范亞靜，蹇人宜

(1.北方民族大學 數(shù)學與信息科學學院,寧夏 銀川 750021;2.陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院,陜西 西安 710062)

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·數(shù)理科學·

多值線性算子的正則Fredholm對的分類

范亞靜1,2，蹇人宜1

(1.北方民族大學 數(shù)學與信息科學學院,寧夏 銀川 750021;2.陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院,陜西 西安 710062)

分類;正則Fredholm對;多值線性算子

多值線性算子(又稱線性關系)的概念是線性算子概念的自然推廣。多值線性算子的概念在20世紀50年代von Neumann當考慮非稠定線性微分算子的共軛[1]時就引入到算子理論中了。此后,在最優(yōu)化與控制的問題[2-3]中也導致了對多值線性算子的研究。多值線性算子的理論和方法也用來處理偏微分方程[4]和常微分方程[5]的某些問題。多值線性算子具有很多和線性算子平行的性質,然而,由于多值性所導致的復雜性,不是線性算子的所有性質都能平移到線性關系中來,因而線性關系有很多特殊的性質,并且在研究方法上,也與線性算子不盡相同。R. Cross 的專著[6]是線性關系研究領域的一個工具包。Fredholm 算子理論在應用數(shù)學中是一個十分有用的工具,R. Cross等人將經(jīng)典的 Fredholm 理論移植到線性關系中,獲得了一系列十分有價值的結果[7-10]。T. Alvarez 還考慮了賦范空間中的幾乎半-Fredholm 線性關系[11]。近年來,E. Boasso 討論了正則的 Fredholm 對及其分類[12]。

本文主要討論正則 Fredholm 關系對(S,T)在每一類中X和Y的分解式及S,T的各自表達式。 由于多值性導致的復雜性,我們不可能沿用文獻 [12] 的方法。我們的目的是討論(S,T)的正則性和分類性使它們相應的選擇構成的算子對(PSS,PTT)也具有同樣的性質,再利用二者之間的轉化關系式,將(PSS,PTT)的相應結論轉化為(S,T)的,并最終完全地獲得了正則Fredholm關系對的分類。

1 預備知識

定義1[6]設U,V是任意非空集合,關系T是從U到V的映射,其定義域是U的子集D(T),且取值于2V?。從U到V的全體關系記為R(U,V)。

定義2[6]設X,Y是數(shù)域K=R或C上的向量空間,關系T∈R(X,Y)稱為線性關系(或多值線性算子)是指對于所有的x,z∈D(T)以及非零系數(shù)α∈K,有

1)T(x)+T(z)=T(x+z);

2)αT(x)=T(αx)。

定義3[6]記LR(X,Y)為從線性空間X到線性空間Y的所有線性關系構成的集合。

R(T):=T(D(T))=∪{T(x):x∈D(T)}稱為T的值域;

N(T):=T-1(0)={x∈D(T):0∈Tx}稱為T的核。

定義4[6]設X,Y是數(shù)域K=R或C上的向量空間,T:X→Y是線性關系,則T稱為有界的是指對每個Y內0的鄰域V,X的有界子集B,都存在r>0,使得

T(B)?T(0)+sV,?s≥r。

記BR(X,Y)為X到Y的有界線性關系構成的集合。

定義5[13]設S∈BR(X,Y),以及T∈BR(Y,X),且S,T是閉的,并使得

a:=dimN(S)/(N(S)∩R(T)),

b:=dimR(T)/(N(S)∩R(T)),

c:=dimN(T)/(N(T)∩R(S)),

d:=dimR(S)/(N(T)∩R(S))

是有限的,則(S,T)稱為多值線性算子的Fredholm對,記為(S,T)∈PR(X,Y)。

T∈L(X,Y)稱為正則的,是指T是閉的,且存在閉的T′∈LR(Y,X),使得T=TT′T；又若(S,T)∈PR(X,Y)且S,T均是正則的,則稱(S,T)是正則Fredholm,記為(S,T)∈RPR(X,Y)。

命題 1 如果(S,T)∈RPR(X,Y),那么下述論斷等價:

(i)R(T)是X的可補子空間;

(ii)N(S)是X的可補子空間;

