周 欣，趙 彬

(陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院， 陜西 西安 710062)

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·數(shù)理科學·

m-半格的模糊理想

周 欣，趙 彬

(陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院， 陜西 西安 710062)

通過模糊集理論的方法,給出了m-半格的(素)模糊理想的概念,討論了(素)模糊理想和(素)理想之間的關系,研究了模糊理想之集的性質。給出了(素)模糊理想和(素)理想的等價刻畫,證明了含最小元的正序m-半格的像集中含1的模糊理想之集是分配l-半群。提出的方法能較好地闡述出模糊集理論與m-半格的聯(lián)系。

m-半格;(素)理想;(素)模糊理想

m-半格把∨-半格的結構和半群的乘法運算結合起來,從而剩余格、Frame、Quantale和格序半群等都是特殊的m-半格。m-半格在Quantale理論的研究中有著重要的作用。Rosenthal在文獻[1]中指出每一個凝聚式Quantale都同構于某個含最大元的m-半格的∨-半格理想之集構成的Quantale。眾所周知,理想是刻畫代數(shù)結構的重要工具之一。謝祥云在文獻[2]中引入了l-半群的sl-理想的概念,并探討了sl-理想的性質。本文受文獻[2]的啟發(fā),給出了m-半格的模糊理想的概念,研究了m-半格的(素)模糊理想和模糊理想之集的性質并探討了一些等價刻畫。

1 預備知識

定義1 設(S,∨)是∨-半格,·是S上的乘法運算且滿足:

(1)?a,b,c∈S, (a·b)·c=a·(b·c);

(2)?a∈S,a·-和-·a都保有限并,

則稱(S,∨,·)是m-半格,簡稱S是m-半格。

由m-半格的定義知(S,·)是半群。本文給出的m-半格的定義是文獻[1]引入的m-半格的定義的推廣。

設S是m-半格。若?a,b∈S,a·b≤a且a·b≤b,則稱S是負序m-半格。對偶地,可以給出正序m-半格的定義。在本文中,若無特別說明,S均指m-半格。為了簡便起見,用ab標記a·b(a,b∈S)。

文獻[3]給出了Quantale在格與半群意義下的理想的概念。事實上這種概念可以推廣到m-半格上。

定義2 設S是m-半格且I?S,對于下述3個條件:

(i) ?a,b∈S,a,b∈I?a∨b∈I;

(ii) ?a,b∈S,b≤a∈I?b∈I;

(iii)?a,b∈S,b∈I?ab∈I且ba∈I，

若I滿足(i)和(ii),則稱I是S的∨-半格理想;若I滿足(i),(ii)和(iii),則稱I是S的m-半格理想,簡稱I是S的理想。

設P是S的理想。若P≠S且?a,b∈S,ab∈P?a∈P或b∈P,則稱P是S的素理想。

設S是m-半格且f,g∈F (S)。定義f°g為

文獻[5]指出運算°滿足結合律,且由文獻[6]的引理2.1知若f,g,h∈F (S)且f?g,則f°h?g°h且h°f?h°g。

2 m-半格的模糊理想

定義3 設S是m-半格且f∈F (S),若f滿足下述3個條件:

(i) ?x,y∈S,f(x)∧f(y)≤f(x∨y);

(ii) ?x,y∈S,x≤y?f(y)≤f(x);

(iii) ?x,y∈S,f(x)≤f(xy)∧f(yx),

則稱f為S的模糊理想。

設f是S的非常值的模糊理想。若?x,y∈S,f(xy)=f(x)∨f(y),則稱f為S的素模糊理想。

注1 (1) 在定義3中 (i)和(ii)可被等價替換為?x,y∈S,f(x∨y)=f(x)∧f(y),且(iii)可被等價替換為?x,y∈S,f(x)∨f(y)≤f(xy)。

(3) 盡管本文給出的m-半格的理想和模糊理想的概念分別與文獻[3]和[7]引入的Quantale的理想和模糊理想的定義形式類似,但是從文獻[3]和[7]的結論可看出這種Quantale的理想和模糊理想的定義與Quantale的乘法運算對任意并左、右分配的性質以及Quantale的完備性聯(lián)系不大,所以在m-半格上使用這種定義是合適的。

例1 (1) 設I是m-半格S的理想。定義映射

f:S→[0,1]為?x∈S,

則f是S的模糊理想。

(2) 設S={⊥,a, ┬}且S上的乘法運算·為

易證(S,·)是m-半格。定義S的模糊子集f為

不難看出f是S的素模糊理想。

命題1 若{fλ}λ∈Λ是上定向的,則

由(i)～(iii)知f是S的模糊理想。下面來證明若1∈Imf1∩Imf2,則f=f1∨f2。

命題3 設S是m-半格且f是S的模糊子集, 則f是S的模糊理想當且僅當f滿足:

