王　方， 李　華， 張　曉

(西安電子科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院， 陜西 西安 710071)

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混合型多屬性決策的HB-SIR方法

王方， 李華， 張曉

(西安電子科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院， 陜西 西安 710071)

摘要：針對(duì)權(quán)重已知且屬性值為精確數(shù)、區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)和梯形模糊數(shù)的混合型多屬性決策問(wèn)題，提出了一種新的混合型級(jí)別高于方法(hybrid superiority and inferiority ranking，HB-SIR)。該方法依據(jù)混合型多屬性決策矩陣構(gòu)建正負(fù)理想方案，將混合型多屬性決策矩陣轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)差異信息矩陣，進(jìn)而通過(guò)高斯準(zhǔn)則計(jì)算各個(gè)方案的優(yōu)勢(shì)指數(shù)和劣勢(shì)指數(shù)，構(gòu)建優(yōu)勢(shì)矩陣和劣勢(shì)矩陣，并使用簡(jiǎn)單加權(quán)(simple additive weighting，SAW)方法計(jì)算出方案的優(yōu)勢(shì)流和劣勢(shì)流，據(jù)此獲得方案的部分或完全排序。最后，通過(guò)一個(gè)算例驗(yàn)證了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：混合型多屬性決策; 級(jí)別高于關(guān)系; 高斯準(zhǔn)則; 排序

0引言

級(jí)別高于方法是近年來(lái)研究最為活躍、應(yīng)用十分廣泛的解決多屬性決策問(wèn)題的一類方法。相對(duì)于其他力圖建立可行方案集上完全序的方法，它所要求的條件較弱，且結(jié)果更為可靠[1]。PROMETHEE方法和ELECTRE方法是2類常被用來(lái)解決多屬性決策問(wèn)題的級(jí)別高于方法。與ELECTRE方法相比，PROMETHEE方法在級(jí)別高于關(guān)系的判定上更為精確，且較為簡(jiǎn)單、易于實(shí)施[1-2]。文獻(xiàn)[3]于2001年對(duì)PROMETHEE方法進(jìn)行擴(kuò)展，提出了優(yōu)勢(shì)劣勢(shì)排序方法(superiority and inferiority ranking, SIR)，適于處理屬性值及其權(quán)重均是精確數(shù)形式的多屬性決策問(wèn)題。SIR方法基于一般性準(zhǔn)則構(gòu)建優(yōu)勢(shì)矩陣和劣勢(shì)矩陣，并通過(guò)適當(dāng)?shù)亩鄬傩孕畔⒕C合處理方法求出各個(gè)方案的優(yōu)勢(shì)流和劣勢(shì)流，據(jù)此確定所有方案的部分或全部排序。自SIR方法提出以來(lái)，贏得了廣大研究者和實(shí)踐者的普遍關(guān)注[4]。文獻(xiàn)[4]針對(duì)屬性值及其權(quán)重均是猶豫模糊數(shù)的多屬性群決策問(wèn)題，提出了猶豫模糊SIR方法(hesitant fuzzy-SIR，HF-SIR)和區(qū)間型猶豫模糊SIR方法(interval-valued HF-SIR，IVHF-SIR)。文獻(xiàn)[5-6]針對(duì)屬性值及其權(quán)重均是以直覺模糊數(shù)形式給出的多屬性決策問(wèn)題，提出了一種直覺模糊SIR方法(IF-SIR)，并將其應(yīng)用到供應(yīng)商的選擇上。文獻(xiàn)[7]針對(duì)屬性值是精確數(shù)，而屬性權(quán)重信息不完全的多屬性決策問(wèn)題，提出了2種SIR方法。文獻(xiàn)[8]針對(duì)屬性值是精確數(shù)，而屬性權(quán)重信息未知的多屬性決策問(wèn)題，提出了基于層次分析法(analytical hierarchy process,AHP)求取屬性權(quán)重的SIR方法。文獻(xiàn)[9]則從多屬性信息綜合處理方法的視角，提出了不同于已有方法(SIR·TOPSIS[3,7])的灰色SIR方法(SIR·Grey)，用于解決大規(guī)模避難所選址問(wèn)題。

