周建華

（贛州師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)系，江西 贛州 341000 ）

PBL教學(xué)模式在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

周建華

（贛州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)系，江西 贛州 341000 ）

高等數(shù)學(xué)內(nèi)容抽象難懂，利用傳統(tǒng)的教學(xué)模式難以達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果。為了使學(xué)生更容易學(xué)習(xí)并掌握高等數(shù)學(xué)的“三基”，就必須用形象、直觀的方式演繹抽象的數(shù)學(xué)概念。PBL教學(xué)模式以問(wèn)題為核心，以學(xué)生為主體，強(qiáng)調(diào)團(tuán)隊(duì)協(xié)作?；诖?，對(duì)PBL教學(xué)模式在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了探討。

PBL；教學(xué)模式；高等數(shù)學(xué)；應(yīng)用

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家Saunder Maclane曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，理解數(shù)學(xué)的步驟應(yīng)該是：直覺→探試→出錯(cuò)→思考→猜想→證明，而我國(guó)大部分?jǐn)?shù)學(xué)課堂推崇的模式是：課堂講授→記憶→測(cè)驗(yàn)［1］。高等數(shù)學(xué)是理科生必修的基礎(chǔ)課，其教學(xué)目標(biāo)是：使學(xué)生掌握高等數(shù)學(xué)的基本理論和基本方法，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性邏輯思維，并提升學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析、研究和處理的能力。但是，我們現(xiàn)行的教學(xué)模式（課堂講授→記憶→測(cè)驗(yàn)）是以保證“三基”（基本概念、基本理論、基本方法）為中心，忽視了數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)活動(dòng)（包括創(chuàng)造和再創(chuàng)造）的產(chǎn)物。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)用這種傳統(tǒng)的教學(xué)模式，不能有效實(shí)現(xiàn)其教學(xué)目標(biāo)，而是培養(yǎng)了一批上課不思考，下課不看書，只滿足于考試不掛科的“懶”學(xué)生［2］。通過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入PBL教學(xué)，發(fā)揮PBL教學(xué)模式的優(yōu)勢(shì)，能有效提高教學(xué)效果。

1.PBL教學(xué)模式的概念

PBL（Problem-Based Learning，基于問(wèn)題的教學(xué)模式）教學(xué)模式是由美國(guó)神經(jīng)病學(xué)教授 Howard Barrows于1969年首創(chuàng)，近年比較流行并備受關(guān)注的一種教學(xué)模式。傳統(tǒng)的教學(xué)模式以學(xué)科為基礎(chǔ)，以教師為中心，對(duì)學(xué)生進(jìn)行灌輸式教學(xué)。PBL教學(xué)模式則以學(xué)生為主體，教師提供指導(dǎo)，圍繞“問(wèn)題”合理創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，讓學(xué)生開展分組學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)團(tuán)隊(duì)協(xié)作，學(xué)生通過(guò)協(xié)作交流分析、研究、解決實(shí)際問(wèn)題，加深對(duì)“三基”的理解與掌握。這樣的教學(xué)模式，能有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性邏輯思維，也能培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作的意識(shí)。

筆者經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)了將PBL 教學(xué)模式應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)教學(xué)的四個(gè)教學(xué)步驟：課前預(yù)習(xí)，加強(qiáng)指導(dǎo)；創(chuàng)設(shè)情景，提出問(wèn)題；啟發(fā)思考，分組探究；協(xié)作交流，總結(jié)反饋。

2.PBL教學(xué)模式的優(yōu)勢(shì)

2.1.教學(xué)內(nèi)容以問(wèn)題為核心，有利于課程教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)

在PBL教學(xué)模式中，將問(wèn)題作為教學(xué)內(nèi)容的核心。教師通過(guò)提出問(wèn)題引導(dǎo)教學(xué)，學(xué)生通過(guò)解決問(wèn)題而獲取知識(shí)。在學(xué)生自主解決問(wèn)題的過(guò)程中，鞏固了對(duì)“三基”的理解與掌握，通過(guò)不斷地發(fā)現(xiàn)和解答新問(wèn)題來(lái)提高綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力。PBL這種以“問(wèn)題”為核心的教學(xué)模式，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的熱情，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，順利實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)。

