蔡軍哲，何 偉，邊隴超，司 龍

(1.西安公路研究院，陜西 西安 710065;2.陜西省交通建設(shè)集團公司，陜西 西安 710075;3.陜西省長安區(qū)農(nóng)村公路管理站，陜西 西安 710100)*

0 引言

當車輛以一定速度通過橋梁時，因車輛自身動力特性的作用、橋頭引道與橋面凹凸等因素的影響，引起車輛彈簧上部由車身及裝載貨物所構(gòu)成的懸掛質(zhì)量的振動.車輛的振動會促使橋梁結(jié)構(gòu)發(fā)生振動，導(dǎo)致橋梁結(jié)構(gòu)內(nèi)力及位移變化，與此同時橋梁結(jié)構(gòu)的振動又促進車輛的振動，這種相互作用和反作用就是“車-橋耦合”問題，關(guān)于車-橋耦合振動研究可追溯到 1929年的Jeffcott［1］發(fā)表的動載荷作用下橋梁振動的研究.初期的研究都是將車輛簡化為移動的載荷，在1968年，Tan和Shore［2-3］運用一個移動常量力來考慮而忽略其慣性;當車輛的質(zhì)量遠小于橋梁結(jié)構(gòu)且橋面平整度較好時，上述簡化研究還是很實用和便捷的.但當車輛的質(zhì)量不可以忽略時，就需要使用改進的模型，于是在1979 年，Blewjas［4］提出了移動質(zhì)量模型.然而這一模型在反映車-橋耦合本質(zhì)上仍然是不完善的，于是林海等［5］對初期的解析分析理論做的評述里有更詳細的介紹.

本文考慮橋面隨機不平整激勵，建立1/2車輛模型作為車-橋耦合的移動荷載作用在空間簡支梁橋模型上.運用大型有限元分析軟件ANSYS的耦合技術(shù)來實現(xiàn)車-橋耦合振動分析，為橋梁結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分析提供了一種便捷和可靠的數(shù)值分析方法.

1 車-橋耦合振動分析

1.1 橋梁模型及振動方程

目前，梁橋、拱橋、斜拉橋、懸索橋等橋型結(jié)構(gòu)形式在車-橋耦合振動分析中都有所涉及.一般采用有限元方法建立橋梁模型的動力平衡方程.橋梁有限元模型大多采用桿系單元建立［6］，對結(jié)構(gòu)作大量簡化的有限元模型會導(dǎo)致一定的近似性，并且忽略了橋梁的局部振動.橋梁一般由橋跨結(jié)構(gòu)、支座系統(tǒng)、墩臺、及墩臺基礎(chǔ)等結(jié)構(gòu)組成，在分析車輛與橋梁結(jié)構(gòu)的耦合振動時，一般用空間有限元模型來模擬橋梁結(jié)構(gòu)，采用空間梁單元進行分析［7］.橋梁結(jié)構(gòu)屬于多自由度體系，橋梁結(jié)構(gòu)的動力平衡方程可寫為:

式中:［Mb］為橋梁結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣;［Cb］為橋梁結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣;［Kb］為橋梁結(jié)構(gòu)的剛度矩陣;、、{Xb}為分別為橋梁結(jié)構(gòu)節(jié)點的加速度、速度和位移向量;［Fb］為車輛作用于橋梁結(jié)構(gòu)的荷載向量，車輛荷載和橋梁的耦合振動、車速、橋面不平整度的函數(shù).

1.2 車輛模型及振動方程

車輛動力學(xué)是研究所有與車輛系統(tǒng)運動有關(guān)的科學(xué)，其本身是個非常復(fù)雜的學(xué)科.在車-橋耦合振動分析中，橋梁工作者主要關(guān)注橋梁結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，而車輛本身的模型只要能滿足車-橋耦合振動的要求，一般都作盡可能的簡化，以減少耦合系統(tǒng)求解的復(fù)雜程度.

公路橋梁上的車輛常見是各種類型的雙軸、三軸載重車輛和運輸重車.車輛行駛過橋面時，將產(chǎn)生振動，車輛的振動主要包括下面幾種:上下振動、前后振動和左右搖晃.

建立三軸載重車平面車輛模型［8］(見圖1)，本文采用1/2車輛模型模擬移動荷載.建立車輛振動模型，它屬于車身剛體的豎向位移ZG，豎向轉(zhuǎn)角θ和三軸車豎向位移Zi(i=1，2，3)的五個自由度的振動系統(tǒng).

圖1 三軸車輛平面模型

如果輪胎運動時不離開橋面，橋梁的動力響應(yīng)可近似看作靜力響應(yīng)，以豎向靜力平衡狀態(tài)為車輛運動系統(tǒng)的基準，則車輛振動系統(tǒng)的總動能T、勢能U及能量損失D分別為:

對以上各式求偏導(dǎo)，將其計算結(jié)果代入拉格朗日方程:

且廣義力Q=0時，可得車輛的振動方程，寫成矩陣形式如下:

式中，［M］、［C］、［K］分別為車輛的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣，剛度矩陣;［P］為車輛的整體外力向量;{Z}為車輛的5個自由度的位移列向量.

其中:M、m1、m2、m3分別為車身和各軸質(zhì)量;J為車輛的轉(zhuǎn)動慣量，可由J=M(l2-l21-l22)計算;Ksi，Kti為第i軸的懸掛彈簧剛度和輪胎剛度;Csi，Cti為第i軸的懸掛彈簧阻尼系數(shù)和輪胎阻尼系數(shù);ZG為車身豎向位移;θ為車身豎向轉(zhuǎn)角;ri為車輛第i軸所在位置橋面的凹凸大小;yi為車輛第i軸所在位置處梁的撓度.