(iii)N(S)+R(T)是X的可補子空間;

(iv)N(S)∩R(T)是X的可補子空間;

(v)R(T)是Y的可補子空間;

(vi)N(T)是Y的可補子空間;

(vii)N(T)+R(S)是Y的可補子空間;

(viii)N(T)∩R(S)是Y的可補子空間。

定義6[6]若

T=A+T-T,D(A)=D(T),

則線性算子A稱為線性關系T的選擇(單值部分)。

若A是T的選擇,則有

T(x)=A(x)+T(0),?x∈D(T),

因此有R(T)=R(A)+T(0)。

由選擇的定義,可以看出,R(PTT)=R(T)-T(0),若T是閉的,則T(0)是閉的,因而ker(PT)=T(0)。

2 多值線性算子的正則Fredholm對分類

以下用X,Y表示兩個Banach空間。在文獻 [12] 中,E. Boasso考慮了單值線性算子的正則Fredholm對的分類問題,對于多值線性算子的正則Fredholm對是否也可以考慮相應的分類呢?

定義7 設(S,T)∈RPR(X,Y),子空間序列(RS,n)n∈N和(RT,n)n∈N分別遞歸地定義為

RS,0=Y,RT,0=X,

若RS,n,RT,n已經(jīng)定義好,則定義

RS,n+1:=S(RT,n),RT,n+1:=T(RS,n)。

這里,N是包括0的自然數(shù)。

下面給出多值線性算子的正則Fredholm對分類的一個核心概念。

定義9 設(S,T)∈RPR(X,Y),若p,q是第一個使得?k≥0,RS,p=RS,p+k,RT,p=RT,p+k,則稱n=min{p,q}為關系對(S,T)的編號。

(i)若p=q,則稱關系對(S,T)是I-n型;

(ii)若p

(iii) 若p>q,則稱關系對(S,T)是III-n型。這里p,q∈N,有下面3種可能情況:

(i)p=q;

(ii) 當p

(iii) 當p>q時,p=q+1。

本文觀察所考慮的問題中X和Y,S與T的構造都是對稱的,所以在研究多值線性算子的正則Fredholm對時,如果有必要可能會交換X和Y,S和T。那么只需考慮I-n型和II-n型的情況。

以下記P(X,Y)為Fredholm算子對構成的集合,RP(X,Y)為正則Fredholm算子對構成的集合。

(i) 若 (S,T)∈PR(X,Y),則(PSS,PTT)∈P(X,Y)。

(ii) 若 (S,T)∈RPR(X,Y),則(PSS,PTT)∈RP(X,Y)。

證 明 (i)

若 (S,T)∈PR(X,Y),則由多值線性算子Fredholm對的定義知,

a=dimN(S)/(N(S)∩R(T))<∞,

b=dimR(T)/(N(S)∩R(T))<∞,

c=dimN(T)/(N(T)∩R(S))<∞,

通過對比數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，使用輔助裝置后測得的數(shù)據(jù)均高于開放檢測的數(shù)據(jù)，由此說明使用輔助裝置后測出的硫化氫含量是真實、有效的，硫化氫檢測輔助可以作為生產現(xiàn)場硫化氫檢測的重要工具。

d=dimR(S)/(N(T)∩R(S))<∞。

而我們知道

N(S)=N(PSS),

R(PSS)=R(S)-S(0),

N(T)=N(PTT),

R(PTT)=R(T)-T(0),

N(PSS)/(N(PSS)∩R(PTT))=

N(S)/(N(S)∩(R(T)-T(0)))?

N(S)-[N(S)∩(R(T)-T(0))]=

N(S)-[(N(S)∩R(T))-

(N(S)∩T(0))]

又因為a<∞,dimT(0)<∞,所以

a0:=dimN(PSS)/(N(PSS)∩R(PTT))<∞。

由于

R(PTT)/(N(PSS)∩R(PTT))=

(R(T)-T(0))/(N(S)∩(R(T)-

T(0)))?

