王宇譜 呂志平 宮曉春 周海濤 王 寧

1 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，鄭州市科學(xué)大道62號(hào)，450001

衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，星載原子鐘的鐘差預(yù)報(bào)有著重要的作用［1－4］。鐘差預(yù)報(bào)模型主要包括二次多項(xiàng)式（QP）模型［4－5］、灰色模型（GM（1，1））［5］、譜分析（SA）模型［6－8］、時(shí)間序列（ARIMA）模型［9，10］、Kalman 濾波（KF）模型［2，11］及其改進(jìn)模型［12－14］等。本文使用IGS提供的精密鐘差數(shù)據(jù)，從不同建模鐘差數(shù)據(jù)量進(jìn)行相同時(shí)間段鐘差預(yù)報(bào)的角度，利用5種常用鐘差模型對(duì)目前在軌運(yùn)行的6種GPS衛(wèi)星鐘進(jìn)行1、15、60d的鐘差預(yù)報(bào)，根據(jù)預(yù)報(bào)結(jié)果對(duì)各模型的預(yù)報(bào)效果進(jìn)行分析和比較。

1 預(yù)報(bào)試驗(yàn)與結(jié)果分析

使用GPS系統(tǒng)15min采樣間隔的最終精密鐘差產(chǎn)品進(jìn)行預(yù)報(bào)試驗(yàn)。以GPS Week 17 464～17 576（2013－06－27～2013－09－14）共80d的鐘差數(shù)據(jù)為例，同時(shí)考慮此時(shí)間段的星載原子鐘包 括BLOCK ⅡA銫鐘、BLOCK ⅡA銣鐘、BLOCK ⅡR銣鐘、BLOCK ⅡR－M銣鐘、BLOCK ⅡF銫鐘、BLOCK ⅡF銣鐘6種類型，隨機(jī)選取該時(shí)間段內(nèi)不存在鐘差跳變和間斷、數(shù)據(jù)完整的每類鐘的一顆衛(wèi)星進(jìn)行試驗(yàn)。文中選取PRN01、PRN10、PRN22、PRN24、PRN29、PRN32六顆衛(wèi)星。預(yù)報(bào)試驗(yàn)中，以對(duì)應(yīng)的IGS精密鐘差數(shù)據(jù)作為參考真值，使用均方根誤差（RMS）和極差（最大誤差與最小誤差之差的絕對(duì)值，記為Range）作為統(tǒng)計(jì)量，分析各模型的預(yù)報(bào)效果。其中均方根誤差的計(jì)算公式為：

式中，errori為預(yù)報(bào)誤差，是i時(shí) 刻IGS精密鐘差值，ti為i時(shí)刻鐘差預(yù)報(bào)值。

對(duì)于5種常用鐘差預(yù)報(bào)模型，有以下3點(diǎn)需要說(shuō)明：

1）本文SA 模型確定的過(guò)程為［6］：首先，利用二次多項(xiàng)式對(duì)已知鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到擬合殘差；然后，使用Daubechies小波進(jìn)行信號(hào)分解并對(duì)殘差進(jìn)行降噪處理；接下來(lái)，采用傅里葉變換將降噪后的信號(hào)從時(shí)域變換到頻域中，則信號(hào)分解為多個(gè)簡(jiǎn)單的正弦和余弦信號(hào)的疊加；最后，根據(jù)最大功率譜的量級(jí)，確定周期函數(shù)的階數(shù)及其功率譜對(duì)應(yīng)的頻率。

2）本文使用ARIMA 模型進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)建模時(shí)，首先根據(jù)自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的截尾性初步確定模型和模型的階數(shù)［9］。在模型確定后，利用AIC準(zhǔn)則準(zhǔn)確地確定模型的階數(shù)［10］，并通過(guò)最小二乘估計(jì)方法［9］求解模型參數(shù)。

3）本文使用基于方差遞推法來(lái)確定噪聲矩陣的KF模型進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)［4］。

