胡婧怡,常曉恒

(渤海大學(xué) a.數(shù)理學(xué)院; b.工學(xué)院，遼寧 錦州 121003)

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輸出信號(hào)量化測(cè)量下不確定離散系統(tǒng)非脆弱H∞濾波器設(shè)計(jì)

胡婧怡a,常曉恒b

(渤海大學(xué) a.數(shù)理學(xué)院; b.工學(xué)院，遼寧 錦州 121003)

研究了輸出信號(hào)量化測(cè)量下不確定離散系統(tǒng)非脆弱H∞濾波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題。難點(diǎn)在于濾波器設(shè)計(jì)過(guò)程存在3種不確定性，即系統(tǒng)本身存在的不確定性、非脆弱濾波器設(shè)計(jì)時(shí)涉及到的不確定性和由于輸出信號(hào)量化測(cè)量近似表示的不確定性。通過(guò)有效的矩陣變換技術(shù),給出基于線(xiàn)性矩陣不等(LMIs)的非脆弱H∞濾波器存在的充分條件。最后，通過(guò)數(shù)值仿真來(lái)驗(yàn)證設(shè)計(jì)方案的有效性。

不確定離散系統(tǒng)；H∞非脆弱濾波器；輸出量化測(cè)量；線(xiàn)性矩陣不等式(LMIs)

伴隨著控制系統(tǒng)的數(shù)字化和網(wǎng)絡(luò)化，反饋控制系統(tǒng)中存在的量化現(xiàn)象引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注[1-9]。這是因?yàn)樵趥鹘y(tǒng)的設(shè)計(jì)中， 并沒(méi)有考慮量化對(duì)系統(tǒng)的影響,往往會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降乃至破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。有關(guān)于量化問(wèn)題的研究，最早見(jiàn)于卡爾曼于1956發(fā)表的文章[1]，指出了量化發(fā)生時(shí)，在沒(méi)有考慮量化效果的前提下所設(shè)計(jì)的控制器可能導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)極限環(huán)和混沌現(xiàn)象。之后為了更好地理解和設(shè)計(jì)存在量化反饋的系統(tǒng),許多學(xué)者展開(kāi)了對(duì)量化問(wèn)題的研究，并得到了許多重要的成果[2-8]。

另一方面，非脆弱控制和濾波問(wèn)題已經(jīng)成為了應(yīng)用和理論界研究的一個(gè)重要問(wèn)題。非脆弱問(wèn)題即如何設(shè)計(jì)控制器或?yàn)V波器，使其在參數(shù)攝動(dòng)的情況下仍然能夠保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性及預(yù)期性能。關(guān)于非脆弱問(wèn)題的研究可查看文獻(xiàn)[10-14]。

本文考慮了存在輸出量化測(cè)量下不確定離散系統(tǒng)的非脆弱狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題。主要基于Lyapunov函數(shù)法引入松弛矩陣實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)矩陣與Lyapunov矩陣的分離，從而基于H∞濾波理論給出可行的非脆弱濾波器算法，使其消除量化誤差的影響實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)穩(wěn)定，并滿(mǎn)足給定的H∞性能指標(biāo)。最后通過(guò)仿真實(shí)例驗(yàn)證其有效性。

1 問(wèn)題描述

考慮如下離散系統(tǒng):

(1)

考慮如下形式的非脆弱濾波器:

(2)

(3)

其中：

至此，針對(duì)上述存在輸出量化測(cè)量現(xiàn)象的不確定離散系統(tǒng)，設(shè)計(jì)濾波器(2)使系統(tǒng)在消除量化誤差影響的同時(shí)，滿(mǎn)足：

1) 當(dāng)w(k)=0時(shí)，濾波誤差系統(tǒng)(3)穩(wěn)定；

下面的引理在后續(xù)研究中起關(guān)鍵作用。

引理1[18]給定矩陣Γ,Λ和對(duì)稱(chēng)矩陣Ω,對(duì)于FTF≤I，不等式Ω+ΓFΛ+ΛTFTΓT<0成立，只要存在一個(gè)恒定的標(biāo)量ε>0，則滿(mǎn)足Ω+ε-1ΓΓT+εΛTΛ<0。

2 系統(tǒng)H∞濾波器的分析與設(shè)計(jì)

引理2 濾波誤差系統(tǒng)(3)在滿(mǎn)足給定的H∞指標(biāo)γ的前提下穩(wěn)定，存在矩陣G,N,S和正定對(duì)稱(chēng)矩陣P滿(mǎn)足下面的矩陣不等式:

(4)

其中：

證明 構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：

(5)

其關(guān)于濾波誤差系統(tǒng)(3)的差分為：

(6)

其中：

注1 當(dāng)w(k)=0時(shí)，容易證明如果不等式(4)成立，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。另一方面,值得注意的是,在推導(dǎo)結(jié)論的過(guò)程中，引入的松弛變量G,N和S會(huì)有利于得到保守性低的結(jié)論。為了便于分析，引理2沒(méi)有對(duì)量化誤差進(jìn)行處理。接下來(lái)，將給出充分的設(shè)計(jì)條件來(lái)消除量化誤差的影響。

