蘇　鐵　堅

(吉林建筑大學交通科學與工程學院，長春　130118)

正交異性矩形板固有頻率的確定*

蘇鐵堅

(吉林建筑大學交通科學與工程學院，長春130118)

摘要：筆者應用最小余能原理的理論和方法對彈性正交異性矩形板進行動力分析，計算了結(jié)構(gòu)的固有頻率，對于剪力以及不同邊界支承條件對正交異性板動力參數(shù)的影響進行討論.

關鍵詞：最小余能原理；彈性正交異性板；固有頻率

0引言

在實際工程中，有許多構(gòu)造上的正交異性(矩形)板結(jié)構(gòu).如建筑工程、橋梁工程或船舶工程中由交叉梁和連續(xù)矩形板構(gòu)成的整體梁板結(jié)構(gòu)；機械工程及航空工程中廣泛使用的具有輾制方向的金屬板、波紋板和加肋板等.分析這類正交異性板的動力問題，作為近似計算方法之一的最小余能原理顯示出獨特的優(yōu)越性.尤其是在處理多種變形共存以及復雜邊界條件下的振動問題時更為突出.

1基本原理與方法

對于彈性正交異性板，仍然采用與普通同性板相同的假設條件.為了計算和推導方便，假設正交異性板的兩個彈性主方向與坐標方向(x , y方向)重合.

當板以頻率ω作自由振動時，假設其振型函數(shù)為：

W=w(x,y)

所對應的板上的面分布橫向慣性力集度為：

(1)

式中：D1，D2分別為彈性主方向(x,y方向)的抗彎剛度；Dk為板的抗扭剛度；μ1，μ2分別為板的主方向(x,y方向)的泊松比，且D3=D1μ2+2Dk[1].

對于每一種特定情況，由上式可確定滿足平衡方程及力邊界條件的振型函數(shù)，進而求出結(jié)構(gòu)的彎矩(Mx，My)、扭矩(Mxy).由諸內(nèi)力及振型函數(shù)表示的結(jié)構(gòu)總余能為：

(2)

式中，第二個積分為剪力引起的應變能，δ為板的厚度，最后一個積分表示結(jié)構(gòu)的動能.問題的位移邊界條件(變形連續(xù)條件)應用最小余能原理：

(3)

2四邊簡支板的動力分析

2.1　固有頻率的計算

如圖1所示，當邊長分別為a,b的四邊簡支板作自由振動時，其振型取為在x方向有m個正弦半波，在y方向有n個正弦半波，對應的固有頻率為ωmn，采用一次近似計算.

圖1 四邊簡支板模型

設振型函數(shù)為：

對應的面分布橫向慣性力集度為：

將前兩式代入平衡方程(1)中，求得振型函數(shù)為：

式中：

由慣性力引起的內(nèi)力為：

(4)

對于同性板，固有頻率

(5)

為該問題的精確解[3].

2.2　剪力對固有頻率的影響

在問題2.1中加入剪力的影響.設m=n=1，按邊長為a的方板計算，取慣性力作用下的剪力為：

(6)

式中：

(7)

(8)

式中：

(9)

為剪力影響系數(shù).對于同性板，有

(10)

3不同支承條件下正交異性板的固有頻率

3.1　一邊固定，另三邊簡支

一邊固定，三邊簡支、邊長為a的正交異性方板，見圖2，求固有頻率.將問題簡化成四邊簡支方板，對應原固定邊界處有分布力矩作用，見圖3.采用一次近似計算，設振型函數(shù)為：

由慣性力引起的內(nèi)力均與問題2.1中的結(jié)果一致.

圖2 一邊固定，三邊簡支板模型

圖3 簡化后的簡支板模型

設邊界分布力偶m0引起的內(nèi)力為：

式中：B0=D2(1+μ1)/D1(1+μ2)為內(nèi)力比例系數(shù)，對于同性板有B0=1.則板的總內(nèi)力為：

(11)

式中：

對于同性板有D0=D，其固有頻率為：

(12)

結(jié)果(μ=0.2)與問題精確解的誤差為1.50%.

3.2　一對邊固定支承，另兩邊簡支

一對邊(平行于y軸)固定支承，另兩邊簡支、邊長為a的正交異性方板，求結(jié)構(gòu)的固有頻率.將其簡化為四邊簡支方板，對應原固定支承邊界上有分布力偶作用的計算模型.由慣性力引起的內(nèi)力與問題2.1相同，由邊界力偶引起的內(nèi)力取為：

(13)

對于同性板，其固有頻率為：

(14)

結(jié)果(μ=0.2)為問題的精確解[4].

參考文獻

[1] 曹治杰,余傳禧.正交異性板的計算[M].北京：中國鐵道出版社，1983:2-6.

[2] 林家浩,曲乃泗,孫煥純.計算結(jié)構(gòu)動力學[M].北京：高等教育出版社，1989:167-170.

[3] 徐芝綸.彈性力學(第三版)下冊[M].北京：高等教育出版社，2003:79-82.

[4] Warren C.Young Richard G.Bndynas.Roark’s Formulas for Stress and Strain (Seventh Ed)[M].New York:McGraw-Hill Companies,2002:764-766.

*基金項目：吉林省科技廳應用基礎研究項目資助(201205056).

Determine the Natural Frequencies of Rectangle Orthogonal Plate

SU Tie-jian

(SchoolofCommunicationScienceandEngineering,JilinJianzhuUniversity，Changchun，China130118)

Abstract：In this paper, the minimum excess principle are used in dynamic analysis of rectangle orthogonal plate. The natural frequencies are calculated in detail, and the influences of shear and different Constraints on the natural frequency are discussed.

Keywords:minimum excess principle；rectangle orthogonal plate；natural frequencies

中圖分類號：TU 311.3

文獻標志碼：A

文章編號：2095-8919(2015)06-0005-04

作者簡介：蘇鐵堅(1957~),男,吉林省長春市人,教授.

收稿日期：2015-02-09.