2.2.教學(xué)活動(dòng)以學(xué)生為主體，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高

PBL教學(xué)模式充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，既可以為學(xué)生營(yíng)造輕松、主動(dòng)的學(xué)習(xí)氣氛，還可以讓學(xué)生充分表達(dá)自己的觀點(diǎn)。這種積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)，不僅能讓學(xué)生更好地理解并掌握“三基”，還能讓學(xué)生提高各方面的能力，比如：搜索查閱文獻(xiàn)資料的能力、歸納總結(jié)的能力、推理分析的能力、協(xié)作交流的能力、深入研究的能力、自主學(xué)習(xí)的能力等。

2.3.強(qiáng)調(diào)協(xié)作交流，有利于學(xué)生團(tuán)隊(duì)意識(shí)的培養(yǎng)

在引入PBL 教學(xué)模式的高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，分組學(xué)習(xí)、相互交流和協(xié)作是教學(xué)過(guò)程中非常重要的一個(gè)組成部分。每組學(xué)生從各種角度、各個(gè)方面分析問(wèn)題，最后協(xié)同解決問(wèn)題；在各小組中，每個(gè)學(xué)生積極主動(dòng)地參與小組活動(dòng)，相互交流、相互學(xué)習(xí)，共同努力解決問(wèn)題。這樣的教學(xué)模式不僅增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，還提高了學(xué)生溝通協(xié)作的能力，有利于促進(jìn)學(xué)生團(tuán)隊(duì)精神的形成。

3.PBL教學(xué)模式的應(yīng)用舉例

部分學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)比較薄弱，對(duì)高等數(shù)學(xué)中有關(guān)概念、知識(shí)的理解比較困難。為了使學(xué)生更容易學(xué)習(xí)并掌握高等數(shù)學(xué)的“三基”，就必須用形象、直觀的方式演繹抽象的數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生不再“怕數(shù)學(xué)”，重拾學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與信心，才能順利地開展教學(xué)活動(dòng)。利用PBL模式，合理創(chuàng)設(shè)與數(shù)學(xué)概念緊密聯(lián)系的教學(xué)情境，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)源于生活，數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)活動(dòng)（包括創(chuàng)造和再創(chuàng)造）的產(chǎn)物。本文以不定積分的教學(xué)為例進(jìn)行說(shuō)明。

3.1.課前預(yù)習(xí)，加強(qiáng)指導(dǎo)

在講授不定積分的知識(shí)之前，讓同學(xué)們課前預(yù)習(xí)并思考三個(gè)問(wèn)題：第一，什么是逆運(yùn)算？第二，我們所學(xué)的運(yùn)算中哪些是逆運(yùn)算？第三，導(dǎo)數(shù)在生活中有哪些應(yīng)用，請(qǐng)以實(shí)際例子說(shuō)明？老師需加以指導(dǎo)，學(xué)生應(yīng)認(rèn)真查閱資料，認(rèn)真預(yù)習(xí)，認(rèn)真思考。

3.2.創(chuàng)設(shè)情景，提出問(wèn)題

在導(dǎo)入不定積分之前，首先需要讓學(xué)生明白很多的運(yùn)算都是有逆運(yùn)算的，引導(dǎo)學(xué)生解答課前預(yù)習(xí)問(wèn)題：什么是逆運(yùn)算？我們學(xué)過(guò)哪些逆運(yùn)算？然后進(jìn)一步提出：不定積分與微分之間就是互為逆運(yùn)算的關(guān)系。而不定積分就是微分的逆運(yùn)算，不定積分的意義就是已知某一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分，求解該函數(shù)。即：已知F′（x）=f（x）或dF（x）=f（x） dx，求F（x）。

