霍承剛

(宿州學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,安徽 宿州 234000)

v(KD)=v(K+)-v(K-)

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Vassiliev不變量與紐結的相似性

霍承剛

(宿州學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,安徽 宿州 234000)

介紹一類重要的紐結不變量，即Vassiliev不變量,且利用紐結的相似性研究了其一些重要性質(zhì).

紐結； 瓊斯多項式；Vassiliev不變量； 相似性

紐結理論與分子生物學、理論物理、化學等自然科學領域密切相關，例如近20年來在生物體和實驗室合成出許多拓撲新穎的分子紐結和分子環(huán)鏈.Birman和Lin給出了Vassiliev不變量的公理描述.本文采用Birman-Lin所引進的Vassiliev不變量的定義[1]. 紐結的Vassiliev不變量是一個特色鮮明的不變量，有類似多項式的性質(zhì)等.研究者刻畫Vassiliev不變量的特性的角度方法逐漸增多[1-8]，比如，Ohyama[2]運用紐結的相似性進行刻畫；Stanford[3]運用辮交換子研究其性質(zhì)，Ohyama和Yamada[4]結合Cn-move來研究等.

1 預備知識

對于值域是Abel群的紐結不變量，運用下述線束關系

v(KD)=v(K+)-v(K-)

來定義奇異紐結的不變量,KD，K+，K-代表局部如圖1所示，但其他部分相同的紐結圖表.

定義1 設v為值域在Abel群的紐結不變量，若對任意多于n個奇異點的紐結K有v(K)=0，則稱不變量為n階Vassiliev不變量，記為vn.

例 令L=L1∪L2∪…∪Ln表示有序定向的n-分支環(huán)鏈，λij(L)為1階的Vassiliev不變量，其中λij(L)表示Li與Lj(i

定理1 令λijλkl(L)=λij(L)λkl(L),則λijλkl是2階的Vassiliev不變量.

事實上，設vd和ve分別為d階和e階的Vassiliev不變量，則vdve為d+e階的Vassiliev不變量.

因為紐結的Conway多項式中二次項的系數(shù)是2階的，所以有6種2階的Vassiliev不變量：常數(shù)，φi(1≤

i≤n)，λij(i

定理2 令a,bi,cij,dij,eijk,fijkl為常數(shù)，則

為n分支環(huán)鏈L的2階的Vassiliev不變量.

2 Vassiliev 不變量與紐結的相似性

引理1 對紐結K及自然數(shù)n，存在無限多個紐結與K具有相同m(1≤m≤n)階不變量.

定義2 設K為紐結，D(K)是K的圖表，令C為D(K)中交叉點的集合，n為正整數(shù)，設A={A1,A2,…,An}為n個C的不交非空子集的集合.用Aj1j2…jm記子集{Aj1,Aj2，…，Ajm}.若對A的每個非空子集Aj1j2…jm中元素交換交叉點，都可得到固定紐結L，那么稱K與L是n-相似的.特殊地，若L為平凡紐結，K稱為

n-平凡的.

引理2 對任意自然數(shù)n>1，存在無窮多個紐結為n-平凡的卻不是n+1平凡的.

引理3[5]對任意紐結L和自然數(shù)n，有無窮多個復合紐結相似于L.

設K為n-相似于L的紐結，D(K)是K的圖表，并且{A1,A2,…，An}給出K與L的相似性.

定理3 設K為紐結，則K與任意有限個(n+1)-平凡紐結的連通和同K擁有相同階≤n的Vassiliev值.特別的，K′記(n+1)-平凡的紐結，#iK′記i個K′做連通和，那么K與K#(#iK′)擁有相同階≤n的Vassiliev值.

證明 先證明如果K與L是n-相似的紐結，那么有下式成立

(1)

當n=1時，利用v(KD)=v(K+)-v(K-) 歸納，有

假設n=k-1時，定理成立.若K與L是k-相似的(關于{A1，A2，…，Ak})，則K與L是(k-1)-相似的(關于{A1，A2，…，Ak-1})，則

再反復運用關系式(1)并運用引理2即證得定理.

定理4 若K是n-平凡紐結，則當 1≤m

1≤m

證明 由式(1)有

從而vm(K)=vm(O).

3 結束語

對紐結不變量的研究對紐結分類意義非凡，而Vassiliev不變量特色明顯，其作用不容忽視.尋找和合成拓撲新穎的蛋白質(zhì)是生物學目前面臨的挑戰(zhàn)和機遇，希望借助Vassiliev不變量獲得突破.

[1] Barnatan D. On the Vassilliev knot invariants[J]. Topology, 1995, 34(2):423-472.

[2] Ohyama Y. Vassiliev invariants and similarity of knots[J]. Proc.Amer. Math.Soc,1995,123: 287-291.

[3] Stanford T. Braid commutators and Vassiliev invariants[J]. Pacific J.Math,1996,174: 269-276.

[4] Yasutaka N, Ohyama Y. Knots with given finite type invariants and Conway polynomial[J]. Knot Theory Ramifications,2006, 15 (2):205-215.

[5] Zhu J. On Jones knot invariants and Vassiliev invariants[J]. J.Math, 1998, 27(2) : 293-299.

[6] Kofman I. Approximating Jones coefficients and other link invariants by Vassiliev invariants[J]. Journal of knot theory and its ramifications, 2000,9(7):955-966.

[7] 霍承剛．紐結的Vassiliev不變量[D]．大連：遼寧師范大學，2007.

[8] 霍承剛．辮交換子與Vassiliev不變量[J].海南大學學報(自然科學版)，2013,31(4)：311-312.

Vassiliev Invariant and Similarity of Knots

Huo Chenggang

(School of Mathematics and Statistics, Suzhou University, Suzhou 234000, China)

In the report, a kind of important knot invariant, Vassiliev invariant, was introduced, and the similarity of knots was used to analyze its some important characteristics.

knot; Jones polynomial; Vassiliev invariant; similarity of knots

2015-01-12

安徽省高校省級自然科學研究項目(KJ2013A248)；宿州學院教研項目“應用型院校近世代數(shù)課程教學改革的探索與實踐”(szxyjyxm201319)；宿州學院大學生科研項目(KYLXWKB14-16)

霍承剛(1980-)，男，山東禹城人，講師，碩士，研究方向：低維拓撲，E-mail:huochenggang_2006@163.com

1004-1729(2015)03-0212-03

O

ADOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2015.0039