定理1 對(duì)于已給出的不確定系統(tǒng)(1)和濾波器(2)，濾波誤差系統(tǒng)(3)在滿(mǎn)足H∞范數(shù)指標(biāo)γ的情況下達(dá)到一致穩(wěn)定的條件是:存在G,N和S及正定對(duì)稱(chēng)矩陣P，以及標(biāo)量ε>0,β>0,ν>0，滿(mǎn)足下面的矩陣不等式:

(7)

其中：

證明 假設(shè)滿(mǎn)足引理2的條件，這里考慮濾波誤差系統(tǒng)(3)中存在的量化誤差及非脆弱問(wèn)題，可以描述為

這里把其定義代入不等式(4)中，可以重新寫(xiě)為如下形式:

(8)

然后，根據(jù)引理1，容易得到：存在ε>0,β>0,ν>0使得不等式(7)成立。本文省略了詳細(xì)的過(guò)程。證明完畢。

定理2 對(duì)于不確定離散系統(tǒng)(1)，給定量化密度ρ>0，存在濾波器(2)能消除量化誤差，并且能保證濾波誤差系統(tǒng)(3)在滿(mǎn)足給定H∞裕度γ條件下穩(wěn)定的條件是：存在矩陣P1,P2,P3,G1,G3,N1,S1,S3,A,B,C,D,和非奇異矩陣G2，及標(biāo)量λ1,λ2,λ3,λ4和ε,β,ν>0滿(mǎn)足下面的線(xiàn)性矩陣不等式:

(9)

(10)

其中:

因此，可以得到一個(gè)滿(mǎn)足給定H∞性能指標(biāo)γ>0的合適濾波器：

證明 基于定理1，若不等式(7)成立，便可以設(shè)計(jì)濾波器。假設(shè)不等式中涉及的矩陣變量具有下面的形式：

這里定義：

A=G2AF,B=G2BF,C=CF,D=DF

結(jié)合前面提到的相關(guān)矩陣，把這些矩陣代入不等式(7)中，那么定理2可以很容易地被推導(dǎo)出來(lái)。證明完畢。

注2 通過(guò)對(duì)定理1的相關(guān)矩陣做上述結(jié)構(gòu)上的定義，可以使得在定理1的不等式中出現(xiàn)的耦合項(xiàng)很好地分開(kāi)。另一方面，為了降低對(duì)矩陣變量結(jié)構(gòu)上的定義帶來(lái)的保守性，本文引入了補(bǔ)償參變量λl,l=1,2,3,4來(lái)獲得解空間中額外的自由度。這些變量可以利用Chang[17]中提到的方法得到。

注3 在實(shí)際的應(yīng)用中，量化誤差的上限δ可以根據(jù)給定的量化密度ρ計(jì)算得到。因此，定理2中的不等式組(9)～(10)實(shí)際上是嚴(yán)格的線(xiàn)性矩陣不等式(LMIs)，故可以通過(guò)Matlab的控制工具箱來(lái)求解，進(jìn)而設(shè)計(jì)濾波器。

3 仿真算例

本節(jié)通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證方法的有效性。考慮式(1)中所描述的下不確定離散系統(tǒng)，其中:

接下來(lái)，利用前面的定理來(lái)設(shè)計(jì)非脆弱H∞濾波器。

DF=0.127 1

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了存在輸出量化測(cè)量下不確定離散系統(tǒng)的非脆弱狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題。主要利用有效的矩陣變換技術(shù)。并引入松弛變量實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)矩陣與Lyapunov矩陣的分離,給出可行的非脆弱濾波器算法，使系統(tǒng)在消除不確定性影響及量化誤差影響的同時(shí)漸進(jìn)穩(wěn)定并滿(mǎn)足給定的非脆弱H∞性能指標(biāo)。最后通過(guò)仿真實(shí)例驗(yàn)證了其有效性。

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(責(zé)任編輯 楊黎麗)

Non-FragileH∞Filter Design for Uncertain Discrete-Time System with Quantized Measurements

HU Jing-yia, CHANG Xiao-hengb

(a.College of Mathematics and Physics；b.College of Engineering,Bohai University, Jinzhou 121013, China)

This paper researched the problem of non-fragileH∞filter design for uncertain discrete-time system with output quantization. Three types of uncertain were considered in the process of filter design, which were the uncertain in system, the uncertain in non-fragile filter and the quantization error uncertain. By effective matrix transformation techniques, a sufficient condition was presented in terms of linear matrix inequalities (LMIs) for such non-fragile filter exists. Finally, a numerical example was provided to demonstrate the effectiveness of the proposed approach.

uncertain discrete-time; non-fragileH∞filter; quantized measurements；linear matrix inequalities(LMIs)

2014-11-15 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61104071)；遼寧省高等學(xué)校杰出青年成長(zhǎng)計(jì)劃項(xiàng)目(LJQ2012095)；遼寧省裝備制造綜合自動(dòng)化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放項(xiàng)目(1120211415)

胡婧怡(1990—),女,天津人,碩士研究生,主要從事量化問(wèn)題及非脆弱問(wèn)題研究。

胡婧怡,常曉恒.輸出信號(hào)量化測(cè)量下不確定離散系統(tǒng)非脆弱H∞濾波器設(shè)計(jì)[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015(3):100-104.

format：HU Jing-yi, CHANG Xiao-heng.Non-FragileH∞Filter Design for Uncertain Discrete-Time System with Quantized Measurements[J].Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science,2015(3):100-104.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2015.03.019

TP273

A

1674-8425(2015)03-0100-05