徐 馳，趙慧敏，李 文

(1.大連交通大學(xué) 電氣信息學(xué)院，遼寧 大連 116028;2.大連交通大學(xué) 軟件學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

0 引言

目前，分數(shù)階控制理論的研究內(nèi)容已經(jīng)十分豐富，其中主要包括分數(shù)階微積分算子的數(shù)值實現(xiàn)［1］、分數(shù)階控制器設(shè)計［2］、分數(shù)階系統(tǒng)辨識和分數(shù)階控制系統(tǒng)的系統(tǒng)性能分析及其分析方法［3］.在分數(shù)階控制的諸多研究方向中，分數(shù)階系統(tǒng)或算子模型的逼近方法研究是基礎(chǔ).由于分數(shù)階微積分算子是復(fù)變量S的無理函數(shù)，要想對分數(shù)階系統(tǒng)進行數(shù)值仿真和實際應(yīng)用就必須對分數(shù)階系統(tǒng)進行有理化近似.目前，在諸多分數(shù)階算子有理化近似方法中，人們多采用Oustaloup間接離散化方法［4］.該方法可以簡單并且直觀的根據(jù)參數(shù)計算公式來確定逼近傳遞函數(shù)，但是在所選定頻率范圍的低頻與高頻端的擬合效果不理想.實際上，當采用Oustaloup方法對分數(shù)階算子進行有理逼近時，一旦確定了有理函數(shù)的結(jié)構(gòu)即逼近階次，那么根據(jù)參數(shù)計算公式可以發(fā)現(xiàn)逼近系數(shù)是對應(yīng)于所選逼近頻段與逼近階次唯一確定的.因此要想在Oustaloup算法逼近頻段與逼近階次確定的基礎(chǔ)上提高其有理逼近精度，可以從有理傳遞函數(shù)的系數(shù)著手，通過合理的改變有理傳遞函數(shù)的系數(shù)來提高其有理逼近精度.為此，本文在Oustaloup算法基礎(chǔ)上采用粒子群優(yōu)化算法對逼近傳遞函數(shù)的各系數(shù)進行尋優(yōu).在下面內(nèi)容中，將對本文所提方法進行詳細闡述，并通過具體實例進行有效對比，證明所提方法的有效性.

1 Oustaloup算法

Oustloup算法也叫信號濾波法，在實際情況下，大多數(shù)分數(shù)階微分信號是無法預(yù)先知道的，那么我們可以通過構(gòu)造濾波函數(shù)來實現(xiàn)對信號的數(shù)值處理.下面采用文獻［4］給出的Oustaloup算法對分數(shù)階微分算子進行有理逼近，得到有理傳遞函數(shù):

這里選取擬合頻段為［0.01，100］、逼近階次為5.從式(1)可以看出分數(shù)階微分算子Sα(α=0.5)的有理逼近函數(shù)H(s)的一般形式為:

從Oustaloup算法的定義式也很容易證明式(2).

2 粒子群優(yōu)化(PSO)算法

Kennedy和Eberhart基于對鳥群運行模式的簡化研究及行為模擬開發(fā)了一種優(yōu)化算法—粒子群 優(yōu) 化 算 法［5］(Particle Swarm Optimization，PSO).文獻［5］給出了粒子群優(yōu)化算法的設(shè)計原理以及Matlab的相關(guān)程序?qū)崿F(xiàn).該算法的基本流程可歸納為:

Step1:在可行解空間內(nèi)初始化所有微粒，包括在允許范圍內(nèi)的隨機速度與位置.

Step2:評價每個微粒的位置適應(yīng)值，計算其目標函數(shù).

Step3:對于每個微粒，將其適應(yīng)值與微粒自身所經(jīng)歷過的最好位置(pbest)進行比較，若更好，則將其替換為當前的pbest.

Step4:對于每個微粒，將其適應(yīng)值與整個群體所經(jīng)歷過的最好位置(gbest)進行比較，若更好，則將其作為整個群體最優(yōu)位置.

Step5:更新微粒的速度與位置.

Step6:若滿足終止條件，則停止迭代，否則返回Step2.

3 PSO算法對提高分數(shù)階算子有理逼近精度的研究

粒子群優(yōu)化參數(shù)的選取包括粒子群初值、粒子群規(guī)模、慣性權(quán)重以及目標函數(shù)的確定:

(1)PSO初值的選取

因為所選逼近傳遞函數(shù)H(S)的階次為5，則位置矢量選取 Xi=(b1，b2，b3，b4，b5)，若要對分數(shù)階微分算子S0.5進行有理逼近精度提高的研究，那么位置矢量的初始值 Xi0=(10，298.5，1 218，768.5，74.79)，這樣可以有效的避免 PSO 尋優(yōu)的隨機性，提高尋優(yōu)效率.

(2)PSO慣性權(quán)重的選取

本文為了更好的平衡算法的全局搜索與局部搜索能力，采用線性遞減慣性權(quán)重［6］

ωstart為初始慣性權(quán)重、ωend是迭代至最大次數(shù)時的慣性權(quán)重、k為當前尋優(yōu)次數(shù)、Tmax為最大迭代次數(shù).根據(jù)經(jīng)驗取 ωstart=0.9、ωsend=0.4、Tmax=300、微粒群規(guī)模m取30.

