朱慧明，蔣麗萍，游萬(wàn)海

（湖南大學(xué)工商管理學(xué)院，長(zhǎng)沙410082）

0 引言

金融時(shí)間序列的長(zhǎng)記憶性研究一直是非線性領(lǐng)域的重要問(wèn)題，作為統(tǒng)計(jì)建模的熱點(diǎn)，長(zhǎng)記憶性的研究對(duì)于金融市場(chǎng)具有重要的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。對(duì)金融時(shí)間序列長(zhǎng)記憶性進(jìn)行建模可以為準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)金融資產(chǎn)價(jià)格提供理論基礎(chǔ)。本文將利用貝葉斯方法估計(jì)黃金期貨市場(chǎng)的長(zhǎng)記憶參數(shù)，構(gòu)建貝葉斯長(zhǎng)記憶隨機(jī)波動(dòng)模型，設(shè)計(jì)向前濾波向后抽樣的聯(lián)合Gibbs抽樣的MCMC數(shù)值計(jì)算方法；利用中國(guó)（SHFE）黃金期貨和日本（TOCOM）黃金期貨進(jìn)行實(shí)證分析，研究黃金期貨市場(chǎng)的長(zhǎng)記憶特征，探討黃金期貨市場(chǎng)是否具有有效性，為黃金期貨投資決策提供依據(jù)。

1 模型結(jié)構(gòu)分析

Taylor在解釋金融收益序列波動(dòng)模型的自回歸行為時(shí)提出了基本SV模型，其模型形式如下：

金融時(shí)間序列波動(dòng)不僅具有時(shí)變性和聚集性的特征，同時(shí)還具有長(zhǎng)記憶性。為刻畫波動(dòng)的長(zhǎng)記憶特征，將模型中波動(dòng)方程的自回歸過(guò)程推廣為分整ARMA過(guò)程，此時(shí)模型波動(dòng)方程如下：

為保證波動(dòng)過(guò)程的弱平穩(wěn)性，φ(L)和θ(L)必須保證所有特征根都在單位圓內(nèi)，并且沒(méi)有公因子，此時(shí)式(1)和(3)共同組成LMSV模型的一般形式。

另一方面，波動(dòng)的長(zhǎng)記憶過(guò)程（3）可以寫成擾動(dòng)項(xiàng)的無(wú)限階移動(dòng)平均形式：

2 貝葉斯推斷分析

2.1 LMSV模型的狀態(tài)空間轉(zhuǎn)換

由于SV模型的波動(dòng)變量之間具有較強(qiáng)的序列相關(guān)性，因此Markov鏈?zhǔn)諗克俣容^慢，估計(jì)效率較低。利用kalman濾波框架下的向前濾波和向后抽樣技術(shù)，能夠?qū)撛诓▌?dòng)向量進(jìn)行聯(lián)合抽取，從而大大的提高估計(jì)效率。下面在給出具體抽樣算法前，首先證明對(duì)于無(wú)限維狀態(tài)空間模型(6)，其確切似然函數(shù)只依賴于前n個(gè)狀態(tài)變量，n代表向量 A=(a1，a2，…，an)的時(shí)間維度。

在對(duì)Kalman濾波進(jìn)行計(jì)算時(shí)，需要進(jìn)行n次迭代才能得到確切似然函數(shù)，此過(guò)程計(jì)算量仍然很大，而利用差分截尾方法可以較好的近似表示移動(dòng)平均狀態(tài)空間模型，能在很大程度上縮減計(jì)算量，因此采用差分截尾方法進(jìn)行近似計(jì)算。首先對(duì)波動(dòng)序列(at)進(jìn)行一階差分得到序列(Δat)，此時(shí)波動(dòng)差分序列的狀態(tài)空間表達(dá)式為：

2.2 MCMC聯(lián)合抽樣算法設(shè)計(jì)

利用Kalman濾波算法估計(jì)狀態(tài)變量要求線性狀態(tài)空間模型的擾動(dòng)項(xiàng)服從高斯分布，而將LMSV模型轉(zhuǎn)化為有限階狀態(tài)空間近似形式后，該模型為非高斯的，因此不能進(jìn)行聯(lián)合抽樣。為此，利用基于混合正態(tài)近似的聯(lián)合抽樣方法來(lái)逼近εt的分布，即：

