張 強,歷智明

(西北大學 數(shù)學學院, 陜西 西安 710127)

?

·數(shù)理科學·

關于相對拓撲壓的一個注記

(西北大學 數(shù)學學院, 陜西 西安 710127)

通過引入映射的基的概念,運用分離集在非緊系統(tǒng)中定義并研究了相對拓撲壓,給出了相對拓撲壓的若干基本性質(zhì),并且證明了相對拓撲壓是一致拓撲共軛下的不變量。

映射的基;非緊系統(tǒng);相對拓撲壓;一致拓撲共軛

在拓撲動力系統(tǒng)的研究中,拓撲熵是一個非常重要的拓撲共軛不變量,反映了拓撲動力系統(tǒng)的復雜程度。拓撲熵這一概念首先是由Adler,Konheim和McAndrew[1]于1965年運用開覆蓋的方法引進的。隨后, Bowen[2]和Dinaburg[3]于1971年在度量空間中運用張成集和分離集給出了拓撲熵的另外一種新的定義,并且證明了在度量空間是緊空間的情形下,這兩種定義是等價的。

拓撲壓作為拓撲熵概念的一種推廣,它首先是由Ruelle[4]于1973年在擴張動力系統(tǒng)中引進的。隨后,Walters[5]于1975年把這個概念延伸到了一般的連續(xù)函數(shù)情形,并且系統(tǒng)地介紹了關于拓撲熵和拓撲壓的一些基本概念和性質(zhì)。與拓撲壓、變分原理及平衡態(tài)有關的理論在統(tǒng)計力學、遍歷理論和動力系統(tǒng)的研究中扮演了一個十分重要的角色。由于Bowen[6]和Ruelle[7]的工作,拓撲壓已成為動力系統(tǒng)中維數(shù)理論研究的一個基本工具。

但前人的工作大都局限在對于緊致系統(tǒng)的研究。為了在非緊系統(tǒng)中給出拓撲熵和拓撲壓的合理定義,2008年,M. Malziri和M.R. Molaei[8]通過引入映射的基的概念在非緊系統(tǒng)中給出了拓撲熵概念的一個推廣。另外,在許多工程問題中,我們研究一種自然現(xiàn)象常常需要考察許多數(shù)據(jù)。然而,由于觀測者觀測角度的不同，實際上往往得到的是一些近似值。因此,為使得到的研究結(jié)果符合實際情況,需要考慮觀測者的角度。當我們通過把觀測者的角度添加到拓撲壓的概念中時，實際上就為觀測者建立了一個數(shù)學模型,這對我們科學的考察實際問題當然是大有裨益的。 基于此,2010年,M.R. Molaei和H. Molaei[9]通過映射的基運用張成集把觀測者的角度添加到了拓撲壓的概念中去,他們在非緊系統(tǒng)中運用張成集定義并研究了相對拓撲壓,同時還給出了相對拓撲壓的若干基本性質(zhì)。

本文通過對文獻[9]運用張成集所定義的相對拓撲壓的研究,首先運用分離集給出了相對拓撲壓的另外一種新的定義方式,繼而研究了這兩種定義方式在一定條件下的等價性,隨后系統(tǒng)而深入地研究了相對拓撲壓的若干基本性質(zhì),最后給出了一致拓撲共軛的兩個系統(tǒng)之間的相對拓撲壓的關系。

1 基本定義和概念

本文記N為全體正整數(shù)集,R為全體實數(shù)集。

1.1 相對拓撲動力系統(tǒng)

為了克服系統(tǒng)的非緊性帶來的困難,我們需要在下面的動力系統(tǒng)中引入映射的基的概念,從而在非緊系統(tǒng)中給出拓撲熵和拓撲壓的合理定義。

定義1[8]設(X,d)是一個度量空間(無需緊致),K是X的一個緊子集,f:X→X是X上的一個連續(xù)自映射。若對X的任意一個緊子集C,總存在m(C)∈N,使得對任意的n≥m(C),都有fn(K)?C,則稱K是f的一個基,記作(f,K)。

由文獻[9],有

據(jù)此,給出下述一個定義。

1.2 相對拓撲壓的張成集定義

文獻[9]運用張成集所定義的相對拓撲壓為：

2 用分離集定義相對拓撲壓

由定義2可以看出,用張成集和分離集所定義的相對拓撲熵是等價的。另外,文獻[9]運用張成集給出了相對拓撲壓的定義?，F(xiàn)在一個很自然的問題是:我們能否運用分離集給出相對拓撲壓的定義,并且該定義與文獻[9]用張成集所定義的相對拓撲壓是否等價?