R(T)-T(0)-

[N(S)∩(R(T)-T(0))]=

R(T)-T(0)-[(N(S)∩R(T))-

(N(S)∩T(0))]

以及b<∞,dimT(0)<∞,所以b0:=dimR(PTT)/(N(PSS)∩R(PTT))<∞。同理,c0:=dimN(PTT)/(R(PSS)∩N(PTT))<∞,d0:=dimR(PSS)/(R(PSS)∩N(PTT))<∞。這就說明了(PSS,PTT)∈P(X,Y)。

(ii) 因為(S,T)∈RPR(X,Y),所以(S,T)∈PR(X,Y)且S,T均是正則的線性關系。由(i)知,(PSS,PTT)∈P(X,Y),且由正則關系的定義知,存在閉的S′∈BR(Y,X),T′∈BR(X,Y)使得:

S=SS′S,T=TT′T,

故PSS=PSSS′S。簡記PS=P,PS′=P0,則PS=PSS′S。因為?x∈X,

PSP0S′PSx=

PSP0S′(S(x)-S(0))=

PSP0S′S(x)-PSP0S′S(0)=

PS(S′S(x)-S′(0))-

[PS(S′S(0)-S′(0))]=

PS(S′S(x)-S′(0))-

PS(S′S(0)?S′(0))=

PSS′S(x)-PSS′S(0)=

PS(x)-PS(0)=PS(x),

所以PSP0S′PS=PS,即PS是正則算子。

同理,PTT是正則算子。于是

(PSS,PTT)∈RP(X,Y)。

證畢。

以下文章中出現(xiàn)的PT,PS均指定理1中出現(xiàn)的商映射。

定理2 若(S,T)是I-n型的,則(PSS,PTT)也是I-n型的。

證 明 因為(S,T)是I-n型的,所以p=q=n,故有

RS,n=RS,n+k,RT,n=RT,n+k,?k≥0。

第1步：先證明當n=k=1,結論成立。即當RS,1=RS,2,RT,1=RT,2時,能誘導出

RPSS,1=RPSS,2,RPTT,1=RPTT,2。

因為R(S)=RS,2=SR(T)=S(RT,2)=STRS,1=R(STS),以及

RPSS,2=PSSRPTT,1=

S(RPTT,1)-S(0)=

S(R(T)-T(0))-S(0)=

R(ST)-ST(0)-S(0)=R(ST)-ST(0),

RPSS,1=R(PSS)=

R(S)-S(0)=R(STS)-S(0),

顯然S(0)?ST(0),所以

R(ST)-ST(0)?R(S)-S(0),

即RPSS,2?RPSS,1。又因為

R(STS)?R(ST),

(R(STS)-S(0))+ST(0)=R(STS),

S(0)?ST(0),ST(0)?R(STS)),

所以

(R(STS)-S(0))+ST(0)?(R(ST)-ST(0))+ST(0)