最后，設(shè)計(jì)兩種方案對(duì)各模型的鐘差預(yù)報(bào)效果進(jìn)行分析說(shuō)明。方案一，使用2013－07－03的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，預(yù)報(bào)接下來(lái)1d（代表短期預(yù)報(bào)）、15d（代表中期預(yù)報(bào)）、60d（代表長(zhǎng)期預(yù)報(bào)）。方案二，使用2013－06－27～07－03共7d的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，預(yù)報(bào)接下來(lái)1、15、60d的鐘差。兩方案中各衛(wèi)星的鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表1～6（單位：ns）。

1）分析6個(gè)表中QP模型對(duì)應(yīng)列的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出：①?gòu)谋?、4可知，對(duì)于1d以內(nèi)的短期預(yù)報(bào)，QP模型能夠通過(guò)對(duì)歷史鐘差數(shù)據(jù)的有效擬合來(lái)反映鐘差的變化規(guī)律，從而得到較好的預(yù)報(bào)結(jié)果：預(yù)報(bào)精度在亞ns到幾個(gè)ns之間，預(yù)報(bào)穩(wěn)定性對(duì)于銣鐘在數(shù)個(gè)ns之內(nèi)，而銫鐘在幾個(gè)ns到數(shù)十ns之間。而在中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)中，隨著預(yù)報(bào)時(shí)間的增加，由于預(yù)報(bào)結(jié)果誤差的不斷累積，該模型預(yù)報(bào)結(jié)果的精度和穩(wěn)定性迅速下降。因此，不宜采用該模型進(jìn)行鐘差的中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)。②由各表中6顆衛(wèi)星的預(yù)報(bào)結(jié)果統(tǒng)計(jì)值可知，QP模型進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)時(shí)，其精度和穩(wěn)定性隨著星載原子鐘種類的不同而變化。

2）分析6個(gè)表中SA 模型對(duì)應(yīng)列的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出：①由于SA 模型較好地?cái)M合了星載原子鐘的周期項(xiàng)部分，因此，整體上使用SA 模型進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)能夠得到較QP 模型更好的預(yù)報(bào)結(jié)果，預(yù)報(bào)精度和預(yù)報(bào)結(jié)果的穩(wěn)定性均有一定程度的提高。而從表1～3中PRN10和PRN29的預(yù)報(bào)結(jié)果統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，此時(shí)QP 模型的預(yù)報(bào)效果均優(yōu)于SA 模型的預(yù)報(bào)效果，說(shuō)明在建模鐘差數(shù)據(jù)相對(duì)較少的情況下，該模型還存在周期確定不準(zhǔn)而導(dǎo)致預(yù)報(bào)效果不如QP 模型的現(xiàn)象。同時(shí)，在鐘差的短期預(yù)報(bào)中，其預(yù)報(bào)結(jié)果的精度、穩(wěn)定性與QP模型相當(dāng)。長(zhǎng)期預(yù)報(bào)中由于受到二次多項(xiàng)式主項(xiàng)的影響，隨著預(yù)報(bào)時(shí)間的增加，模型的預(yù)報(bào)誤差迅速增加，但預(yù)報(bào)效果優(yōu)于QP 模型。②由各表中6顆衛(wèi)星的預(yù)報(bào)結(jié)果統(tǒng)計(jì)可知，該模型進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)時(shí)，其精度和穩(wěn)定性隨著星載原子鐘的不同而變化。

表1 方案一中5種模型1d預(yù)報(bào)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)Tab.1 Statistics of prediction results for five models in 1day on the case ones

表2 方案一中5種模型15d預(yù)報(bào)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)Tab.2 Statistics of prediction results for five models in 15day on the case one

表3 方案一中5種模型60d預(yù)報(bào)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)Tab.3 Statistics of prediction results for five models in 60day on the case one

表4 方案二中5種模型1d預(yù)報(bào)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)Tab.4 Statistics of prediction results for five models in 1day on the case two