需要指出的是，上述SIR方法為解決現(xiàn)實(shí)中存在級(jí)別高于關(guān)系的多屬性決策問(wèn)題提供了較好的思路和支撐。然而，由于現(xiàn)實(shí)決策問(wèn)題的復(fù)雜性和不確定性，屬性值不一定僅是一種形式的數(shù)值，如精確數(shù)[3,7,9]或模糊數(shù)[4,6]等，而往往可能是精確數(shù)、區(qū)間數(shù)、模糊數(shù)等多種類型同時(shí)存在的情形。例如某航空公司在評(píng)價(jià)擬購(gòu)買的客機(jī)時(shí)，通常考慮購(gòu)機(jī)費(fèi)用、直接運(yùn)營(yíng)成本、可靠性、維修性、適應(yīng)性和技術(shù)先進(jìn)性等屬性，其中購(gòu)機(jī)費(fèi)用、直接運(yùn)營(yíng)成本和可靠性是定量屬性，常以精確數(shù)或區(qū)間數(shù)的形式表示，而維修性、適應(yīng)性和技術(shù)先進(jìn)性是定性屬性，往往難以量化，則常用語(yǔ)言變量或三角模糊數(shù)或梯形模糊數(shù)的形式來(lái)表示[10]。這種既包括定量屬性又包括定性屬性的多屬性決策問(wèn)題稱為混合型多屬性決策問(wèn)題[11]，對(duì)其研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。目前，關(guān)于混合型多屬性決策問(wèn)題的研究雖已取得了大量成果[12-17]，但其主要是建立可行方案集上完全序的方法，而對(duì)于實(shí)際中存在級(jí)別高于關(guān)系的混合型多屬性決策問(wèn)題關(guān)注較少。因此，本文針對(duì)屬性值是精確數(shù)、區(qū)間數(shù)和模糊數(shù)(包括三角模糊數(shù)和梯形模糊數(shù))的混合型多屬性決策問(wèn)題，提出一種新的混合型級(jí)別高于方法(hybrid superiority and inferiority ranking，HB-SIR)。該方法依據(jù)由不同類型屬性值組成的混合型多屬性決策矩陣構(gòu)建正負(fù)理想方案，將混合型多屬性決策矩陣轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)差異信息矩陣，進(jìn)而基于高斯準(zhǔn)則計(jì)算各個(gè)方案的優(yōu)勢(shì)指數(shù)和劣勢(shì)指數(shù)，構(gòu)建優(yōu)勢(shì)矩陣和劣勢(shì)矩陣，并使用簡(jiǎn)單加權(quán)(simple additive weighting，SAW)方法計(jì)算方案的優(yōu)勢(shì)流和劣勢(shì)流，據(jù)此獲得方案的部分或完全排序。

1預(yù)備知識(shí)

1.1距離的測(cè)度

(1)

(2)

(3)

(4)

1.2SIR方法步驟

為方便表述令M={1,2,…,m}，N={1,2,…,n}。記A={A1, A2, A3,…,Am}表示由m個(gè)備選方案組成的方案集，C={C1, C2, C3, …, Cn}表示由n個(gè)屬性組成的屬性集。設(shè)決策矩陣為D=[tij]m×n，其中tij表示方案Ai針對(duì)屬性Cj的后果值，tij為精確數(shù)。w=(w1,w2,w3,…,wn)T表示屬性的權(quán)向量，其中wj是屬性Cj的權(quán)重。不失一般性，此處假設(shè)所有屬性均是越大越好，決策矩陣D可表示為

(5)

