鄭偉佳　王孝洪　皮佑國

(華南理工大學 自動化科學與工程學院, 廣東 廣州 510640)

基于輸出誤差的永磁同步電機分數(shù)階建模*

鄭偉佳王孝洪?皮佑國

(華南理工大學 自動化科學與工程學院, 廣東 廣州 510640)

摘要：為了得到永磁同步電動機更為精確的數(shù)學模型,采用機理建模和數(shù)值建模相結(jié)合的方式,提出了一種永磁同步電動機分數(shù)階建模方法.首先根據(jù)電動機組成機理建立電動機的電磁環(huán)節(jié)和機械環(huán)節(jié)模型,分別對這兩個環(huán)節(jié)進行建模實驗,然后采用基于輸出誤差的數(shù)值擬合方法進行參數(shù)辨識,得到永磁同步電動機的分數(shù)階模型,最后根據(jù)所得模型設計速度控制器并進行電動機速度跟蹤仿真和實驗.結(jié)果表明,電動機分數(shù)階模型比整數(shù)階模型能更準確地描述電動機的實際特性.

關(guān)鍵詞：同步電動機;建模;輸出誤差算法;參數(shù)辨識;PI控制器

近年來,分數(shù)階微積分得到了廣泛的研究和應用[1- 6].越來越多的實際系統(tǒng)可以用分數(shù)階微分方程精確建模,如電池[7]、熱力學系統(tǒng)[8]和感性元件[9].Hartley等[10]給出了基于連續(xù)分布的分數(shù)階系統(tǒng)辨識方法.Gabano等[8]和Poinot等[11]提出了熱力學系統(tǒng)的分數(shù)階建模方法.余偉等[12]研究了永磁同步電動機的分數(shù)階建模,將電動機看成一個整體,將其整數(shù)階數(shù)學模型中的S算子直接假設成分數(shù)階,再辨識其階次而得到電動機的分數(shù)階模型,在驗證時對分數(shù)階模型的階躍響應與整數(shù)階模型的階躍響應進行了對比.該模型雖然比整數(shù)階模型能更準確地描述電動機的實際特性,但將電動機作為一個整體進行建模未能很好地利用電動機的組成機理,因而不能進一步獲得對電動機本質(zhì)的認識,同時辨識中電動機的電磁環(huán)節(jié)和機械環(huán)節(jié)還可能相互影響.

為此,文中采用機理建模與數(shù)值建模相結(jié)合的方式,首先根據(jù)電動機的組成機理將電動機分成電磁環(huán)節(jié)和機械環(huán)節(jié)兩部分(前者將電壓轉(zhuǎn)換成電磁力矩,后者在力矩作用下產(chǎn)生轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)),并分別建立這兩個環(huán)節(jié)的數(shù)學模型;然后以偽隨機序列作為激勵信號,分別對這兩個環(huán)節(jié)進行建模實驗,根據(jù)輸入輸出采樣數(shù)據(jù),采用基于輸出誤差的數(shù)值擬合方法辨識這兩個環(huán)節(jié)的參數(shù),得到永磁同步電動機的分數(shù)階數(shù)學模型;最后分別以整數(shù)階模型和分數(shù)階模型作為對象模型,根據(jù)增益截止頻率和相位裕度準則設計速度比例積分(PI)控制器，并進行速度跟蹤仿真和實驗,比較仿真結(jié)果和實驗結(jié)果之間的差異.

1永磁同步電動機模型

根據(jù)電機統(tǒng)一理論,在dq坐標系下永磁同步電動機的等效模型為[13]

(1)

(2)

式中,uq是q軸電壓,E是反電動勢,Ce是感應電動勢系數(shù),n是電動機轉(zhuǎn)速,R是電樞電阻,iq是q軸電流,L是電樞電感,T是電磁轉(zhuǎn)矩,TL是負載轉(zhuǎn)矩,Cm是轉(zhuǎn)矩系數(shù),iL是等效負載電流,m是電動機等效飛輪重量，g是重力加速度，D是飛輪慣性直徑.

實際的系統(tǒng)通常是分數(shù)階的[14],采用分數(shù)階模型能夠更好地描述電感的特性[9，15].電動機電磁環(huán)節(jié)可由式(3)表示,其中分數(shù)階次滿足0

(3)

電動機的動力學方程[13]是基于旋轉(zhuǎn)體上質(zhì)量為均勻分布的假設,實際電動機的機械環(huán)節(jié)也應該是分數(shù)階的,如式(4)所示,其中分數(shù)階次滿足0<ξ<2.

