尹艷玲, 王泰華, 曾　旗

(1. 河南理工大學電氣工程與自動化學院, 河南 焦作 454000;

2. 河南理工大學經濟管理學院, 河南 焦作 454003)

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基于2D模型的網絡系統(tǒng)迭代學習控制設計方法

尹艷玲1, 王泰華1, 曾旗2

(1. 河南理工大學電氣工程與自動化學院, 河南 焦作 454000;

2. 河南理工大學經濟管理學院, 河南 焦作 454003)

摘要：迭代學習控制(iterative learning control, ILC)方法應用于網絡控制系統(tǒng)時,由于數(shù)據(jù)需要在控制器和遠程對象間傳輸經常產生數(shù)據(jù)丟失現(xiàn)象。給出了一種存在數(shù)據(jù)丟失時網絡系統(tǒng)的隨機迭代學習控制設計方法,首先將數(shù)據(jù)丟失現(xiàn)象描述為隨機伯努利序列,在此基礎上將迭代學習的控制器設計轉化為隨機2D-Roesser系統(tǒng)的穩(wěn)定問題。定義了隨機意義下2D系統(tǒng)的均方漸進穩(wěn)定,基于線性矩陣不等式(linear matrix inequality, LMI)給出一個判別穩(wěn)定性的條件,該條件同時可實現(xiàn)迭代學習控制器的設計。仿真示例驗證了設計方法的有效性。

關鍵詞：迭代學習控制; 網絡控制系統(tǒng); 數(shù)據(jù)包丟失; 2D-Roesser模型; 隨機系統(tǒng)

0引言

迭代學習控制(iterative learning control, ILC)由日本學者Arimoto在1984年提出[1],該方法針對具有重復運行特征的系統(tǒng)通過不斷學習可實現(xiàn)有限時間區(qū)間內的完全跟蹤控制。目前,迭代學習控制已取得了豐富的理論成果和實際應用[2-7]。然而,現(xiàn)有的研究成果大多基于控制系統(tǒng)數(shù)據(jù)傳輸是完美的這一假設給出,即數(shù)據(jù)可以完全地在實際對象與控制器間的傳輸,不存在數(shù)據(jù)包丟失現(xiàn)象。實際系統(tǒng)中,由于數(shù)據(jù)檢測單元或網絡傳輸機制的故障,經常引起數(shù)據(jù)包丟失。尤其在目前廣泛采用的網絡控制系統(tǒng)中,數(shù)據(jù)丟失現(xiàn)象更易發(fā)生[8-10]。因此,研究網絡參量約束下的迭代學習控制具有重要意義。

目前,上述問題已有一些研究結果。文獻[11]和文獻[12]研究了一階和高階P型ILC算法存在測量數(shù)據(jù)丟失的穩(wěn)定性問題,給出了系統(tǒng)收斂的判定條件。文獻[13]針對同時存在控制輸入數(shù)據(jù)和測量數(shù)據(jù)丟失的非線性系統(tǒng),給出了ILC算法穩(wěn)定的條件,并基于壓縮映射方法給出了收斂性證明。文獻[11-13]的研究結果表明,對于穩(wěn)定的ILC系統(tǒng),當存在一定程度的數(shù)據(jù)丟失時,系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的,但系統(tǒng)收斂速度隨著數(shù)據(jù)丟失的嚴重而變慢。文獻[14]和文獻[15]針對存在數(shù)據(jù)丟失的線性系統(tǒng),給出了一種最優(yōu)ILC的設計方法,該方法可以在迭代域補償數(shù)據(jù)丟失的影響,獲得較好的跟蹤性能。文獻[16]針對存在數(shù)據(jù)丟失的非線性系統(tǒng)提出一種均值ILC算法,該方法通過對過去多次迭代過程中的數(shù)據(jù)求均值可有效補償數(shù)據(jù)丟失的影響。文獻[17]針對存在數(shù)據(jù)丟失的線性系統(tǒng),在隨機均方穩(wěn)定的意義下給出一種H∞ILC的設計方法。然而,上述設計方法中大多采用了Lifting的表述形式。Lifting方法雖然可將二維迭代學習控制系統(tǒng)描述為多輸入多輸出的一維系統(tǒng),但系統(tǒng)矩陣的維數(shù)與采樣數(shù)據(jù)成正比,當采樣數(shù)據(jù)較多時系統(tǒng)計算量非常之大,不適于實際應用[18]。