此時(shí)模型轉(zhuǎn)化為高斯線性狀態(tài)空間模型形式，其狀態(tài)變量的滿條件聯(lián)合后驗(yàn)分布可以直接利用向前濾波向后抽樣的MCMC方法進(jìn)行抽樣估計(jì)。下面對(duì)其他參數(shù)進(jìn)行貝葉斯推斷分析，并給出聯(lián)合抽樣MCMC方法的實(shí)現(xiàn)步驟。

在對(duì)模型進(jìn)行貝葉斯推斷分析之前，首先要設(shè)定參數(shù)的先驗(yàn)分布。令Λ=(st，d，Ψ，Θ)代表模型的其他所有參數(shù)，其中Ψ和Θ分別為多項(xiàng)式φ(L)和θ(L)的系數(shù)，根據(jù)Kim el at的觀點(diǎn)，α表示潛在變量的水平參數(shù)，設(shè)定α服從正態(tài)分布；由于τ2表示白噪聲過(guò)程的方差，因此，采用逆伽瑪分布作為τ2的共軛先驗(yàn)分布；d為長(zhǎng)記憶參數(shù)，其服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則參數(shù)的滿條件后驗(yàn)分布為：

根據(jù)以上滿條件后驗(yàn)分布，結(jié)合向前抽樣向后濾波算法，利用Gibbs抽樣方法對(duì)貝葉斯LMSV模型進(jìn)行仿真分析。此時(shí)Gibbs抽樣按如下步驟進(jìn)行：

3 實(shí)證分析

為了對(duì)模型進(jìn)行實(shí)證分析，選取上海期貨交易所(SHFE)推出的黃金期貨和東京商品交易所(TOCOM)推出的黃金期貨這兩個(gè)指標(biāo)，根據(jù)數(shù)據(jù)的可得性和可比性，選取時(shí)間跨度在2008年1月9日至2013年6月28日的日收盤價(jià)作為樣本。因?yàn)槠谪浐霞s具有不連續(xù)性，為得到一個(gè)連續(xù)的黃金期貨收盤價(jià)序列，同時(shí)避免臨近交割月份期貨價(jià)格劇烈波動(dòng)所帶來(lái)的影響，選取距離當(dāng)年月份之后兩個(gè)月交割的期貨合約為樣本對(duì)象。由于上海期貨交易所于2008年1月9日首次推出2008年6月交割的黃金期貨合約，故在構(gòu)造連續(xù)黃金期貨收盤價(jià)序列時(shí)，2008年1月至4月均以2008年6月份的期貨合約為樣本對(duì)象。為了保持?jǐn)?shù)據(jù)的一致性，日本黃金期貨數(shù)據(jù)采取同中國(guó)黃金期貨數(shù)據(jù)一樣的處理辦法。舍去節(jié)假日等因素導(dǎo)致的數(shù)據(jù)缺失，共得到中國(guó)1324個(gè)樣本數(shù)據(jù)，日本1338個(gè)樣本數(shù)據(jù)。文中數(shù)據(jù)均來(lái)自國(guó)泰安數(shù)據(jù)庫(kù)。對(duì)收益序列做如下處理：Rt=100(ln(pt)-ln(pt-1))，t=2，…，T ，Rt表示收益率；pt表示時(shí)刻t的收盤價(jià)，用以消除金融市場(chǎng)價(jià)格序列的不平穩(wěn)性。

