，材料得到很大程度上的應(yīng)用，留有一定的安全儲(chǔ)備，可以保證結(jié)構(gòu)安全可靠的同時(shí)，使鋼材用量最小化，故所提出優(yōu)化設(shè)計(jì)程序合理.

圖6 單軸對(duì)稱圓孔蜂窩梁在工況1下的應(yīng)力云圖

4 工程算例2

4.1 工程概況

下文以實(shí)際工程中的一根承受均布荷載的單軸對(duì)稱圓孔蜂窩梁為算例2(見圖7)，梁承受活荷載為10 kN·m-2、恒荷載為6 kN·m-2.

圖7 工況2下的單軸對(duì)稱圓孔蜂窩梁

4.2 迭代過程

優(yōu)化設(shè)計(jì)程序的迭代過程見圖8，取出多次試驗(yàn)中具有最小適應(yīng)度值的迭代次數(shù)-適應(yīng)度曲線，剔除后500次相同的適應(yīng)度值.初始粒子狀態(tài)和迭代100次時(shí)的粒子狀態(tài)列于表2中.

圖8 算例2的優(yōu)化程序迭代圖

表2 算例2迭代過程的粒子狀態(tài)

由圖8、表2可知，優(yōu)化程序在迭代初期的收斂速度較快，經(jīng)50次迭代即進(jìn)入局部?jī)?yōu)化，迭代200次左右適應(yīng)度不再減少，所有粒子的參數(shù)接近一致，經(jīng)后續(xù)迭代剩余粒子也將參數(shù)鎖定為該值，算法接近尾聲.經(jīng)過多次運(yùn)行程序，各優(yōu)化結(jié)果相差很小，即認(rèn)為在該工況和約束條件下已找到最優(yōu)參數(shù).

4.3 優(yōu)化結(jié)果

通過優(yōu)化程序的運(yùn)行，得到工況1下的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果:梁高為304.2 mm，上翼緣寬為131.6 mm，下翼緣寬為101.6 mm，腹板厚為5.8 mm，上翼緣厚度為9.0 mm，下翼緣厚度為10.5 mm，孔洞23個(gè)，孔間距為416.5 mm，梁自重為289.805 kg.

4.4 有限元評(píng)估

根據(jù)算例工況的特點(diǎn)及邊界條件，使用ABAQUS對(duì)算例2建模進(jìn)行有限元分析［7］，應(yīng)力云圖見圖9.

所得構(gòu)件截面上最大Mises應(yīng)力為210.1 MPa，小于并接近材料強(qiáng)度235.0 MPa，結(jié)構(gòu)未發(fā)生塑性變形，且留有一定的安全儲(chǔ)備，使構(gòu)件安全可靠，用鋼量最小化，再次證得優(yōu)化設(shè)計(jì)程序的合理性.

圖9 單軸對(duì)稱圓孔蜂窩梁在工況2下的應(yīng)力云圖

5 結(jié)論

1)通過多次運(yùn)行優(yōu)化程序，發(fā)現(xiàn)初期收斂速度極快，僅經(jīng)過幾十次迭代，即可進(jìn)入局部范圍搜索，經(jīng)過200次左右迭代，就可以搜索出相應(yīng)工況下最符合邊界條件的構(gòu)件參數(shù)，且每次運(yùn)行程序所得構(gòu)件參數(shù)幾乎一致，以此可看出本程序具有收斂速度快和穩(wěn)定性好的優(yōu)點(diǎn)，可縮減設(shè)計(jì)時(shí)間.

2)通過對(duì)兩個(gè)算例得出的蜂窩梁構(gòu)件進(jìn)行有限元分析，可知該優(yōu)化程序具有足夠精確度.優(yōu)化所得構(gòu)件最大Mises應(yīng)力接近且未超過材料強(qiáng)度，構(gòu)件處于彈性階段，翼緣和腹板能各盡其用，一定程度上增加了鋼材利用率，為實(shí)際工程減少開支.

3)本程序?qū)τ趩屋S對(duì)稱蜂窩梁的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有較高適應(yīng)度，可為工程設(shè)計(jì)提供參考.

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