(1) ?x,y∈S,f(x∨y)=f(x)∧f(y),

(2) 1S°f?f且f°1S?f。

證 明 與文獻[6]的引理2.10的證明類似。

命題4 若S是負序m-半格,則?a∈S,λ∈[0,1],aλ是S的模糊理想。

命題5 設aλ是負序m-半格S的序模糊點,λ∈[0,1],則1S°aλ°1S是S的模糊理想。

命題6 設A是m-半格S的子集,對任意λ∈(0,1]有下列結論成立:

(1)A是S的理想當且僅當λχA是S的模糊理想;

(2)A是S的素理想當且僅當λχA是S的素模糊理想。

命題7 設S是負序m-半格且f是S的非常值的模糊理想。若對任意的模糊子集g和h都成立g°h?f?g?f或h?f,則f是S的素模糊理想。

用Q表示有理數(shù)之集,?a∈[0,1],令Ka={t∈[0,1]∩Q:t≤a},則有a=∨Ka,從而可得到下面這個定理。

定理1 設S是m-半格且f是S的模糊子集, 則下列結論成立:

(1)f是S的模糊理想當且僅當?t∈[0,1]∩Q,ft是S的理想;

(3) 若f是S的非常值的模糊子集,則f是S的素模糊理想當且僅當?t∈[0,1]∩Q,ft≠S?ft是S的素理想;

(3) 設f是S的素模糊理想。?t∈[0,1]∩Q,由(1)知ft是S的理想。設x,y∈S且ft≠S。若xy∈ft,則f(xy)≥t。因為f(xy)=f(x)∨f(y),所以f(x)≥t或f(y)≥t,即x∈ft或y∈ft。因此,ft是S的素理想。反之,設?t∈[0,1]∩Q,若ft≠S,ft是S的素理想。由(1)知f是S的模糊理想。設x,y∈S。若f(xy)=∧Imf,則f(x),f(y)≥f(xy),從而f(x)∨f(y)≥f(xy)。若f(xy)≠∧Imf,則?m∈S使得f(m)

(4) 證明與(3)類似。

3 模糊理想之集的性質

引理1 設S是m-半格,則(Fidl(S),°)和(FIdl(S)*,°)是半群。

命題8 設(S,·,∨)是負序m-半格,則下列結論等價:

(1)(S,·)是可換的;

(2)(FIdl(S),°)是可換的;

(3)(FIdl(S)*,°)是可換的。

(2)?(3) 顯然成立。

(3)?(1) 設(FIdl(S)*,°)是可換的。由命題4知?a∈S,序模糊點a1∈ FIdl(S)*。?x,y∈S,易證(xy)1=x1°y1=y1°x1=(yx)1。因此,xy=yx,即(S,·)是可換的。

定義4[8]設S是m-半格。若S還是格且乘法運算·還對∧左、右分配,則稱S是l-半群。若S還是分配格,則稱S是分配l-半群。易見l-半群是特殊的m-半格。

定理2 設S是含最小元的m-半格,則(FIdl(S)*,°,∨,∩)是負序m-半格。特別的,若S還是正序的,則FIdl(S)*,°,∨,∩)是分配l-半群。

證 明 已經(jīng)知道(FIdl(S)*,°,∨,∩,?)是格,由引理1知(FIdl(S)*,°)是半群。設f,g,h∈FIdl(S)*,則

[1]ROSENTHALKI.QuantalesandTheirApplications[M].NewYork:LongmanScientificandTechnical, 1990.

[2]XIEXY.Idealsinlattice-orderedsemigroups[J].SoochowJournalofMathematics, 1996, 22: 75-84.

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[4]ZADEHLA.Fuzzysets[J].InformationControl, 1965, 8: 338-353.

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[6]XIEXY,TANGJ.Fuzzyradicalsandprimefuzzyidealsoforderedsemigroups[J].InformationSciences, 2008, 178: 4357-4374.

[7]LUOQJ,WangGJ.Roughnessandfuzzinessinquantales[J].InformationSciences, 2014, 271: 14-30.

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(編 輯亢小玉)

Fuzzy ideals ofm-semilattices

ZHOU Xin, ZHAO Bin

(College of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi′an 710062， China)

By using the fuzzy set method, the concept of (prime) fuzzy ideals of anm-semilattice was introduced, the relationships between (prime) fuzzy ideals and (prime) ideals were discussed and the properties of the sets of all fuzzy ideals were studied. Equivalent characterizations of (prime) fuzzy ideals and (prime) ideals were given, and it is proved that the set of all fuzzy ideals with 1 in their images of a positivem-semilattice with a bottom element is a distributive l-semigroup.The link between fuzzy set theory andm-semilattices can be well revealed.

m-semilattice;(prime) ideal;(prime) fuzzy ideal

2014-10-24

國家自然科學基金資助項目(11171196,11301316)；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項基金資助項目(GK201302003)

周欣，女，河南濮陽人，從事格上拓撲與模糊推理的研究。

O153.1

：ADOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2015-02-006