怎么理解微分或者導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算？首先引導(dǎo)學(xué)生解答課前預(yù)習(xí)的第三個(gè)問(wèn)題：導(dǎo)數(shù)在生活中有哪些應(yīng)用？然后教師結(jié)合學(xué)生的作答，提出以下兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題。

（1）由導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，假設(shè)已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s（t），可求得物體在某一時(shí)刻t的瞬時(shí)速度是v（t）= s′（t）?，F(xiàn)提出相反問(wèn)題，設(shè)已知物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度 v（t），如何求物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律 s（t）？

（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，假設(shè)已知某曲線的表達(dá)式為y=f（x），則可求得這條曲線上任一點(diǎn)（x，y）處的切線的斜率為 k（x）=f′（x）。反之，假設(shè)已知某曲線上任一點(diǎn)（x，y）處切線斜率為 k（x），如何求解這條曲線的表達(dá)式f（x）？

3.3.啟發(fā)思考，分組探究

將以上兩個(gè)例子中的具體含義去掉，找出它們共同的數(shù)學(xué)含義，即為已知某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)求它原來(lái)的函數(shù)——原函數(shù)。這就與求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算剛好相反，即“逆運(yùn)算”，也就是說(shuō)不定積分就是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，進(jìn)而涉及到原函數(shù)的定義：如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F（x）的導(dǎo)數(shù)為f（x），即?x∈I，都有F′（x）= f（x）或dF（x）=f（x） dx，那么函數(shù)F（x）就稱為f（x）在區(qū)間I上的原函數(shù)。

以小組形式，利用F′（x）=f（x），求函數(shù)f（x）的原函數(shù)F（x），分別運(yùn)算、求證 2～3個(gè)實(shí)例，比如：因?yàn)椋▁3+2x）′=3x2+2，所以3x2+2的原函數(shù)是x3+2x。引導(dǎo)學(xué)生分小組做以下探索學(xué)習(xí)：

（1）f（x）的原函數(shù)是否只有一個(gè)？

（2）若f（x）的原函數(shù)有兩個(gè)或兩個(gè)以上，那么這些原函數(shù)之間有什么聯(lián)系？

若F′（x）=f（x），則（F（x）+C）′=f（x）（其中C為任意常數(shù)）。所以由上述定義可知，F(xiàn)（x）+C也可稱為f（x）在區(qū)間I的原函數(shù)。又因?yàn)镃為任意常數(shù)，所以f（x）有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)。并且，若F（x）和Φ（x）都是f（x）的原函數(shù)，則（Φ（x）-F（x））′=Φ′（x）-F′（x ）=0，而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，所以Φ（x）-F（x）=C ，即Φ（x）=F（x）+C。綜上所述，函數(shù)f（x）的全體原函數(shù)是F（x）+C。

3.4.協(xié)作交流，總結(jié)反饋

由于每個(gè)學(xué)生思維能力和知識(shí)水平不盡相同，學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)也會(huì)存在差異，有些認(rèn)識(shí)甚至可能是錯(cuò)誤的。因而組員之間的溝通、交流與協(xié)作更為重要。通過(guò)組員間的交流與探討，分享學(xué)習(xí)心得，有效地利用所學(xué)知識(shí)分析、解決問(wèn)題。這樣就極大地發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動(dòng)性，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維和團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神，提升了他們靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析、研究、處理的能力，促進(jìn)了學(xué)生團(tuán)隊(duì)精神的形成。

在完成自主探索之后，同學(xué)間通過(guò)自由交流，進(jìn)一步深刻體會(huì)并熟練掌握不定積分的概念，理解不定積分的數(shù)學(xué)含義。通過(guò)總結(jié)，“不定積分”的定義也躍然而出。通過(guò)這樣比較自然又富有邏輯的講解，學(xué)生在非常輕松的狀態(tài)下接受了一個(gè)非常重要的新的數(shù)學(xué)概念。這給求解不定積分打下了良好的基礎(chǔ)，也為學(xué)習(xí)定積分奠定了基礎(chǔ)。

