姚合軍

(安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 安陽 455000)

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變結(jié)構(gòu)控制課堂教學(xué)中動(dòng)力系統(tǒng)切換面設(shè)計(jì)

姚合軍

(安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 安陽 455000)

[摘要]研究了相變量系統(tǒng)和多輸入多輸出動(dòng)力系統(tǒng)切換面的六種設(shè)計(jì)方法?；贖urwitz穩(wěn)定性判據(jù)和等效控制、極點(diǎn)配置、最優(yōu)控制、特征向量任置法，給出了多輸入多輸出動(dòng)力系統(tǒng)的切換面設(shè)計(jì)方法，保證滑模面的穩(wěn)定，為變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)做好鋪墊。

[關(guān)鍵詞]變結(jié)構(gòu)控制；切換面；動(dòng)力系統(tǒng)

1引言

基于不連續(xù)控制率的變結(jié)構(gòu)控制方法是處理系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的有效方法[1-4]。眾所周知，設(shè)計(jì)變結(jié)構(gòu)控制器有兩個(gè)重要的環(huán)節(jié)： 1.設(shè)計(jì)合適的變結(jié)構(gòu)控制器使得系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)并保持在切換面上。2.設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)那袚Q面和控制器保證被轉(zhuǎn)移到切換面上的點(diǎn)始終在切換面上運(yùn)動(dòng)，并漸近趨于原點(diǎn)。針對(duì)環(huán)節(jié)1，已有大量的研究結(jié)果報(bào)道，得到了各種各樣的趨近率保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換面。文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)了帶有死區(qū)輸入的線性系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制器[6]。Niu等人研究了針對(duì)一類具有非匹配不確定性和狀態(tài)及輸入時(shí)滯系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制器。文獻(xiàn)[7]中，Xia等人研究了具有時(shí)變輸入和狀態(tài)時(shí)滯的線性系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制問題。以線性矩陣不等式形式給出了切換面設(shè)計(jì)的時(shí)滯依賴的充分條件。Liu等人利用全局變結(jié)構(gòu)控制方法研究了一類非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，得到了一個(gè)新的魯棒控制器，改進(jìn)了系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性[8]。

然而控制器設(shè)計(jì)的前提是切換面的設(shè)計(jì)。近年來，有關(guān)于切換面設(shè)計(jì)的結(jié)果也有不少的報(bào)道。文獻(xiàn)[9]研究了一類多輸入多輸出系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制問題，利用極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)切換面，并采用一種改進(jìn)的指數(shù)趨近律，有效降低變結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的抖振。在文獻(xiàn)[10]中，顏等人，針對(duì)一類離散不確定時(shí)滯系統(tǒng)，提出了一種輸出反饋?zhàn)兘Y(jié)構(gòu)控制算法，基于LMI技術(shù)給出了切換面的設(shè)計(jì)方法。然而以往的研究結(jié)果對(duì)于切換面的選取并沒有統(tǒng)一有效的辦法，并且切換面的設(shè)計(jì)技巧性較強(qiáng)，對(duì)于初學(xué)變結(jié)構(gòu)控制的學(xué)者來說不利于把握。正因?yàn)榇耍疚膶⒔o出不同系統(tǒng)的多種設(shè)計(jì)切換面的策略，在歸納總結(jié)前人研究的基礎(chǔ)上，針對(duì)相變量系統(tǒng)、多輸入多輸出系統(tǒng)，給出切換面設(shè)計(jì)的最優(yōu)控制法，特征向量任置法等，為設(shè)計(jì)變結(jié)構(gòu)控制打好基礎(chǔ)，為初學(xué)變結(jié)構(gòu)控制的學(xué)者提供幫助。

2主要結(jié)果

(1)S>0

2.1　相變量系統(tǒng)的切換面設(shè)計(jì)

考慮下面n階相變量系統(tǒng)

(1)

其中ai(i=1,2,…,n)，b均為常數(shù)。

選取切換面：

S=c1x1+c2x2+…+cn-1xn-1+xn

其中ci(i=1,2,…,n-1)滿足Hurwitz條件。

2.2　利用等效控制設(shè)計(jì)切換面

考慮下面正則型線性系統(tǒng)

(2)

假設(shè)1：系統(tǒng)(2)可控，即(A,B)可控。

選取切換面：

S(t)=Cx(t)

(3)

其中C∈R(n-m)×n為待定的常數(shù)矩陣。

把(2)代入(3)式，并求導(dǎo)得到

ueq(t)=-(CB)-1CAx(t)

把上式代入(2)中得到滑模方程

=[I-B(CB)-1C]Ax(t)

由上式知道可以設(shè)計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器，因此假設(shè)控制器為

u(t)=Kx(t)

(4)

其中K∈Em×n為待定的常數(shù)矩陣。

把(4)代入系統(tǒng)(2)得到

從而可以選取切換面系數(shù)矩陣C和矩陣W滿足

(5)