(4)

2分數(shù)階系統(tǒng)的時域辨識

2.1　分數(shù)階系統(tǒng)的近似

在頻段(ωL,ωH)內(nèi),分數(shù)階積分器1/sξ可用一階積分器和包含2N+1個單元的Oustaloup濾波器[16]串聯(lián)來逼近[11，17],即

(6)

(7)

設分數(shù)階辨識參考模型的傳遞函數(shù)為

P(s)=b/(sξ+a)

(8)

(9)

2.2　分數(shù)階模型參數(shù)辨識

(10)

3永磁同步電動機分數(shù)階建模

3.1　永磁同步電動機調(diào)速平臺

永磁同步電動機調(diào)速實驗平臺如圖1所示,實驗所用電動機為日本三洋公司的P10B18200BXS永磁同步電動機,伺服驅(qū)動裝置為實驗室自制,其中控制板所用的DSP為德州儀器公司的TMS320F2812芯片.PC機所用軟件平臺為德州儀器公司的CodeComposerStudio(CCS)軟件,PC機通過仿真器與驅(qū)動裝置通信,控制電動機運行.

圖1　永磁同步電動機調(diào)速實驗平臺Fig.1　PMSM speed-control platform

3.2　辨識輸入信號選取

偽隨機二進制序列(PRBS)是應用最廣的一種實驗信號,它能對辨識系統(tǒng)進行持續(xù)激勵,并具有可調(diào)的幅度和周期,且不受環(huán)境變化的影響[19].文中選用偽隨機序列作為辨識輸入信號.

3.3　電磁環(huán)節(jié)參數(shù)辨識

考慮電動機電壓方程(3),如果能在采樣過程中保持電機轉(zhuǎn)速為0,則電壓方程變?yōu)?/p>

(11)

根據(jù)采樣得到的q軸電壓uq和電流iq,就可以對電樞回路參數(shù)進行辨識,因此辨識的關(guān)鍵是保證電動機轉(zhuǎn)速為0.根據(jù)磁鏈跟蹤控制原理,采用磁定位技術(shù)[20]可以滿足此要求.

給永磁同步電動機的定子回路輸入一個大小和方向恒定的電壓矢量,在電動機空間建立一個靜止的圓形磁場,把電動機轉(zhuǎn)子拉到電壓矢量對應的位置后保持靜止.在隨后的辨識實驗過程中,保證定子電壓的方向不變.當q軸電流達到一個相對穩(wěn)定的值時,把q軸電壓設為偽隨機序列,保持d軸輸入電壓為0,并對q軸電壓和電流進行采樣,得到的uq和iq波形如圖2所示.

根據(jù)(uq, iq)采樣數(shù)據(jù),經(jīng)辨識算法迭代運算,得到ξ=0.908 1,a=127.380 3,b=83.638 3.電磁環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(12)

圖2　q軸電壓uq與電流iq波形Fig.2　Waveforms of q-axis voltage uqand current iq

3.4　機械環(huán)節(jié)參數(shù)辨識

機械環(huán)節(jié)的建模實驗需要進行兩次數(shù)據(jù)采樣.首先,把電動機q軸電壓設為一常數(shù),對q軸電流iq1和電機轉(zhuǎn)速n1進行采樣.當電機轉(zhuǎn)速達到一個相對穩(wěn)定的值時,把偽隨機序列疊加到q軸電壓中.此時q軸電流可以分成兩部分,一部分由q軸電壓的直流分量產(chǎn)生,另一部分由疊加的偽隨機序列產(chǎn)生,只有后者被用于參數(shù)辨識.同樣地,電動機轉(zhuǎn)速也可以分成兩部分,一部分由q軸電流的直流分量產(chǎn)生,另一部分由q軸電流的交流分量產(chǎn)生(該交流分量由偽隨機序列產(chǎn)生),只有后者被用于參數(shù)辨識.為了得到僅由偽隨機序列產(chǎn)生的部分,需要再進行一次采樣:把q軸輸入電壓重新設成原來的常數(shù),對q軸電流iq2和電機轉(zhuǎn)速n2進行采樣.這時采樣得到的q軸電流僅由q軸直流電壓產(chǎn)生,電動機轉(zhuǎn)速僅由此時的q軸電流產(chǎn)生.綜合兩次采樣數(shù)據(jù),僅由偽隨機序列產(chǎn)生的q軸電流交流部分為iq=iq1-iq2,其波形如圖3(a)所示;僅由q軸電流中的交流分量產(chǎn)生的電機轉(zhuǎn)速交流部分為n=n1-n2,其波形如圖3(b)所示.