在向前濾波向后抽樣的聯(lián)合Gibbs抽樣中，模型各參數(shù)的先驗(yàn)分布設(shè)定為：α～N(0，0.1)，τ2～I(xiàn)Ga(2.5，0.025)，d～N(0，1)。設(shè)置迭代次數(shù)為50000次，舍去初始30000次不平穩(wěn)數(shù)據(jù)，同時(shí)為了減少鏈條自相關(guān)性，在剩余鏈條，每5個(gè)隨機(jī)數(shù)只保留一個(gè)，實(shí)際用于分析的數(shù)據(jù)為4000個(gè)。利用馬爾科夫鏈產(chǎn)生的樣本數(shù)據(jù)，可以分析LMSV模型各參數(shù)的樣本軌跡、后驗(yàn)分布以及貝葉斯估計(jì)結(jié)果。圖1～6分別給出了各參數(shù)的軌跡圖、Geweke收斂診斷圖以及后驗(yàn)分布密度圖。

圖1 SHFE黃金期貨各參數(shù)軌跡圖

圖2 TOCOM黃金期貨各參數(shù)軌跡圖

圖3 SHFE黃金期貨各參數(shù)Geweke收斂診斷圖

圖4 TOCOM黃金期貨各參數(shù)Geweke收斂診斷圖

圖1～2中，各參數(shù)的樣本軌跡圖已基本保持穩(wěn)定，均勻分布在一條水平線附近，表明貝葉斯LMSV模型中各參數(shù)的后驗(yàn)分布已達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。由圖3～4得，主要參數(shù)Geweke統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值小于1.96，在5%的顯著性水平上，表明抽樣迭代初期的樣本均值和抽樣迭代末期的樣本均值不存在顯著差異，因此可判斷抽樣得到的Markov鏈?zhǔn)鞘諗康?，綜合動(dòng)態(tài)迭代軌跡圖，可知得到的抽樣數(shù)據(jù)是有效的。

圖5 SHFE黃金期貨各參數(shù)后驗(yàn)分布密度圖

圖6 TOCOM黃金期貨各參數(shù)后驗(yàn)分布密度圖

由圖5～6可得，對(duì)模型各參數(shù)進(jìn)行核密度估計(jì)，其參數(shù)后驗(yàn)分布密度圖基本上是對(duì)稱的，表明這些參數(shù)的貝葉斯估計(jì)值與真實(shí)值非常接近，誤差很小。其中參數(shù)d的后驗(yàn)分布密度圖呈現(xiàn)右偏趨勢(shì)，表明樣本中存在一些偏大的異常值，使參數(shù)貝葉斯估計(jì)值比實(shí)際值偏大，參數(shù)可能被高估。各參數(shù)的邊緣后驗(yàn)分布核密度估計(jì)的曲線平滑，有明顯的單峰對(duì)稱特征，表明參數(shù)貝葉斯估計(jì)值的誤差非常小。根據(jù)聯(lián)合Gibbs抽樣結(jié)果，結(jié)合后驗(yàn)分布密度圖，可以得出參數(shù)的貝葉斯估計(jì)值。表1～2給出了LMSV模型的參數(shù)估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)差、MC誤差、2.5%分位數(shù)、中位數(shù)、97.5%分位數(shù)的貝葉斯估計(jì)值。

表1 SHFE黃金期貨LMSV模型參數(shù)的貝葉斯估計(jì)

表2 TOCOM黃金期貨LMSV模型參數(shù)的貝葉斯估計(jì)