4.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入PBL教學(xué)模式的要求

4.1.對(duì)教師的要求

PBL教學(xué)模式是一種開放式的教學(xué)模式，要求教師在對(duì)專業(yè)知識(shí)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)技巧熟練掌握的同時(shí)，還要牢固把握有關(guān)學(xué)科的基本理論，要具有應(yīng)對(duì)問(wèn)題、處理問(wèn)題的技能，靈活利用有關(guān)知識(shí)的技能及縝密思考管理團(tuán)隊(duì)的技能。此外，教師要善于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，并合理把控課堂節(jié)奏，引導(dǎo)學(xué)生在輕松愉快的教學(xué)環(huán)境中實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。

4.2.對(duì)學(xué)生的要求

PBL教學(xué)模式的順利進(jìn)行需要學(xué)生的積極配合：在教師的引導(dǎo)下，從問(wèn)題出發(fā)，搜索查閱文獻(xiàn)資料，推理分析、協(xié)作交流、歸納總結(jié)有關(guān)觀點(diǎn)，通過(guò)自主學(xué)習(xí)、深入研究、齊心協(xié)力獲得最佳結(jié)論。這種教學(xué)模式，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的自覺性。學(xué)生要依據(jù)自身情況，實(shí)現(xiàn)角色轉(zhuǎn)變，由被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)習(xí)。

5.結(jié)束語(yǔ)

PBL教學(xué)模式以問(wèn)題為核心，以學(xué)生為主體，強(qiáng)調(diào)團(tuán)隊(duì)協(xié)作。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入PBL教學(xué)模式，不但可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，還可以發(fā)展他們的創(chuàng)造性邏輯思維，并提升他們靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析、研究、處理的能力。這種教學(xué)模式應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于課程教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，有利于學(xué)生學(xué)能力的提高，有利于學(xué)生團(tuán)隊(duì)意識(shí)的培養(yǎng)。在教學(xué)實(shí)踐中，要從實(shí)際情況出發(fā)，將PBL教學(xué)模式與相應(yīng)教學(xué)方法相結(jié)合，積極地探索和創(chuàng)新，讓學(xué)生嘗試用“直覺→探試→出錯(cuò)→思考→猜想→證明”的步驟理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

［1］周建華，劉智.Mathematica軟件在無(wú)窮級(jí)數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.西昌學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，3（1）：120-123.

［2］景慧麗，王正元，趙偉舟，等.基于教學(xué)法的學(xué)員創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)研究［J］.河北教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，3（1）：60-63.

［3］劉冬，馬秀峰.論P(yáng)BL教學(xué)模式在信息技術(shù)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.軟件導(dǎo)刊，2008，3（5）：17-18.

［4］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué) ［M］.第五版.北京：高等教育出版社，2002.

［5］周建華，劉功偉.論數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透［J］.保山師專學(xué)報(bào)，2008，3（2）：18-21.

［6］馮阿芳.PBL在編譯原理課程教學(xué)中的應(yīng)用研究［J］.哈爾濱職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，8，（4）：94.

［7］顧海波，毛志.談文科高等數(shù)學(xué)中定積分定義的教學(xué)［J］.銅仁學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，15（3）：139-141.

The Application of PBL in Advanced Mathematics Teaching

ZHOU Jianhua
（Ganzhou Teachers College，GanZhou，Jiangxi 341004，China ）

"Advanced mathematics" is difficult to achieve the expected teaching effect by using the traditional teaching mode. In order to make it easier for students to study and master the "Advanced Mathematics" of the "Three Basics"，it is necessary to use image，intuitive way of deductive abstract mathematical concepts. PBL teaching mode is a problem-based，student-center teaching method by emphasizing teamwork. Therefore，the paper discussed the application of PBL teaching mode in the Advanced Mathematics teaching.

PBL，teaching mode，Advanced Mathematics，application

G642.0

A

1673-9639 （2015） 04-0185-03

（責(zé)任編輯 毛志）（責(zé)任校對(duì) 徐松金）（英文編輯 田興斌）

2015-06-07

周建華（1985-），男，江西永新人，講師，碩士，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育的教學(xué)與研究。