圖3　q軸電流iq和電機轉(zhuǎn)速n的交流部分Fig.3　AC component of q-axis current iqand motor speed n

在辨識算法中取a=0,根據(jù)(iq,n)采樣數(shù)據(jù),經(jīng)過辨識算法迭代計算,得到系統(tǒng)參數(shù)ξ=1.046 3,b=1 033.084,可得機械環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(13)

綜合電磁環(huán)節(jié)和機械環(huán)節(jié)的辨識結(jié)果,得到永磁同步電動機分數(shù)階模型為

(14)

4永磁同步電動機分數(shù)階模型驗證

4.1　模型驗證方案

文獻[12]分別根據(jù)電動機的整數(shù)階和分數(shù)階模型設計控制器,并分別使用兩個控制器控制電動機進行調(diào)速實驗.盡管實驗結(jié)果表明,根據(jù)分數(shù)階模型設計的控制器具有更好的控制性能,但由于沒有模型仿真結(jié)果和實驗結(jié)果的對比,無法評估分數(shù)階模型和整數(shù)階模型對電動機實際特性描述的精確程度,因而未能充分論證電動機分數(shù)階模型能比整數(shù)階模型更準確地描述電動機的實際特性.

根據(jù)增益截止頻率和相位裕度準則,文中分別基于電動機分數(shù)階模型和整數(shù)階模型設計兩組速度PI控制器.在軟件平臺上進行速度跟蹤仿真:使用基于整數(shù)階模型設計的控制器控制整數(shù)階模型,而使用基于分數(shù)階模型設計的控制器控制分數(shù)階模型.在電動機調(diào)速平臺上分別使用兩組控制器控制電動機進行速度跟蹤實驗.比較兩個模型的仿真結(jié)果和實驗結(jié)果之間的差異,如果分數(shù)階模型仿真結(jié)果和實驗結(jié)果的偏差小于整數(shù)階模型仿真結(jié)果和實驗結(jié)果的偏差,則說明分數(shù)階模型能更準確地描述電動機的實際特性.

4.2　控制器設計

根據(jù)得到的電動機分數(shù)階模型參數(shù),把永磁同步電動機調(diào)速系統(tǒng)的速度環(huán)轉(zhuǎn)換為單位反饋系統(tǒng),則速度環(huán)的分數(shù)階開環(huán)傳遞函數(shù)為

(15)

根據(jù)永磁同步電動機的整數(shù)階模型,采用文中提出的辨識方法對模型參數(shù)進行辨識,得到速度環(huán)的整數(shù)階開環(huán)傳遞函數(shù)為

(16)

PI控制器的形式為C(s)=Kp(1+Ki/s),PI控制器的設計根據(jù)如式(17)、(18)所示的增益截止頻率和相位裕度準則[21]：

(17)

(18)

式中,ωc為截止頻率,φm為相位裕度.根據(jù)給定的截止頻率和相位裕度,求解式(17)、(18)可分別求得基于分數(shù)階模型和整數(shù)階模型的速度PI控制器.

4.3　實驗結(jié)果及分析

(1)給定截止頻率為ωc=25 rad/s,相位裕度為φm=75°,計算得到基于Ps_i(s)的控制器C1(s)和基于Ps_f(s)的控制器C2(s)如下:

C1(s)=1.317(1+17.947/s)

(19)

C2(s)=1.368(1+15.085/s)

(20)

設定電動機轉(zhuǎn)速為1 000r/min,使用Matlab對分數(shù)階和整數(shù)階系統(tǒng)進行速度跟蹤仿真,在電動機調(diào)速平臺上進行速度跟蹤實驗,得到采用C1(s)的整數(shù)階模型和采用C2(s)的分數(shù)階模型的仿真、實驗結(jié)果如圖4所示.