特別地,

R(STS)-S(0)?R(ST)-ST(0)。

這樣RPSS,1?RPSS,2,故RPSS,1=RPSS,2。

同理可證RPTT,1=RPTT,2。

第2步：RS,1=RS,k+1和RT,1=RT,k+1(?k≥0),能分別誘導

?k≥0,RPSS,1=RPSS,k+1,RPTT,1=RPTT,k+1。

事實上,因為對于所有的k≥0,都有

RS,1=RS,2=…=RS,k+1=…。

假設當k≥1時,結論成立。那么當

RS,1=RS,k+1=RS,k+1+1,

RT,1=RT,k+1=RT,k+1+1

時,有

RPSS,k+1+1=PSS(RPTT,k+1)=

PSS(RPTT,1)=

RPSS,2=RPSS,1,

RPTT,k+1+1=PTT(RPSS,k+1)=

PTT(RPSS,1)=RPTT,2=RPTT,1,

故對于一切k≥0結論成立。

第3步:對于任意的n>1,要證在RS,n=RS,n+k,RT,n=RT,n+k之假定下,必有

RPSS,n=RPSS,n+k,RPTT,n=RPTT,n+k,?k≥0。

假設當k=1時,即當RS,n=RS,n+1,RT,n=RT,n+1時,類似于第一段的證明可得RPSS,n=RPSS,n+1,RPTT,n=RPTT,n+1。

以此遞推下去知,當

RS,n=RS,n+1=…=RS,n+k=RS,n+k+1=…,

RT,n=RT,n+1=…=RT,n+k=RT,n+k+1=…

時,有

RPSS,n=RPSS,n+1=…=RPSS,n+k=RPSS,n+k+1=…,

RPTT,n=RPTT,n+1=…=RPTT,n+k=RPTT,n+k+1=…。

證畢。

定理3 若(S,T)是II-n型的,則(PSS,PTT)也是II-n型的。

證 明 若(S,T)是II-n型的,則p=n,q=n+1,以及RS,n=RS,n+k,RT,n+1=RT,n+1+k,?k≥0。要證?k≥0,

RPSS,n=RPSS,n+k,RPTT,n+1=RPTT,n+1+k。

顯然當k=0時，結論成立。

第1步:當n=1時,由RS,1=RS,2=RS,3=…=RS,k=RS,k+1=…,RT,2=RT,3=RT,4=…=RT,k=RT,k+1=…,以及定理2的證明過程中的第3段可得:

RPSS,2=RPSS,3=…=RPSS,k=RPSS,k+1=…,

RPTT,2=RPTT,3=…=RPTT,k=RPTT,k+1=…,

以及

RPSS,1=R(S)-S(0)=RS,1-S(0),

RPSS,2=PSS(R(T)-T(0)) =

R(ST)-ST(0)=RS,2-ST(0),

又由RS,2?RS,1,S(0)?ST(0),故RPSS,2?RPSS,1。又因為RS,3?RS,2,RS,3=(RS,3-S(0))+ST(0),以及RS,2=(RS,2-S(0))+ST(0),所以(RS,3-S(0))+ST(0)?(RS,2-S(0))+ST(0),因而RS,3-S(0)?RS,2-S(0),于是RPSS,1?RPSS,2。故RPSS,1=RPSS,2。從而RPSS,1=RPSS,k,RPTT,2=RPTT,2+k,?k≥0。

第2步:?n>1,若RS,n=RS,n+k,RT,n+1=RT,n+1+k,?k≥0,即

RS,n=RS,n+1=…=RS,n+k=RS,n+k+1=…,

RT,n+1=RT,n+2=…=RT,n+k=RT,n+k+1=…,

則由定理2第3段證明過程知

RPSS,n+1=RPSS,n+k+1,RPTT,n+1=RPTT,n+k+1。

類似于第1段的證明有RPSS,n=RPSS,n+1,故?k≥0,RPSS,n=RPSS,n+k,RPTT,n+1=RPTT,n+k+1,即(PSS,PTT)也是II-n型的。證畢。

定理4 若 (S,T)是III-n型的,則(PSS,PTT)也是III-n型的。

證 明 由于X與Y,S與T地位是對稱的,故當交換X與Y,S與T時,由定理3便得結論成立。

(ii)Mn,S=RPSS,n∩N(T),Nn,T=RPTT,n∩N(S);

(iii)Y2n,S=RPSS,n∩Y2k,S,X2n,T=RPTT,n∩X2k,T,k=1,2,…,n-1;

(iv)(Mn,S)n∈N+,(Nn,T)n∈N分別是N(T),N(S)的下降序列,且當n≥2時是有限維的;

當n=1時,

定理5 設(S,T)∈RPR(X,Y)的編號是1。

(ii) 若(S,T)是III-1型的,則空間X,Y允許有分解:

?x∈X1,S(x)=S(0),

由于篇幅的原因,我們省略證明。類似地,我們還可以得到(S,T)的編號為n時,空間X,Y的分解式及算子S,T的表達式。在此就不作詳細敘述了。

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(編 輯亢小玉)

A classification of regular Fredholm pairs of multi-valued linear operators

FAN Ya-jing1,2, JIAN Ren-yi1

(1.College of Mathematics and Information Science, Beifang University of Nationalities, Yinchuan 750021, China；2.School of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi′an 710062， China)

classification; regular Fredholm pair; muti-valued linear operator

2014-05-11

國家自然科學基金資助項目(11371012)；北方民族大學校級基金資助項目(2012Y038)

范亞靜,女,河北承德人，北方民族大學講師,陜西師范大學博士生,從事算子代數(shù)與量子信息研究。

O177.1

：ADOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2015-02-004