步驟 1構(gòu)建優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)矩陣

為反映方案Ai針對(duì)屬性Cj較方案Ak的優(yōu)勢(shì)度，或反映方案Ak針對(duì)屬性Cj較方案Ai的劣勢(shì)度，定義Ψj(Ai,Ak)=φj(tij-tkj)表示偏好強(qiáng)度。φj(t)是偏好函數(shù)，代表決策者的偏好結(jié)構(gòu)，通常有6種形式可供選擇，決策者亦可根據(jù)其偏好進(jìn)行重新定義[3]。記Sj(Ai)和Ij(Ai)分別表示方案Ai針對(duì)屬性Cj的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)指數(shù)，則所有方案的屬性的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)指數(shù)分別構(gòu)成優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)矩陣：

(6)

式中，Sj(Ai)和Ij(Ai)可由式(7)計(jì)算：

(7)

步驟 2確定優(yōu)勢(shì)流和劣勢(shì)流

(8)

決策者可根據(jù)自己的需求選擇合適的綜合函數(shù)：當(dāng)選用簡(jiǎn)單加權(quán)SAW方法時(shí)，便可構(gòu)成SIR·SAW方法；當(dāng)選用TOPSIS方法時(shí)，便可構(gòu)成SIR·TOPSIS方法。

步驟 3根據(jù)優(yōu)勢(shì)流和劣勢(shì)流確定方案排序

2混合型多屬性決策HB-SIR方法

步驟 1構(gòu)建正理想方案(positive ideal alternative, PIA)APIA=(tJcPIA，tJIPIA，tJFPIA，tJGPIA)和負(fù)理想方案(negative ideal alternative, NIA)ANIA=(tJcNIA，tJINIA，tJFNIA，tJGNIA)。

(9)

式中

(10)

式中

(11)

式中

(12)

式中

(13)

式中

(14)

式中

(15)

式中

(16)

式中

因此，基于式(9)～式(16)便可構(gòu)建正負(fù)理想方案

(17)

步驟 2構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)差異信息矩陣X=[xij]m×n和Y=[yij]m×n。

(18)

(19)

(20)

式中

步驟 3計(jì)算方案的優(yōu)勢(shì)指數(shù)和劣勢(shì)指數(shù)并構(gòu)造優(yōu)勢(shì)矩陣S=[Sj(Ai)]m×n和劣勢(shì)矩陣I=[Ij(Ai)]m×n。

根據(jù)式(21)計(jì)算各個(gè)方案Ai相對(duì)于正負(fù)理想方案(ANIA和APIA)關(guān)于每一個(gè)屬性Cj的優(yōu)勢(shì)指數(shù)和劣勢(shì)指數(shù)：

(21)

式中，Sj(Ai)是關(guān)于屬性Cj方案Ai相對(duì)于負(fù)理想方案ANIA的優(yōu)勢(shì)指數(shù)；Ij(Ai)是方案Ai相對(duì)于正理想方案APIA的劣勢(shì)指數(shù)；函數(shù)φ(t)是偏好函數(shù)，反映決策者的偏好結(jié)構(gòu)和偏好強(qiáng)度，在6種常見的形式中高斯準(zhǔn)則(Gaussian criterion)在實(shí)際中得到了廣泛應(yīng)用[2]?；诖?，本文選擇高斯準(zhǔn)則來(lái)反映決策者的偏好結(jié)構(gòu)和偏好強(qiáng)度，具體形式如下：

(22)

式中，σ反映了決策者偏好隨t(優(yōu)勢(shì)差異xij和劣勢(shì)差異yij)變化的強(qiáng)度，實(shí)際中σ的值由決策者給出。關(guān)于不同σ取值的偏好函數(shù)φ(t)的圖像如圖1所示。

圖1　不同σ值下決策者偏好函數(shù)φ(t)

基于式(21)和(22)，構(gòu)建的優(yōu)勢(shì)矩陣S=[Sj(Ai)]m×n和劣勢(shì)矩陣I=[Ij(Ai)]m×n分別如下：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

若要得到整個(gè)備選方案的完全排序，可利用凈流(n-flow)對(duì)方案進(jìn)行完全排序[3]有

(28)