表1和表2中數(shù)值顯示各參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差和MC誤差均較小，且MC誤差遠(yuǎn)小于標(biāo)準(zhǔn)差，可以判斷抽樣得到的鏈條是平穩(wěn)收斂的，即參數(shù)估計(jì)結(jié)果是有效的。SHFE黃金期貨的水平參數(shù)α的估計(jì)值大于TOCOM黃金期貨水平參數(shù)α的估計(jì)值，表明中國(guó)黃金期貨市場(chǎng)的日收盤價(jià)格波動(dòng)幅度較日本黃金期貨市場(chǎng)大，同時(shí)由(3)式中白噪聲過(guò)程方差τ的估計(jì)值可以得到，中國(guó)黃金期貨市場(chǎng)自身的波動(dòng)性較強(qiáng)，相對(duì)于日本黃金期貨市場(chǎng)來(lái)說(shuō)，中國(guó)市場(chǎng)穩(wěn)定性較差。在LMSV模型中，d是用來(lái)描述波動(dòng)過(guò)程長(zhǎng)記憶性的參數(shù)，若 d ＞0.5，則過(guò)程非平穩(wěn)；若0＜d ＜0.5，則過(guò)程平穩(wěn)且具有長(zhǎng)記憶性；若-0.5＜d＜0，則過(guò)程平穩(wěn)且有短記憶性。d越大，時(shí)間序列長(zhǎng)記憶特征越明顯，因此我們可以通過(guò)估計(jì)LMSV模型得到長(zhǎng)記憶參數(shù)d的估計(jì)值，以考察一個(gè)序列的波動(dòng)是否具有長(zhǎng)記憶性，以及其記憶的長(zhǎng)短。從表1和表2中得到SHFE黃金期貨的d值為0.4720，TOCOM黃金期貨的d值為0.4845，表明中國(guó)黃金期貨市場(chǎng)跟日本黃金期貨市場(chǎng)均存在很強(qiáng)的長(zhǎng)記憶性，且日本市場(chǎng)的長(zhǎng)記憶性更強(qiáng)，這表明中日兩國(guó)黃金期貨市場(chǎng)過(guò)去信息對(duì)未來(lái)事件的影響都很大。究其原因，黃金期貨作為黃金的衍生品，其價(jià)格必然受黃金價(jià)格的影響，而黃金價(jià)格又受到政治事件、石油價(jià)格、美元走勢(shì)等因素的影響，這些影響因素均受到國(guó)家宏觀政策的調(diào)控，故黃金期貨市場(chǎng)體現(xiàn)出非有效性。另一方面，日本黃金期貨市場(chǎng)早在1984年就正式開(kāi)放交易，如今已成為亞洲最成熟的黃金期貨交易市場(chǎng)，日本政府無(wú)外匯管制，黃金市場(chǎng)交易趨向于自由化。而我國(guó)黃金期貨市場(chǎng)2008年才正式上市，目前仍處于發(fā)展時(shí)期，國(guó)家對(duì)黃金期貨的調(diào)控力度較大，相比于過(guò)去信息，政府的政策對(duì)黃金期貨市場(chǎng)未來(lái)的走勢(shì)影響更大，因此日本黃金期貨市場(chǎng)的長(zhǎng)記憶性更強(qiáng)，可預(yù)測(cè)性也相對(duì)更強(qiáng)。投資者在中日黃金期貨市場(chǎng)上進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理和交易決策時(shí)，應(yīng)當(dāng)充分考慮歷史信息、突發(fā)事件、國(guó)際形勢(shì)等因素的影響，以獲取利潤(rùn)最大化。

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)長(zhǎng)記憶隨機(jī)波動(dòng)模型進(jìn)行貝葉斯分析，結(jié)合模型的狀態(tài)空間轉(zhuǎn)換和利用Kalman濾波算法，證明了具有長(zhǎng)記憶結(jié)構(gòu)的無(wú)限維狀態(tài)空間模型，其確切似然函數(shù)只依賴于前n個(gè)狀態(tài)變量，n為時(shí)間維度。在此基礎(chǔ)上，將向前濾波向后抽樣算法引入對(duì)波動(dòng)變量的估計(jì)過(guò)程，設(shè)計(jì)出Gibbs聯(lián)合抽樣算法，據(jù)此估計(jì)模型參數(shù)。選擇中國(guó)和日本的黃金期貨收益數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，研究結(jié)果表明：中國(guó)市場(chǎng)的波動(dòng)性較強(qiáng)，說(shuō)明中國(guó)市場(chǎng)穩(wěn)定性較差；中日兩國(guó)黃金期貨市場(chǎng)均存在很強(qiáng)的長(zhǎng)記憶性，且日本市場(chǎng)的長(zhǎng)記憶性更強(qiáng)。本文構(gòu)建的長(zhǎng)記憶隨機(jī)波動(dòng)模型能夠較好的刻畫金融時(shí)間序列的長(zhǎng)記憶特征，但是對(duì)不同市場(chǎng)之間的長(zhǎng)期波動(dòng)溢出效應(yīng)，尚不能體現(xiàn)。

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