2.1 用分離集定義相對拓撲壓

下面的符號同第2節(jié)。

則E0也是fm(K)的一個(m,n,g,ε)-張成集.

則根據(jù)定理1,有下述一個推論。

推論1 對任意給定的m∈N,ε>0及φ∈C(fm(K),R),有

證 明 第1步,證明:

據(jù)此,有

又因為

λ(gi(x))φ(gi(x)))≥

由此有

于是有

因而

(1)

第2步,證明:

由推論1的第(2)條,有

(2)

又由式(1)知,對任給的δ>0,有

于是有

(3)

注3 該定理是對緊度量空間中拓撲壓兩種等價定義的一種推廣。

3 相對拓撲壓的基本性質(zhì)

在給出相對拓撲壓的基本性質(zhì)之前，首先給出下述一個引理。

引理1[10]

2)設{aj},{bj}是兩個正實數(shù)集,則

證 明 定理3中的2),3),6),7),8),9)與文獻[9]中的證明方法類似,這里從略。下面我們對定理3中的1),4),5)給出證明。

由此有

于是有

Pλ(m,f,g,pφ+(1-p)ψ,ε)≤

p·Pλ(m,f,g,φ,ε)+(1-p)·

Pλ(m,f,g,ψ,ε)，

于是有

由此有

故

由此有

于是有

4 一致拓撲共軛

我們給出一致拓撲共軛的兩個系統(tǒng)之間的相對拓撲壓的關系之前，首先給出下述一個定義。

因而hn(π(K))=(π°fn°π-1)(π(K))=π(fn(K))?C。

這里,不妨取δ≤ε。

因而

據(jù)此,有

由此有

于是有

證 明 根據(jù)定理5,有

根據(jù)定理6,有

故

[1]ADLERRL,KONHEIMAG，MCANDREWMH.Topologicalentropy[J].TransAmerMathSoc, 1965(114): 309-319.

[2]BOWENR.Entropyforgroupendomorphismsandhomogeneousspaces[J].TransAmerMathSoc, 1971(153):401-414.

[3]DINABURGEI.Aconnectionbetweenvariousentropycharacterizationsofdynamicalsystems[J].IzvestijaANSSSR, 1971(35):324-366.

[4]RUELLED.StatisticalmechanicsonacompactsetwithΖvactionsatisfyingExpansivenessandspecification[J].TransAmerMathSoc, 1973(187): 237-251.

[5]WALTERSP.AvariationalprincipleforthepressureofContinuousTransforma-tions[J].AmerJMath, 1975(97): 937-971.

[6]BOWENR.Hausdorffdimensionofquasicircles[J].InstitutdesHautesEtudesScientifiques,1979(50): 11-25.

[7]RUELLED.Repellersforrealanalyticmaps[J].ErgodicTheoryandDynamicalSystems, 1982(2): 99-107.

[8]MALZIRIM,MOLAEIMR.Anextensionofthenotionoftopologicalentropy[J].ChaosSolitonsandFractals，2008(36): 370-373.

[9]MOLAEIMR,MOLAEIH.Relativetopologicalpressure[J].MathematicalReports，2010(1): 31-36.

[10]WALTERSP.AnIntroductiontoErgodicTheory[M].Berlin:Springer-Verlag，1982.

(編 輯亢小玉)

A note on relative topological pressure

ZHANG Qiang, LI Zhi-ming, WANG Yan-geng

(School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127， China)

The relative topological pressure is defined by separated set in non-compast system via the notion of the base of a map. In this paper, the basic properties of relative toplogical pressure are obtained, and the relative topological pressure is proved as an invariant with respect to uniformly topological conjugation.

base of a map; non-compact system; relative topological pressure; uniformly topological conjugation

2013-11-18

國家自然科學基金資助項目(11301417,11371292)

張強,男,陜西寶雞人,從事拓撲動力系統(tǒng)的研究。

O29

：ADOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2015-02-003