3算例

為了便于對(duì)比，下面通過(guò)文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[14]中的實(shí)例進(jìn)行分析。某國(guó)國(guó)防部擬研發(fā)一種戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈，研發(fā)部門提供了4種導(dǎo)彈型號(hào)的有關(guān)信息，結(jié)果如表1所示。為了選擇出合適的導(dǎo)彈型號(hào)，國(guó)防部派出的專家組對(duì)4種導(dǎo)彈的6種屬性進(jìn)行了詳細(xì)考察，并給出了各屬性的權(quán)重w=(0.2,0.2, 0.1,0.1,0.2,0.2)及偏好函數(shù)參數(shù)σ=2。其中，可靠性和可維修性屬于定性屬性。為驗(yàn)證方法的有效性，此處將可維修性的屬性值按照表2[19]轉(zhuǎn)化成梯形模糊數(shù)，將可靠性的屬性值按照表3[20]轉(zhuǎn)化成三角模糊數(shù)。

表1　4種不同型號(hào)導(dǎo)彈武器性能指標(biāo)

表2　語(yǔ)言變量和梯形模糊數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

表3　語(yǔ)言變量和三角模糊數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

其次，由式(21)～式(24)，構(gòu)建優(yōu)勢(shì)矩陣S=[Sj(Ai)]m×n和劣勢(shì)矩陣I=[Ij(Ai)]m×n，此處參數(shù)σ=2。

表4　4種不同型號(hào)導(dǎo)彈武器的優(yōu)勢(shì)流、劣勢(shì)流、凈流及其排序

最后，基于式(26)～式(27)，并結(jié)合表4中的數(shù)據(jù)可知方案的部分和完全排序結(jié)果一致，即有

A1→A3→A4→A2

上述結(jié)果與文獻(xiàn)[14]一致，而與文獻(xiàn)[12]采用TOPSIS法獲得的結(jié)果(A3fA1fA4fA2)存在差異。從表1可知，方案A1除可靠性外，其他屬性均優(yōu)于方案A3，且方案A1中區(qū)間數(shù)的區(qū)間長(zhǎng)度較小，即不確定性較低，因而判斷方案A1優(yōu)于方案A3更為合理[14]，這說(shuō)明了本文所提方法的可行性和有效性。

為增強(qiáng)與文獻(xiàn)[12]的可比性，此處采用文獻(xiàn)[12]中的混合型多屬性決策矩陣，即將決策矩陣中的定性指標(biāo)(C5可靠性、C6可維護(hù)性)均用三角模糊數(shù)表示。使用文中所提出的HB-SIR方法，可得到表5所示結(jié)果。

表5　4種不同型號(hào)導(dǎo)彈武器的優(yōu)勢(shì)流、劣勢(shì)流、凈流及其排序

進(jìn)一步，基于式(26)～式(27)，并結(jié)合表5中的數(shù)據(jù)可知方案的部分排序?yàn)?/p>

方案的完全排序?yàn)?/p>

A1→A4→A3→A2

結(jié)果與文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[14]存在差異。由完全排序結(jié)果可知，不同的方法主要是在對(duì)方案A1、A3和A4的排序上有區(qū)別。關(guān)于方案A1排在第1位的合理性，文獻(xiàn)[14]已經(jīng)給出了充分的說(shuō)明。關(guān)于方案A3和A4的排序，由本文得出的部分排序結(jié)果可知，A3和A4間是一種不可比較的關(guān)系，而這種不可比較關(guān)系恰恰可能導(dǎo)致不同的方法對(duì)A3和A4的排序結(jié)果不一致，如本文方法是A4fA3，而文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[14]卻是A3fA4。從表1可知，方案A4的命中精度、彈頭載荷和價(jià)格均優(yōu)于方案A3，但機(jī)動(dòng)性能、可靠性、可維修性卻均劣于方案A3。從屬性權(quán)重上看，方案A4優(yōu)于(劣于)方案A3的屬性權(quán)重和為0.5(0.5)。因此，判斷方案A3和A4間存在一種不可比較的關(guān)系更貼合實(shí)際。

