張宏宇， 葉志勇

(重慶理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 重慶 400054)

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具有飽和接觸率的SIQRS模型的穩(wěn)定性研究

張宏宇， 葉志勇

(重慶理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 重慶 400054)

首先建立一個(gè)具有飽和接觸率的SIQRS模型，通過(guò)計(jì)算得到閾值R0的表達(dá)式；然后對(duì)閾值R0進(jìn)行討論；接著利用穩(wěn)定性定理和Dulac定理得到無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的存在性和全局穩(wěn)定性；最后通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了該結(jié)果的正確性。

SIQRS流行病模型； 閾值；飽和接觸率

流行病的傳播規(guī)律一直以來(lái)都受到人們的重視。近年來(lái)，一些新出現(xiàn)的流行病已嚴(yán)重威脅人類的生命健康，例如2014年發(fā)生在非洲地區(qū)的埃博拉疫情。有鑒于此，大量的數(shù)學(xué)模型被用于分析各種各樣的傳染病問(wèn)題，并且已經(jīng)取得大量的成果。在研究疾病的傳播過(guò)程中，人們比較常用的是SI、SIS以及SIR模型等，這些模型一般考慮的是流行病傳播的一般規(guī)律，而未考慮到疾病傳播中個(gè)體差異。目前，對(duì)傳染病的傳染率為雙線性傳染率[1]或是標(biāo)準(zhǔn)傳染率的傳染病模型已經(jīng)有了較深入的研究,但對(duì)具有飽和接觸率[2-5]的模型研究還較少，而且根據(jù)傳染病傳播的實(shí)際情況，飽和接觸率在實(shí)際傳播過(guò)程中也是一種十分重要的傳播特點(diǎn)。本文主要談?wù)摿嗽诰哂酗柡徒佑|率的情況下SIQRS傳染病模型地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。

1 模型的建立

由此建立模型：

(1)

2 模型分析

對(duì)于模型(1),為了計(jì)算方便進(jìn)行變換，令ω+δ+d1+p1=m和τ+d+p2=n，這樣可以得到模型：

(2)

(3)

且可行域D是模型的正向不變集[7]。

模型的平衡點(diǎn)應(yīng)滿足下列方程：

(4)

定理1 當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的。

證明 模型在E0處的雅可比矩陣[11-12]為

J0的特征方程為

由此可以得到特征值：λ1=-1,λ2=-c0,λ3=-(c0+α0),λ4=R0-1。所以，當(dāng)R0<1時(shí)，λ1<0,λ2<0,λ3<0,λ4<0,E0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，可以得到當(dāng)λ4>0,E0在可行域中是不穩(wěn)定的。

下面證明 ：當(dāng)R0<1，E0是全局漸近穩(wěn)定的。

當(dāng)t→+∞時(shí)，模型的極限方程為

(5)

引理1 Hurwitz判據(jù)

考慮多項(xiàng)式方程：λn+θ1λn-1+θ2λn-2+…+θn-1λ+θn=0所有的根具有負(fù)實(shí)部的充要條件是：

其中k=1,2,…,n。當(dāng)j>n時(shí)，補(bǔ)充定義aj=0。

定理2 當(dāng)R0>1時(shí)，E*是全局漸近穩(wěn)定的。

證明 模型在E*處的雅可比矩陣為

與J0等價(jià)。

根據(jù)Hurwitz判據(jù)得：

由此判據(jù)得到特征方程的4個(gè)特征根均具有負(fù)實(shí)部，則當(dāng)R0<1時(shí)E*是局部漸近穩(wěn)定的。下面證明E*是全局漸近穩(wěn)定的。

故系統(tǒng)在可行域內(nèi)無(wú)閉軌線。又因?yàn)镋*是局部漸近穩(wěn)定的，所以地方病平衡點(diǎn)E*是全局漸近穩(wěn)定的。

3 數(shù)值模擬

首先對(duì)系統(tǒng)中的一些參數(shù)賦值,從而驗(yàn)證無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病的全局穩(wěn)定性。選取參數(shù)A0=0.1,c0=0.01,m0=0.2,δ0=0.2,ω0=0.1,τ0=0.25,α0=0.4,這樣可以計(jì)算出R0=30>1。顯然,此時(shí)系統(tǒng)存在一個(gè)地方病平衡點(diǎn),且此平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。取初始值分別為S(0)=0.8,I(0)=0.5,Q(0)=0.7,R(0)=0.6;S(0)=0.7,I(0)=0.6,Q(0)=0.75,R(0)=0.6，應(yīng)用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬,可以得到如圖1所示的結(jié)果。

從圖1中很容易看出，感染者在疾病開始流行的時(shí)候數(shù)量有顯著的增加，但是隨著時(shí)間的推移，數(shù)量上趨于一個(gè)穩(wěn)定的數(shù)值，也就是說(shuō)疾病最終形成地方病，并且是全局漸近穩(wěn)定的。

接著來(lái)看另外一種情況。在系統(tǒng)中取參數(shù)，A0=1,c0=0.4,m0=0.8,δ0=0.1,ω0=0.1,τ0=0.25,α0=0.3并計(jì)算出R0=0.75<1。此時(shí)系統(tǒng)存在一個(gè)無(wú)病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的，初始值分別取S(0)=0.8,I(0)=0.4,Q(0)=0.6,R(0)=0.5;S(0)=0.7,I(0)=0.5,Q(0)=0.65,R(0)=0.6，應(yīng)用Matlab軟件對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，得到結(jié)果如圖2所示。

圖1 R0>1時(shí)在不同的初始值下地方病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性

圖2 R0<1時(shí)，在不同的初始值下無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

從圖2中可以看出，感染者隨著時(shí)間的推移，最終將趨于滅亡。

4 結(jié)束語(yǔ)

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(責(zé)任編輯 劉 舸)

Analysis of SIQRS Epidemic Model with Saturated Contact Rate

ZHANG Hong-yu, YE Zhi-yong

(College of Mathematics and Statistics, Chongqing University of Technology,Chongqing 400054, China)

First, this paper constructed a SIQRS epidemic model with saturated contact rate. We got the thresholdR0bycalculating,inwhichthereexistsadisease-freeequilibriumpointandanendemicequilibriumpointbystabilitytheoremandDulacTheorem,atlast,thecomputernumericalvaluesimulationimpliesthattheconclusionisright.

SIQRSepidemic model; threshold; saturated contact rate

2014-10-15 基金項(xiàng)目：重慶市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2005BB8085)；重慶市教育委員會(huì)基金資助項(xiàng)目(KJ080622)

張宏宇(1990—)，男，河南信陽(yáng)人，碩士研究生，主要從事微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)研究。

張宏宇， 葉志勇.具有飽和接觸率的SIQRS模型的穩(wěn)定性研究[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015(3):141-145.

format：ZHANG Hong-yu, YE Zhi-yong.Analysis of SIQRS Epidemic Model with Saturated Contact Rate[J].Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science,2015(3):141-145.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2015.03.026

O175

A

1674-8425(2015)03-0141-05