圖4　整數(shù)階系統(tǒng)、分數(shù)階系統(tǒng)的仿真和實驗結(jié)果對比Fig.4　Comparison between simulation results and experimental results for integer-order and fractional-order systems

(2)給定截止頻率為ωc=40 rad/s,相位裕度為φm=70°,計算得到基于Ps_i(s)的控制器C3(s)和基于Ps_f(s)的控制器C4(s)如下:

C3(s)=2.122(1+23.883 7/s)

(21)

C4(s)=2.281(1+19.069 0/s)

(22)

采用C3(s)的整數(shù)階模型和采用C4(s)的分數(shù)階模型的仿真和實驗結(jié)果如圖5所示.

圖5　整數(shù)階系統(tǒng)和分數(shù)階系統(tǒng)的仿真和實驗結(jié)果對比Fig.5　Comparison between simulation results and experimental results for integer-order system and fractional-order system

從兩組控制器的仿真和實驗結(jié)果可以看出,分數(shù)階模型的仿真結(jié)果與實驗結(jié)果的偏差小于整數(shù)階模型的仿真結(jié)果與實驗結(jié)果的偏差,說明分數(shù)階模型能更準確地描述電動機的實際特性.在實際應用中,采用文中提出的辨識方法對電動機進行模型辨識,得到的分數(shù)階模型比整數(shù)階模型更準確,根據(jù)分數(shù)階模型設計的控制器具有更可靠的控制性能.

5結(jié)論

文中將機理建模與數(shù)值建模相結(jié)合,采用基于輸出誤差的辨識算法對永磁同步電動機進行分數(shù)階建模研究,根據(jù)電動機的組成機理分別對永磁同步電動機的電磁環(huán)節(jié)和機械環(huán)節(jié)進行建模實驗和模型參數(shù)辨識,然后根據(jù)分數(shù)階模型和整數(shù)階模型設計PI速度控制器并進行電機速度跟蹤仿真和實驗,結(jié)果表明,文中提出的分數(shù)階模型能更準確地描述電動機的實際特性.

參考文獻:

[1]KilbasA,SrivastavaH,TrujilloJ.Theoryandapplicationsoffractionaldifferentialequations[M].Amsterdam:ElsevierScience,2006:65-132.

[2]ZhangYZ,LiJJ.Fractional-orderPIDcontrollertuningbasedongeneticalgorithm[C]∥Proceedingsof2011InternationalConferenceonBusinessManagementandElectronicInformation.Guangzhou:IEEE,2011:764-767.

[3]MethaSA,AdhyaruDM,VadsolaM.Comparativestudyforvariousfractionalordersystemrealizationmethods[C]∥Proceedingsof2013NirmaUniversityInternationalConferenceonEngineering.Ahmedabad:IEEE,2013:1- 4.

[4]JiaHY,ChenZQ,QiGY.Chaoticcharacteristicsanalysisandcircuitimplementationforafractional-ordersystem[J].IEEETransactionsonCircuitsandSystemsI:RegularPapers,2014,61(3):845-853.

[5]VarshneyP,GuptaSK.ImplementationoffractionalfuzzyPIDcontrollersforcontroloffractional-ordersystems[C]∥Proceedingsof2014InternationalConferenceonAdvancesinComputing,CommunicationsandInformatics.NewDelhi:IEEE,2014:1322-1328.

[6]WangCY,FuWC,ShiYW.Tuningfractionalorderproportionalintegraldifferentiationcontrollerforfractionalordersystem[C]∥Proceedingsofthe32ndChineseControlConference.Xi’an:IEEE,2013:552-555.

[7]SabatierJ,AounM,OustaloupA,etal.Fractionalsystemidentificationforleadacidbatterystateofchargeestimation[J].SignalProcessing,2006,86(10):2645-2657.

[8]GabanoJD,PoinotT.Fractionalmodelingandidentificationofthermalsystems[J].SignalProcessing,2011,91(3):531-541.

[9]PetrasI,ChenYQ,CoopmansC.Fractional-ordermemristivesystems[C]∥Proceedingsof2009IEEEConfe-renceonEmergingTechnologies&FactoryAutomation.Mallorca:IEEE,2009:1-8.

[10]HartleyTT,LorenzoCF.Fractional-ordersystemidentificationbasedoncontinuousorder-distributions[J].SignalProcessing,2003,83(11):2287-2300.