1.3 車-橋耦合振動方程

假設(shè)車輪在運行的過程中始終與橋面密貼不脫離，則使車輛和橋梁結(jié)構(gòu)耦合成一個系統(tǒng)，也就是通過位移聯(lián)系方程及車橋相互作用力將車橋兩系統(tǒng)耦合起來.輪對的位移可通過梁的相應(yīng)位移表示，其方程為聯(lián)系方程，即:

式中:zi為車輛第i個車輪由靜平衡位置算起的的豎向位移;di為輪跡的外形(dx)在作用點處的坐標(包括橋梁縱坡、橋面不平整度等);yi為橋梁在第i個車輪作用下的瞬時變位值;ui為車輛各軸懸掛彈簧的相對位移.

將車輛和橋梁結(jié)構(gòu)視為兩個分離體，兩者之間的耦合作用通過輪胎與橋面間的相互作用聯(lián)系起來.輪胎和橋面間的相互作用力為［9］:

式中:Kti為第i個輪胎的剛度;Cti為第i個輪胎的阻尼系數(shù);ui為第i個輪胎與橋梁的豎向聯(lián)系位移.

2 車-橋耦合振動方程的求解

車-橋耦合振動方程組屬于一個二階變系數(shù)微分方程組.隨著時間的推移振動方程中的荷載項不斷的發(fā)生變化.解此類方程組一般采用直接積分法，其方法又分為顯式積分法、隱式積分法兩種類型.其中顯式積分法又分為:中心差分法、歐拉兩步法、四階龍格-庫塔法等.其缺點是數(shù)值積分穩(wěn)定性制約著時間步長，不得大于系統(tǒng)的臨界時間步長.隱式積分方法有wllson-θ法及Newmark-β法.隱式積分法具有無條件穩(wěn)定性，即時間步長可以任意大，且算法較穩(wěn)定.文獻［10］指出了Newmark-β法無條件穩(wěn)定的條件為β≥，α ≥0.25(0.5+ β)2，0.5- β + α ≥0.當方程組滿足上述條件時，解的穩(wěn)定性時不會受到間步長Δt的影響，只會影響解的精確度.本文運用Newmark-β法對車-橋耦合動力方程組進行求解.

3 橋面不平整度的數(shù)值模擬

橋面不平整度函數(shù)本質(zhì)上是平穩(wěn)Gauss隨機過程，其不平整度樣本可以通過給定的橋面不平整度功率譜密度生成.一般有三角級數(shù)疊加法［7］、二次濾波法、白噪聲濾波法、AR 和ARMA模型的方法等［11］.

本文從概率論的角度出發(fā)，根據(jù)選定的橋面不平整度功率譜密度函數(shù)及橋面參數(shù)，運用三角級數(shù)疊加法，可以生成橋面不平整度樣本如下式:

式中:R(x)為橋面不平整度樣本(m);S(Ωk)為橋面不平整度功率譜密度函數(shù)(m/cycle);Ωk為離散的空間頻率(cycle/m);ΔΩ為空間頻率間隔的帶寬(cycle/m);k為服從［0，2π］均勻分布的隨機相位;N為采樣頻段數(shù).

大量研究表明，我國公路橋面譜大多由A、B、C三級不平整度組成，其中B、C兩級橋面譜所占的比例較大.本文運用Matlab平臺模擬了A、B、C三級橋面隨機不平整度，如圖2所示.

圖2 路面的三種不平整度

4 車-橋耦合振動的數(shù)值分析

算例采用的車輛和橋梁技術(shù)參數(shù)如表1、表2所示.

按照上述1/2車輛模型作為車-橋耦合的移動荷載作用在空間簡支梁橋上，將簡支梁劃分為160個單元，利用ANSYS的耦合技術(shù)來實現(xiàn)車-橋耦合振動分析，計算得出了橋梁結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，限于文章字數(shù)，只列出了20、25 m/s時不平整度橋面狀況下的橋梁結(jié)構(gòu)跨中位移和彎矩響應(yīng)曲線，如圖3～圖6.

表1 車輛技術(shù)參數(shù)

表2 橋梁技術(shù)參數(shù)

5 結(jié)論

本文采用三角級數(shù)疊加法模擬生成橋面不平度樣本，考慮橋面不平整、車輛速度的激勵及車-橋耦合原理.通過大型通用有限元軟件ANSYS耦合技術(shù)對車-橋耦合的振動響應(yīng)進行了分析.提出了5個自由度的車輛模型模擬重車，160個梁單元模型模擬簡支梁橋，把車輛和橋梁結(jié)構(gòu)視為2個系統(tǒng).利用Newmark-β法求解車-橋耦合振動方程組，進行了橋梁結(jié)構(gòu)振動的位移、彎矩的響應(yīng)研究.同時為研究復(fù)雜橋梁的車-橋耦合提供了一種便捷而可靠的數(shù)值分析方法得出如下結(jié)論:

(1)橋面越不平整對橋梁位移和彎矩的影響越大，在車-橋耦合及沖擊系數(shù)分析研究中，橋面不平整是必須考慮的因素;

(2)車輛速度的變化對橋梁結(jié)構(gòu)跨中位移和彎矩的影響不明顯;

(3)無論車速增減或橋面平整等級變化，橋梁跨中最大位移和彎矩都不是發(fā)生在橋梁跨中位置.

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