(3)目標函數(shù)的確定

分數(shù)階微分算子 Sα(α ∈［0.1 ～ 0.9］的實際頻域響應(yīng)H(s)與其有理逼近函數(shù)的頻域響應(yīng)之間的誤差包括幅值誤差(dB)和相位誤差(deg).因此，本文將粒子群優(yōu)化算法的目標函數(shù)定義為幅值誤差絕對值和相位誤差絕對值之和:

H(ωi)為分數(shù)階算子的頻率響應(yīng)，H^(ωi)為有理逼近函數(shù)的頻率響應(yīng)，ωb＜ωi＜ωh.L為采樣個數(shù)，令 L=logspace(ωb，ωh，500).當尋優(yōu)過程中，逼近函數(shù)H^(ωi)穩(wěn)定時，目標函數(shù)取幅值誤差絕對值和相位誤差絕對值之和.當H^(ωi)不穩(wěn)定時，目標函數(shù)值賦予一個較大值F.

4 仿真實例

用上述介紹的粒子群優(yōu)化算法對分數(shù)階微分算子Sα(α=0.5)的有理逼近函數(shù)H(S)的各系數(shù)進行尋優(yōu)，尋優(yōu)結(jié)果為:

此時目標函數(shù)值f=0.789.

由式(5)可得S0.5的有理逼近函數(shù)(s)

繪制出(1)和(6)的Bode圖，如圖1所示(圖中疊加了S0.5的理論值):

圖1 Oustaloup算法和PSO算法比較

從圖1可以得出本文所提的PSO算法逼近精度高于Oustaloup算法，尤其在選取特定頻段的端點處擬合效果明顯優(yōu)于Oustaloup算法.

下面分別采用Oustaloup算法和PSO算法對一個分數(shù)階傳遞函數(shù)進行有理逼近，并對兩種仿真進行對比.設(shè)要逼近的傳遞函數(shù)為:

將式(7)改寫為:

采用本文所提方法對分數(shù)階微分算子S0.2、S0.7進行有理傳遞函數(shù)系數(shù)尋優(yōu)，得到:

圖2給出了傳遞函數(shù)G(S)理論Bode圖和Oustaloup算法、本文所提方法得到的有理逼近函數(shù)的Bode圖，從圖中可以看出本文所提方法得到的有理傳遞函數(shù)擬合精度優(yōu)于Oustaloup算法.

圖2 整個系統(tǒng)的Bode比較

從圖2可以發(fā)現(xiàn)，在中頻段兩種方法均能取得較好的逼近精度，而在低頻段與高頻段采用PSO算法的逼近精度明顯高于Oustaloup算法.

下面用Oustaloup算法對分數(shù)階微分算子Sα(α=(0.1 ～ 0.9)，得到有理逼近傳遞函數(shù)H(s)，再運用本文所提方法對分數(shù)階微分算子Sα(α=(0.1 ～ 0.9)的有理逼近函數(shù)H(S)的各系數(shù)進行尋優(yōu)，最后分別計算出采用Oustaloup方法和本文方法的幅值絕對誤差平均值和相位絕對誤差平均值，對比結(jié)果如表1所示.

表1 Oustaloup算法與PSO算法誤差對比

從表1可以看出，對于 α ∈［0.1 ～ 0.9］，PSO算法的相位誤差均值明顯小于Oustaloup算法.當階次α＞0.3時，PSO算法的幅值誤差均值也比Oustaloup算法的幅值誤差均值小.當階次α∈［0.1～0.3］時，PSO算法的幅值誤差均值比Oustaloup方法的幅值誤差均值要大一點，不過在α＜0.3時，這兩種方法的幅值誤差均值都已足夠小，因此不影響PSO算法的優(yōu)越性.

5 結(jié)論

本文提出的一種智能優(yōu)化算法對提高分數(shù)階算子逼近精度的研究，該方法能夠有效的提高擬合精度，此方法所采用的有理傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)由Oustaloup算法得到，有理逼近傳遞函數(shù)的分子、分母通過粒子群優(yōu)化算法再次尋優(yōu)得到.通過本文所提方法對分數(shù)階微分算子S0.5進行有理逼近，仿真結(jié)果表明所提方法能夠取得比Oustaloup算法更高的逼近效果.此外，還利用本文所提方法對一個分數(shù)階傳遞函數(shù)進行有理逼近，結(jié)果同樣證明了所提方法的有效性.

［1］高朝邦，周激流.基于四元數(shù)分數(shù)階方向微分的圖像增強［J］.自動化學(xué)報，2011，37(2):150-159.

［2］HARTLEY T T，LORENZO C F.Dynamics and control of initialized fractional order systems［J］.Nonlinear Dynamics，2002，29(1/2/3/4):201-233.

［3］MALTI R，VIETOR S，OUSTALOUP A，et al.An optimal instrumental variable method for continuous-time fractional model identification［C］.Proceeding of the 17thWorld Congress on The international Federation of Auto-mation Control Korea，2008:14379-14348.

［4］OUSTALOUP A，LEVRON F，NANOT F，et al.Frequency-band complex noninteger differentiator:characterization and synthesis［J］.IEEE Transactions on Circuits Systems I:Fundamental Theory and Applications，2000，47(1):25-39.

［5］BIRGE B，PSOT.A Particle Swarm Optimization Toolbox for matlab［J］.IEEE Swarm Intelligence Symposium Proceedings，2003，26(3):24-26.