[11]PoinotT,TrigeassouJ.Identificationoffractionalsystemsusinganoutput-errortechnique[J].NonlinearDyna-mics,2004,38(1/2/3/4):133-154.

[12]余偉,皮佑國.永磁同步電機分數(shù)階建模與實驗分析[J].華南理工大學學報:自然科學版,2013,41(8): 55- 60.

YuWei,PiYou-guo.Fractional-ordermodelingandexperimentalanalysisofpermanentmagnetsynchronousmotor[J].JournalofSouthChinaUniversityofTechno-logy:NaturalScienceEdition,2013,41(8):55- 60.

[13]陳伯時.電力拖動自動控制系統(tǒng):運動控制系統(tǒng)[M].北京:機械工業(yè)出版社,2003:30-33.

[14]NakagavaM,SorimachiK.Basiccharacteristicsofafractancedevice[J].IEICETransactionsFundamentals,1992,E75-A(12):1814-1818.

[15]ValsaJ.Fractional-orderelectricalcomponents,networksandsystems[C]∥Proceedingsofthe22ndInternationalConferenceRadioelektronika.Brno:IEEE,2012:1-9.

[16]OustaloupA,Fran?oisL,BenotM,etal.Frequency-bandcomplexnonintegerdifferentiator:characterizationandsynthesis[J].IEEETransactionsonCircuitsandSystemsI:FundamentalTheoryandApplications,2000,47(1):25-29.

[17]薛定宇,陳陽泉.控制數(shù)學問題的Matlab求解 [M].北京:清華大學出版社,2007:449- 450.

[18]MarquardtDW.Analgorithmforleast-squaresestimationofnon-linearparameters[J].JournalofSocietyIndustrialAppliedMathematics,1963,11(2):431- 441.

[19]李白男.偽隨機信號及相關(guān)辨識 [M].北京:科學出版社,1987:15-19.

[20]黎永華,皮佑國.基于磁定位原理的永磁同步電機轉(zhuǎn)子初始位置定位研究 [J].電氣傳動,2010,40(3):28-31.

LiYong-hua,PiYou-guo.Researchoftheinitialrotorpositionbasedontheprincipleofmagneticorientation[J].ElectricDrive,2010,40(3):28-31.

[21]ChenYQ,XueDY,ZhaoCN.FractionalorderPIDcontrolofadc-motorwithelasticshaft:acasestudy[C]∥Proceedingsof2006AmericanControlConference.Minneapolis:IEEE,2006:3182-3187.

Fractional-Order Modeling of Permanent Magnet Synchronous Motor Based on Output-Error Algorithm

ZhengWei-jiaWangXiao-hongPiYou-guo

(School of Automation Science and Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640, Guangdong, China)

Abstract:In order to obtain a precise model of permanent magnet synchronous motor (PMSM), a fractional-order modeling approach of PMSM is proposed by combining the mechanism modeling and the numerical modeling. First, the model structures of electromagnetic part and mechanical part of PMSM are built on the basis of the composition mechanism of PMSM, and modeling experiments are conducted on the two parts. Then, the parameters of the two parts are identified by applying the output-error numerical fitting method, and the fractional-order model of PMSM is thus obtained. Finally, the speed controllers are designed on the basis of the obtained model, and the simulations and experiments of tracking the motor speed are performed. Simulation and experimental results show that the proposed fractional-order model can describe the nature of PMSM more precisely in comparison with the integer-order model.

Key words:synchronous motors; modeling; output-error algorithm; parameter identification; PI controller

中圖分類號：TP273

doi：10.3969/j.issn.1000-565X.2015.09.002

作者簡介：鄭偉佳(1988-),男,博士生,主要從事電動機分數(shù)階建模與控制研究.E-mail: z.wj08@mail.scut.edu.cn? 通信作者： 王孝洪(1976-),男,副教授,主要從事電力電子技術(shù)、運動控制技術(shù)及其應用研究.E-mail: xhwang@scut.edu.cn

*基金項目：廣東省數(shù)控一代機械產(chǎn)品創(chuàng)新應用示范工程專項資金項目(2013B011301012);廣州市產(chǎn)學研協(xié)同創(chuàng)新重大專項(201508030040)

收稿日期：2015-02-12

文章編號：1000-565X(2015)09-0008-06

Foundation item： Supported by the High-Performance Digital Servo Drive Technology and Equipment for the Numerical Control Injection Molding Machine(2013B011301012)