即可。

定理1對(duì)于滿足(5)的矩陣C和W，有CW=W

證明：在式子

兩邊同時(shí)左乘以矩陣C得到

從而CW=0。

2.3　利用二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)切換面

(6)

其中x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)，u(t)∈Rm為系統(tǒng)控制輸入，矩陣A∈Rn×n,B∈Rn×m為列滿秩常數(shù)矩陣。

選取系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)為：

J=∫0∞xT(t)Qx(t)dt

(7)

其中Q為半正定對(duì)稱矩陣。

對(duì)系統(tǒng)(6)作變換：

得到

則滑動(dòng)模態(tài)方程為

S(t)=0

其中切換面選為

(8)

其中C1是具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣。

由引理1得到

令

從而性能指標(biāo)(7)變?yōu)?/p>

J=∫0∞xT(t)Qx(t)dt

對(duì)滑模方程

=A11x1(t)+A12x2(t)

由最優(yōu)控制得到

2.4　利用極點(diǎn)配置方法選取切換面

選取切換面

(9)

其中C1,C2為具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。

滑模方程為

其中C1可取任意非奇異矩陣，如單位矩陣。

令K=-C2-1C1可以確定C2，則滑動(dòng)方程為：

S(t)=0

取新變量

則滑動(dòng)方程為

從而

2.5　利用最優(yōu)控制法設(shè)計(jì)切換面

對(duì)系統(tǒng)(6)，選取性能指標(biāo)為

J=∫0∞xT(t)Qx(t)dt

(10)

其中Q∈Rn×n為正定矩陣。

則

xT(t)Qx(t)

作變換

于是有

因此滑模方程

就變成了

這樣得到一個(gè)等價(jià)的性能指標(biāo)

其解為

U(t)=Kx1(t)

其中P是滿足

的解。

2.6　利用特征向量任置法設(shè)計(jì)切換面

對(duì)系統(tǒng)(6)選取切換面為

S(t)=Cx(t)

其中C為具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。

ueq(t)=-(CB)-1CAx(t)

代入系統(tǒng)(6)中得到

其中

K=(CB)-1CA

令S=Cx(t)=0得到滑動(dòng)模態(tài)在C的零空間，即

ker(C)=N(C)

亦即

C(A-BK)x(t)=0?R(A-BK)?N(C)

記(A-BK)的特征根為λi(i=1,2,…,n)，記λi的特征向量為νi(i=1,2,…,n)，則有

C(A-BK)νi=0

亦即

Cλiνi=λiCνi=0

由此可知λi=0或νi∈ker(C)。

已知滑模是n-m維的，等價(jià)控制方程要成為滑模必有m個(gè)零根。假設(shè)n-m個(gè)特征根λ1,λ2,…,λn-m的特征向量ν1,ν2,…,νn-m張成ker(C)，即

Span(v1,v2,…,vn-m)=ker(C)

于是有

CV=0

(11)

其中V=[v1V2…Vn-m]

由式(11)可解出矩陣C，但其解不唯一。

若將CV=0寫成

其中C1,C2為適當(dāng)維數(shù)的矩陣，即

C1V1+C2V2=0

從而得到

C1=-C2V2V1-1

于是切換面的系數(shù)矩陣為C

3結(jié)論

本文是在前人研究的基礎(chǔ)上，針對(duì)相變量系統(tǒng)和多輸入多輸出動(dòng)力系統(tǒng)，結(jié)合Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)和等效控制、極點(diǎn)配置、最優(yōu)控制、特征向量任置法，得到了多輸入多輸出動(dòng)力系統(tǒng)的多種切換面設(shè)計(jì)方法，系統(tǒng)的歸納總結(jié)了切換面設(shè)計(jì)各種技巧，為變結(jié)構(gòu)控制器的設(shè)計(jì)與實(shí)施做好鋪墊，為初學(xué)變結(jié)構(gòu)控制的學(xué)者提供幫助。

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[責(zé)任編輯：Z]

Design of sliding mode surface for dynamical systems in variable structure control classroom teaching

YAO He-jun

(School of Mathematics and Statistics, Anyang Normal University,Anyang 455000,China)

Abstract：Six approaches have been given to design the sliding mode surface for dynamical systems in this paper. Based on the Hurwitz stability criterion、equivalent control、pole-placement method、optimum control、eigenvector method，several approaches have been obtained to design the stable sliding mode surface and the variable structure controller.

Key words:Sliding mode control; Discrete-time systems; Large-scale system with delays

[中圖分類號(hào)]TP273

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1671-5330(2015)02-0121-05

[作者簡(jiǎn)介]姚合軍，男，副教授，主要從事動(dòng)力系統(tǒng)方面的教學(xué)與研究。

[收稿日期]2015-01-29