3）分析6個(gè)表中GM（1，1）模型對(duì)應(yīng)列的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出：①與其他4 種模型相比，GM（1，1）模型較為顯著的特點(diǎn)是整體上對(duì)于鐘差的中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)其預(yù)報(bào)效果較好，隨著預(yù)報(bào)時(shí)間的增加其預(yù)報(bào)誤差的增長(zhǎng)較為緩慢，但預(yù)報(bào)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)較大的誤差，例如表3、6中PRN01衛(wèi)星的長(zhǎng)期預(yù)報(bào)。同時(shí)可以看出，GM（1，1）模型在使用試驗(yàn)所給時(shí)間段的鐘差數(shù)據(jù)時(shí)，其短期預(yù)報(bào)結(jié)果的精度和穩(wěn)定性與QP 模型和SA 模型相當(dāng)。所以，GM（1，1）模型不但可用于鐘差的短期預(yù)報(bào)，而且比較適合用來(lái)進(jìn)行鐘差的中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)。②由各表中6顆衛(wèi)星的預(yù)報(bào)結(jié)果統(tǒng)計(jì)可知，該模型進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)時(shí)，鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果的精度和穩(wěn)定性隨著星載原子鐘的不同而不同。

表5 方案二中5種模型15d預(yù)報(bào)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)Tab.5 Statistics of prediction results for five models in 15day on the case two

表6 方案二中5種模型60d預(yù)報(bào)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)Tab.6 Statistics of prediction results for five models in 60day on the case two

4）分析6個(gè)表中ARIMA（p，d，q）模型對(duì)應(yīng)列的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出：①該模型在鐘差的短期預(yù)報(bào)中能夠得到與前面3 種模型相當(dāng)?shù)念A(yù)報(bào)結(jié)果；而在鐘差的長(zhǎng)期預(yù)報(bào)中，由于一次差分后的鐘差數(shù)據(jù)并不是一個(gè)絕對(duì)平穩(wěn)的時(shí)間序列，隨著預(yù)報(bào)時(shí)間的增加，誤差累積量急劇增加，所以這種方法并不適合鐘差的長(zhǎng)期預(yù)報(bào)。②由各表中6顆衛(wèi)星的預(yù)報(bào)結(jié)果統(tǒng)計(jì)值可知，該模型進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)時(shí)，不同的衛(wèi)星其鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果差異較大，這也說(shuō)明了ARIMA（p，d，q）模型由于模型識(shí)別和階數(shù)確定較為困難，預(yù)報(bào)結(jié)果的穩(wěn)定性不好。

5）分析6個(gè)表中KF模型對(duì)應(yīng)列的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出：①?gòu)谋?、4可知，KF 模型利用1d的鐘差數(shù)據(jù)建模進(jìn)行短期預(yù)報(bào)時(shí)，預(yù)報(bào)結(jié)果的精度和穩(wěn)定性與前4種模型相當(dāng)。對(duì)比表1～3和表4～6可知，該模型進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)報(bào)時(shí)，一方面由于歷史數(shù)據(jù)對(duì)濾波預(yù)報(bào)值的影響較大，初始數(shù)據(jù)的誤差會(huì)被放大得越來(lái)越嚴(yán)重；另一方面濾波引入的系統(tǒng)狀態(tài)方程雖然能有效顧及擬合精度，但其確定整體模型的精度較差，從而使得6顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)結(jié)果的精度和穩(wěn)定性都隨著預(yù)報(bào)時(shí)間的增加而變差。②由各表中6 顆衛(wèi)星的預(yù)報(bào)結(jié)果統(tǒng)計(jì)可知，使用KF模型進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)時(shí)，其精度和穩(wěn)定性隨著星載原子鐘的不同而變化。

6）分析6個(gè)表中銣鐘鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果的平均值可看出，對(duì)于銣鐘的短期預(yù)報(bào)，5種常用預(yù)報(bào)模型預(yù)報(bào)精度和穩(wěn)定性基本相當(dāng)，預(yù)報(bào)精度的平均值為ns量級(jí)。對(duì)比6個(gè)表中最后一列各顆衛(wèi)星使用5種模型進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)時(shí)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果平均值可知，相同預(yù)報(bào)條件下，不同種類的星載原子鐘其鐘差預(yù)報(bào)效果不同。同時(shí)，各模型預(yù)報(bào)效果隨著原子鐘類型的變化而不同。而對(duì)比各表最后一列中“銫鐘的均值”與“銣鐘的均值”可知，對(duì)于GPS系統(tǒng)衛(wèi)星鐘的預(yù)報(bào)，其星載銣原子鐘的預(yù)報(bào)效果整體上優(yōu)于銫原子鐘。