4結(jié)論

本文將SIR方法推廣到混合型多屬性決策領(lǐng)域，豐富了級(jí)別高于方法的內(nèi)容體系，為解決現(xiàn)實(shí)中存在級(jí)別高于關(guān)系的混合型多屬性決策問(wèn)題提供了新的求解思路和途徑。從實(shí)際算例的計(jì)算過(guò)程可以看出，該方法不僅能夠有效識(shí)別出可行方案集中的級(jí)別高于關(guān)系(如算例中方案A1級(jí)別高于其他方案)，而且可以識(shí)別出可行方案集中的不可比較關(guān)系(如算例中方案A3和A4間的不可比較關(guān)系)或無(wú)差別關(guān)系，有助于決策者做出正確的選擇。此外，本文方法具有計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單、性能優(yōu)良等優(yōu)點(diǎn)，可用于金融項(xiàng)目投資選擇、工程項(xiàng)目選址、軍事方案的確立等諸多方面。需要指出的是，本文方法適用于處理屬性值是精確數(shù)、區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)和梯形模糊數(shù)的混合型多屬性決策問(wèn)題，而對(duì)于將語(yǔ)言信息轉(zhuǎn)換成何種具體形式的模糊數(shù)(如三角模糊數(shù)、梯形模糊數(shù)、正態(tài)模糊數(shù)、猶豫模糊數(shù)、直覺猶豫模糊數(shù)等)，這是另一個(gè)值得深入研究的問(wèn)題，因?yàn)椴煌问降哪：龜?shù)對(duì)決策結(jié)果會(huì)有一定的影響(如算例)。

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王方(1987-)，男，博士研究生，主要研究方向?yàn)闆Q策分析、科技管理。

E-mail：wf.369.abc@163.com

李華(1963-)，男，教授，博士，主要研究方向?yàn)闆Q策分析、科技管理、服務(wù)系統(tǒng)管理。

E-mail：lihua@xidian.edu.cn

張曉(1985-)，女，講師，博士，主要研究方向?yàn)闆Q策理論與方法。

E-mail：zhangxiao.neu@163.com

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141119.2224.009.html

Novel HB-SIR method for hybrid multiple attribute decision making

WANG Fang, LI Hua, ZHANG Xiao

(SchoolofEconomics&Management,XidianUniversity,Xi’an710071,China)

Abstract:For the problem of hybrid multiple attribute decision making with known information on attribute weights to which the attribute values are given in terms of crisp numbers, interval numbers, triangular fuzzy numbers and trapezoidal fuzzy numbers, a hybrid superiority and inferiority ranking (HB-SIR)method is proposed based on the outranking relation. Firstly, according to the hybrid decision matrix, the positive-ideal alternative and negative-ideal alternative are determined, then the hybrid decision matrix is transformed into both standardized advantage difference information matrix and standardized disadvantage difference information matrix based on different distance calculation formulas. Moreover, the superiority matrix (S-matrix) and the inferiority matrix (I-matrix) are constructed by calculating the superiority indexes and the inferiority indexes according to the Gaussian criterion. Furthermore, the simple additive weighting (SAW) method is employed to calculate the superiority flow and inferiority flow, and the complete ranking or partial ranking of the alternatives can be obtained. Finally, a numerical example is used to illustrate the feasibility and validity of the proposed method.

Keywords:hybrid multiple attribute decision making; outranking relation; Gaussian criterion; ranking

作者簡(jiǎn)介：

中圖分類號(hào)：C 934

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2015.05.19

基金項(xiàng)目：高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20130203120024)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(BDY251412)；陜西省軟科學(xué)項(xiàng)目(2013KRZ25)資助課題

收稿日期：2014-06-24；修回日期：2014-09-26；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014-11-19。