楊 萌 鐘 敏 張為民

1 中國科學(xué)院測量與地球物理研究所大地測量與地球動力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢市徐東大街340號，430077

2 中國科學(xué)院大學(xué)，北京市玉泉路甲19號，100049

絕對重力儀通過測定真空艙中落體自由下落過程中的時間距離對來測定重力值。由于垂直重力梯度的影響，落體下落不同距離處的重力值不相等。落體自由下落20cm，重力值會相應(yīng)地產(chǎn)生約60μGal的變化［1］。因此，垂直梯度對絕對重力測量結(jié)果的影響不可忽視。

顧及垂直重力梯度的影響，采集的時間距離對有兩種處理方式。假設(shè)垂直重力梯度在下落距離內(nèi)是常數(shù)，將時間距離對組成四階模型（公式（1）），此時得到的重力值為起始點(diǎn)z＝0處的重力值。若垂直重力梯度未知，認(rèn)為下落過程中重力不受重力梯度的影響，將時間距離對組成二階模型（公式（2））。此時得到的重力值并不是起始點(diǎn)處的重力值，而是下落到某一點(diǎn)處的重力值，將這一點(diǎn)與z＝0處的距離稱為有效高度。在重力梯度未知的情況下，精確求解有效高度是重力解算的主要問題。目前，有效高度的計(jì)算方法主要有表1列出的幾種，但它們都假設(shè)初始位置為統(tǒng)一的零點(diǎn)，不符合實(shí)際情況。本文推導(dǎo)了一個新的有效高度計(jì)算公式，適合于初始位置和初始速度均不為0的情況，并且精度在1μGal以內(nèi)。

表1 國際絕對重力儀有效高度計(jì)算方法Tab.1 Methods for effective measurement height of absolute gravimeter

1 垂直重力梯度對重力的影響

在垂直重力梯度已知的情況下，將絕對重力儀測得的時間距離對按式（1）組成四階模型：

其中，z0為初始位置，v0為落體下落初始速度，γ為垂直重力梯度值，zi為ti時刻對應(yīng)的下落距離。通過此模型獲得的g0是z＝0處的重力值。

在垂直重力梯度未知的情況下，將絕對重力儀測得的時間距離對按式（2）組成二階模型：

將FG5采集的100次落體分別用兩種模型計(jì)算重力值，其中每次落體采用100條條紋，相當(dāng)于12.5cm，重力梯度采用3.086μGal／cm。從圖1看出，兩種方法計(jì)算的重力值相差16～17 μGal。因此，必須按式（3）將改正到z＝0處：

其中，Heff為絕對重力儀測量有效高度。

圖1 垂直重力梯度變化對絕對重力值的影響Fig.1 The influence of vertical gravity gradient on absolute gravity value

2 絕對重力儀測量有效高度計(jì)算

采用最小二乘原理，給出最小二乘條件方程：

在等間距連續(xù)測量條件下，上式變成：

其中，T為落體下落時間。令將（6）、（7）代入式（5），并分別對a0、a1和a2求偏導(dǎo)：

略去高階項(xiàng)，求得有效高度Heff為：

以上公式中的z0、v0要通過四階模型求得，但是在重力梯度未知的情況下，只能使用二階模型。圖2、3分別為兩種模型計(jì)算的初始位置和初始速度值。可以發(fā)現(xiàn)，兩種模型計(jì)算的初始速度和初始位置相等。因此，可以用二階模型的初始位置、初始速度代替式（9）中的z0、v0，得：

圖3 兩種模型初始速度對比Fig.3 Initial velocity for two models

利用Zumberge［5］、Niebauer［1］、Timmen［6］以及上述模型得到有效高程，通過式（3）對二階模型得到的重力值進(jìn)行有效高程改正。圖4為4種模型進(jìn)行有效高程改正后的重力值與四階模型得到的重力值偏差，其中，利用式（10）得到的結(jié)果偏差大部分都在1μGal以內(nèi)。圖5所示為4種模型計(jì)算的RMS，式（10）得到的結(jié)果也明顯好于其他3種模型。

圖4 二階模型有效高度改正后與四階模型的差（dif1為Zumberge［5］模型結(jié)果；dif2為Niebauer［1］模型結(jié)果；dif3為Timmen［6］模型結(jié)果；dif4為本文方法的結(jié)果）Fig.4 The gravity differences between effective height corrected second－order model and forth－order model（dif1：Zumberge［5］ method；dif2：Niebauer［1］method；dif3：Timmen［6］method；dif4：the article method）

圖5 RMS值（RMS1為Zumberge［5］模型結(jié)果；RMS2為Niebauer［1］模型結(jié)果；RMS3 為Timmen［6］模型結(jié)果；RMS4為本文方法結(jié)果）Fig.5 The RMS for four methods（RMS1：Zumberge［5］method；RMS2：Niebauer［1］ method；RMS3：Timmen［6］method；RMS4：the article method）

3 結(jié) 語

本文在Niebauer［1］、Murata［4］和Timmen［6］方法基礎(chǔ)上，考慮了初始位置和初始速度對重力值測量的影響，更加適用于實(shí)際情況。公式相對簡潔，且得到的結(jié)果明顯優(yōu)于其他3種模型。

致謝：感謝測地所葉文蔚老師的指導(dǎo)。

［1］Niebauer T M.The Effective Measurement Height of Free－Fall Absolute Gravimeters［J］.Metrologia，1989，26（2）：115－118

［2］Cannizzo L，Cerutti G，Marson I.Absolute－Gravity Measurements in Europe［J］.Il Nuovo Cimento C，1978，1（1）：39－85

［3］Cook A H.The Absolute Determination of the Acceleration Due to Gravity［J］.Metrologia，1965，1（3）：84－113

［4］Murata I.A Transportable Apparatus for Absolute Measurement of Gravity［J］.Bull Earthquake Res Inst，1978，53：49－130

［5］Zumberge M A，Rinker R L，F(xiàn)aller J E.A Portable Apparatus for Absolute Measurements of the Earth’s Gravity［J］.Metrologia，1982，18（3）：145－152

［6］Timmen L.Precise Definition of the Effective Measurement Height of Free－Fall Absolute Gravimeters［J］.Metrologia，2003，40（2）：62－65