7）對(duì)比表1、4，2、5和3、6可以看出，在鐘差建模數(shù)據(jù)充足的條件下，由于SA 模型的周期函數(shù)根據(jù)較長(zhǎng)的鐘差序列得到了更可靠的確定，因此，其預(yù)報(bào)效果較QP模型有了改善；而該條件下這兩種模型的預(yù)報(bào)效果優(yōu)于GM（1，1）模型。根據(jù)6個(gè)表中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可知，5種模型在兩種數(shù)據(jù)方案下，GM（1，1）模型的預(yù)報(bào)結(jié)果最為穩(wěn)定，ARIMA 模型的預(yù)報(bào)結(jié)果隨著建模鐘差數(shù)據(jù)量及預(yù)報(bào)條件的不同而變化較大，QP、SA、ARIMA、KF 4種模型能夠通過(guò)增加建模鐘差數(shù)據(jù)量來(lái)改善模型的預(yù)報(bào)性能，特別是對(duì)于前3種模型的中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)。對(duì)于GM（1，1）模型，增加鐘差建模數(shù)據(jù)使得短期預(yù)報(bào)結(jié)果的精度和穩(wěn)定性均變差，也不能明顯改善中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)效果。造成該現(xiàn)象的主要原因是對(duì)于GPS衛(wèi)星鐘差短期預(yù)報(bào)，該模型的指數(shù)系數(shù)是只與歷元個(gè)數(shù)有關(guān)的函數(shù)，不同的建模鐘差數(shù)據(jù)量會(huì)產(chǎn)生差異較大的預(yù)報(bào)結(jié)果。

2 結(jié) 語(yǔ)

1）QP模型具有建模簡(jiǎn)單、物理意義明確、短期預(yù)報(bào)效果好等優(yōu)點(diǎn)，存在的不足是預(yù)報(bào)精度隨著預(yù)報(bào)時(shí)間的增加而迅速變差。

2）SA 模型能夠一定程度上顧及鐘差的周期性變化部分，得到更為精確的鐘差預(yù)報(bào)值；但該模型的周期函數(shù)要根據(jù)較長(zhǎng)的鐘差序列才能更可靠地確定，同時(shí)該模型的建立較QP模型更復(fù)雜。

3）GM（1，1）模型不但短期預(yù)報(bào)效果好且比較適合進(jìn)行鐘差的長(zhǎng)期預(yù)報(bào)，存在的不足是模型的指數(shù)系數(shù)是與歷元個(gè)數(shù)有關(guān)的函數(shù)，不同的建模鐘差數(shù)據(jù)量會(huì)產(chǎn)生差異較大的預(yù)報(bào)結(jié)果；同時(shí)，還存在有時(shí)會(huì)出現(xiàn)較大預(yù)報(bào)誤差的現(xiàn)象。

4）ARIMA 模型在鐘差的短期預(yù)報(bào)中能取得較好的預(yù)報(bào)結(jié)果，但不適合鐘差的長(zhǎng)期預(yù)報(bào)；同時(shí)，該模型的預(yù)報(bào)效果會(huì)隨著星載原子鐘類型的不同和預(yù)報(bào)條件的變化而產(chǎn)生較大差異。

5）KF模型的優(yōu)點(diǎn)是不僅能夠預(yù)報(bào)鐘差值還能實(shí)時(shí)求解出鐘差、鐘速和鐘漂3個(gè)表征星鐘特性的物理參數(shù)；但該模型的預(yù)報(bào)效果與先驗(yàn)信息認(rèn)知程度等密切相關(guān)，通常難以較好地獲取這些信息。該模型鐘差短期預(yù)報(bào)效果較好，特別是在建模數(shù)據(jù)充足的條件下；但其鐘差長(zhǎng)期預(yù)報(bào)的效果較差，因此，不適合用來(lái)進(jìn)行鐘差的長(zhǎng)期預(yù)報(bào)。

6）對(duì)于GPS系統(tǒng)，其星載銣鐘的預(yù)報(bào)效果整體上優(yōu)于星載銫鐘。同時(shí)，在5種常用鐘差預(yù)報(bào)模型中，QP模型和GM（1，1）模型較為簡(jiǎn)單，而且具有較好的預(yù)報(bào)效果。

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