2D系統(tǒng)模型可以較好地刻畫迭代學習控制系統(tǒng)的動態(tài)變化過程,為ILC提供了一種有效、系統(tǒng)的分析和設計手段。文獻[19-20]基于2D-Roesser系統(tǒng)理論給出了一種分析ILC系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法,文獻[21-22]基于2D-Roesser系統(tǒng)模型討論了線性時滯ILC系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和魯棒控制器設計方法,文獻[23-25]基于2D-Roesser系統(tǒng)模型給出了幾種不同類型的魯棒H∞ILC設計方法。然而,上述基于2D系統(tǒng)理論的ILC設計方法均未考慮數(shù)據(jù)丟失的情況。當系統(tǒng)存在任意數(shù)據(jù)丟失時描述ILC系統(tǒng)的2D模型變?yōu)殡S機系統(tǒng),已有的設計結果無法推廣。

本文考慮網絡系統(tǒng)存在數(shù)據(jù)丟失時,基于2D理論的隨機ILC設計方法。由于數(shù)據(jù)丟失的引入使得系統(tǒng)變?yōu)殡S機系統(tǒng),我們首先定義隨機意義下的均方漸進穩(wěn)定,然后將ILC設計問題轉化為隨機2D-Roesser系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題?；诰€性矩陣不等式給出了判斷隨機2D系統(tǒng)穩(wěn)定的一個充分條件,該條件同時可實現(xiàn)ILC控制率的設計。仿真示例驗證了設計方法的有效性。

1問題描述

考慮如下SISO系統(tǒng):

(1)

式中,x(t,k)∈Rn,u(t,k)∈R1,y(t,k)∈R1分別為系統(tǒng)狀態(tài)、控制輸入和系統(tǒng)輸出；A∈Rn×n, B∈Rn×1,C∈R1×n為狀態(tài)空間方程的矩陣；下標k表示迭代次數(shù)；t為離散時間；x(0,k)=x0k為第k次迭代過程的初始條件。系統(tǒng)在有限時間區(qū)間t∈[0,T]內重復運行,其期望軌跡為yd(t)。

針對系統(tǒng)式(1),考慮如下P型ILC算法,有

(2)

式中,e(t,k)=yd(t)-y(t,k)為跟蹤誤差;K為待設計的控制器增益。

當上述ILC系統(tǒng)通過網絡控制的方式實現(xiàn)時,數(shù)據(jù)u(t,k),y(t,k)需要經過網絡在遠程對象和控制器之間進行傳輸。在此過程中由于網絡故障經常產生數(shù)據(jù)丟失現(xiàn)象。本來僅考慮輸出測量數(shù)據(jù)y(t,k)丟失的情況,此時ILC算法式可表述[11-12]為

(3)

式中,α(t,k)為取值0和1的隨機Bernoulli變量,滿足

(4)

本文的研究內容為,對于存在滿足式(4)隨機數(shù)據(jù)丟失的ILC系統(tǒng)式(1)和式(3),如何設計控制器增益K使得系統(tǒng)穩(wěn)定。

2問題描述

2.12D系統(tǒng)描述

迭代學習控制系統(tǒng)式和式是一個沿著時間t和迭代k變化的二維系統(tǒng),根據(jù)2D系統(tǒng)理論[19-20],可將上述ILC系統(tǒng)描述成2D-Roesser模型。

由式(1)和式(3)可知

CAx(t-1,k)+CBu(t-1,k)-CAx(t-1,k+1)-

(5)

式中,η(t,k)=x(t-1,k+1)-x(t-1,k)。

同時

Bu(t-1,k+1)-Ax(t-1,k)-

(6)

式(5)和式(6)可以重寫為

(7)

定義η(t,k)=xh(t,k),e(t,k)=xv(t,k)可得

(8)

注 1系統(tǒng)式為一個典型的2D-Roesser系統(tǒng)。因此,ILC系統(tǒng)的控制率式設計可以等價為2D-Roesser系統(tǒng)式的穩(wěn)定性問題。需要說明的是,系統(tǒng)式所描述的2D系統(tǒng)由于隨機變量α(t,k)的引入使得系統(tǒng)為隨機2D系統(tǒng),因此已有基于確定2D系統(tǒng)設計ILC的方法[19-25]在這里無法應用。為了進行本文的設計,我們需要定義如下隨機2D系統(tǒng)的穩(wěn)定性[26]。

定義 1隨機穩(wěn)定:若2D 系統(tǒng)式(8)針對任意有界的初始邊界條件xh(0,k),xv(t,0), 滿足

則系統(tǒng)均方漸近穩(wěn)定。

至此,本文的研究內容可轉化為針對滿足式(4)隨機數(shù)據(jù)丟失的ILC系統(tǒng),如何設計控制器增益K使得2D隨機系統(tǒng)式(8)均方漸近穩(wěn)定。

2.2控制器設計

(9)

式中

定理 1若存在正定矩陣P1,P2滿足

證明 定義

式中

考慮如下指標:

(10)

式中

(11)

將上式依次展開可得

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

將式(12)～式(16)兩端相加得

E{xh(i+1,0)TP1xh(i+1,0)}

將上式的右端逐項展開可得

上式意味著

(17)

式中

上述不等式兩端相加可得

(18)

證畢

我們首先給出如下引理。

引理 1Schur補引理[27]:對于正定矩陣W,V和矩陣L,若如下不等式成立:

LTVL-W<0

當且僅當

或

成立。

根據(jù)引理1和定理1,我們可給出如下定理。

定理 2若存在正定矩陣Q1,Q2和矩陣M滿足如下線性矩陣不等式

(19)

注 2定理2給出一個判別2D隨機系統(tǒng)式均方漸進穩(wěn)定的條件,該條件可轉化為求線性矩陣不等式的可行解問題。同時,根據(jù)矩陣不等式的可行解我們可以確定一個滿足條件的ILC控制率。從理論分析過程可以看出,定理2的結果可以很方便地推廣到系統(tǒng)存在參數(shù)不確定性、H∞擾動抑制能力等情況下的ILC控制器設計。

注 3本文給出了一種存在任意數(shù)據(jù)丟失時基于2D理論的隨機迭代學習控制設計方法,在此框架下,我們同樣可以討論任意傳輸延時、任意擾動作用等隨機因素影響時迭代學習控制的設計問題。

3仿真示例

本節(jié)通過Matlab軟件,驗證本文設計方法的有效性。

考慮如下線性離散時間系統(tǒng):

系統(tǒng)期望軌跡為

圖時的最大跟蹤誤差　　　　　　　　　　　　　　　圖時不同迭代次數(shù)的系統(tǒng)輸出

圖時的最大跟蹤誤差　　　　　　　　　　　　　　　　　圖時不同迭代次數(shù)的系統(tǒng)輸出

4結論

本文在隨機系統(tǒng)的框架下,給出了一種網絡系統(tǒng)存在任意數(shù)據(jù)丟失時ILC的設計方法。首先將數(shù)據(jù)包丟失描述成任意Bernoulli序列,將ILC的設計轉為隨機2D系統(tǒng)的穩(wěn)定問題。給出了隨機意義下均方漸進穩(wěn)定的定義,在此基礎上得到一個判斷隨機2D系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件,該條件可以轉為求解線性矩陣不等式的可行解,同時可給出滿足條件的ILC控制器增益。仿真示例驗證了設計方法的有效性。本文給出了一種基于2D理論的隨機ILC設計方法,在此框架下,同樣可以討論任意傳輸延時、任意擾動等隨機因素作用時ILC的設計問題。

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尹艷玲(1981-),女,講師,碩士,主要研究方向為網絡化控制、系統(tǒng)分析與集成。

E-mail:jzityyl@126.com

王泰華(1976-),男,副教授,碩士研究生導師,主要研究方向為智能控制理論及應用、電機控制技術、工業(yè)過程控制。

E-mail:wangtaihua@hpu.edu.cn

曾旗(1962-),男,教授,博士研究生導師,主要研究方向為網絡化管理與控制、系統(tǒng)工程。

E-mail:zengqi@hpu.edu.cn

網絡優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141105.1500.002.html

Network-based iterative learning control design based on 2D model

YIN Yan-ling1, WANG Tai-hua1, ZENG Qi2

(1.SchoolofElectricalEngineering&Automation,HenanPolytechnicUniversity,Jiaozuo454000,China;

2.SchoolofEconomicsandManagement,HenanPolytechnicUniversity,Jiaozuo454003,China)

Abstract:When the iterative learning control(ILC)is applied to networked control systems, packet dropouts often occur due to the data transfer from the remote plant to the ILC controller. A stochastic ILC design approach for networked control systems with data dropouts is given. Missing data is firstly modeled by stochastic variables satisfying the Bernoulli random binary distribution. Then, the design of ILC is transformed into the stability of a 2D stochastic system described by the Roesser model. The mean-square asymptotic stability is defined for such 2D stochastic systems. A sufficient condition for stability is established by means of linear matrix inequality(LMI)technique, and formulas can be given for the controller design simultaneously. The effectiveness of the proposed method is illustrated by a numerical example.

Keywords:iterative learning control (ILC); networked control systems; data dropout; 2D-Roesser system; stochastic system

作者簡介：

中圖分類號：TP 273

文獻標志碼：ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2015.05.28

基金項目：國家自然科學基金(61203065)；河南省控制工程重點學科開放實驗室項目(KG2011-10)資助課題

收稿日期：2014-06-19；修回日期：2014-10-16；網絡優(yōu)先出版日期：2014-11-05。