魏 靜， 葛世剛， 劉海生， 倉(cāng)定幫

(華北科技學(xué)院 基礎(chǔ)部 河北 三河 065201)

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帶干擾的多險(xiǎn)種復(fù)合負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率

魏 靜， 葛世剛， 劉海生， 倉(cāng)定幫

(華北科技學(xué)院 基礎(chǔ)部 河北 三河 065201)

考慮到投保集體的非同質(zhì)性，建立了保費(fèi)收取和賠付為負(fù)二項(xiàng)過程、干擾為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程的多險(xiǎn)種隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)模型，通過分析盈余過程的性質(zhì)，得到終極破產(chǎn)概率公式和破產(chǎn)概率上界的Lundberg不等式.

多險(xiǎn)種； 干擾； 負(fù)二項(xiàng)過程； 破產(chǎn)概率

0 引言

經(jīng)典的風(fēng)險(xiǎn)模型及其推廣[1-3]只考慮了單一險(xiǎn)種的破產(chǎn)問題，但在實(shí)際的保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，險(xiǎn)種往往不是單一的，隨著風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大及風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)險(xiǎn)種的多樣化,建立多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型比單一險(xiǎn)種更加符合客觀實(shí)際.近年來，有學(xué)者研究了多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率.文獻(xiàn)[4]將經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型推廣為雙險(xiǎn)種負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型,考慮保費(fèi)收取次數(shù)服從參數(shù)為pi的負(fù)二項(xiàng)分布且與理賠過程相互獨(dú)立,得到了推廣后模型的破產(chǎn)概率.文獻(xiàn)[5]建立了帶干擾的雙險(xiǎn)種Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型，并在理賠額服從指數(shù)分布下研究了破產(chǎn)概率的具體表達(dá)式.文獻(xiàn)[6]研究了帶干擾的多險(xiǎn)種二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型，通過分析盈余過程的性質(zhì)，得到了破產(chǎn)概率的表達(dá)式及Lundberg上界.文獻(xiàn)[7]針對(duì)帶干擾的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，分析了險(xiǎn)種間的相關(guān)性對(duì)調(diào)節(jié)系數(shù)的影響.

考慮到在實(shí)際的經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)中，保費(fèi)收取次數(shù)的期望和方差不一定相等，本文建立了保費(fèi)收取次數(shù)和理賠次數(shù)均服從負(fù)二項(xiàng)分布、干擾為標(biāo)準(zhǔn)Wiener運(yùn)動(dòng)的多險(xiǎn)種隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)模型，通過分析盈余過程的性質(zhì)，得到終極破產(chǎn)概率公式和破產(chǎn)概率上界的Lundberg不等式，推廣了文獻(xiàn)[4-8]的結(jié)論.

1 干擾影響下的多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型

由定義1可知，負(fù)二項(xiàng)分布的方差大于期望.考慮到在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，投保集體存在一定的非同質(zhì)性，比如對(duì)于疾病保險(xiǎn)來說，身體不好的人需要賠付的次數(shù)會(huì)多，而對(duì)于身體健壯的人，理賠則很少，這就會(huì)導(dǎo)致理賠次數(shù)的方差大于期望.鑒于此，本文考慮投保次數(shù)和理賠次數(shù)均服從負(fù)二項(xiàng)分布，建立帶干擾的多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，

(1)

Yki為第k類保單第i次的理賠額，i=1,2,…，k=1,2,…,n，

(2)

2 盈利過程{S(t),t≥0}的性質(zhì)

引理1盈利過程{S(t),t≥0}具有平穩(wěn)獨(dú)立增量.

證明由負(fù)二項(xiàng)過程和Wiener過程的平穩(wěn)獨(dú)立增量性及模型的獨(dú)立性假設(shè)即可得證.

引理2

3 破產(chǎn)概率

定理1對(duì)于盈利過程{S(t),t≥0}，存在函數(shù)g(r)，使得E(exp(-rS(t)))=exp(tg(r))，并且方程g(r)=0在(0,r),r>0上存在唯一正解R∈(0,r)，稱R為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明

其中MXk(-r)=E(exp(-rXk))為第k類保單的保費(fèi){Xki}的拉普拉斯變換，MYk(r)=E(exp(rYk))為第k類保單的理賠額{Yki}的矩母函數(shù).

定理2本文所建立的多險(xiǎn)種隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)模型(1)的最終破產(chǎn)概率為

證明對(duì)于t>0和r>0，有

E[exp(-rU(t))]=exp(-ru)E[exp(-rS(t))]，

取r=R，則E[exp(-RU(t))]=exp(-Ru)exp(tg(R))=exp(-Ru)，由條件期望公式可得

(3)

對(duì)于給定的T

U(t)=U(T)+U(t)-U(T)=U(T)+S(t)-S(T)，

而{S(t)}具有平穩(wěn)獨(dú)立增量，所以U(t)=U(t)+S(t-T),

,

下證(3)式右端第二項(xiàng)為0，令

(4)

由切比雪夫不等式，得

當(dāng)t→∞時(shí)，(4)式→0.

推論1隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)模型(1)的終極破產(chǎn)概率上界滿足Lundberg不等式ψ(u)

4 結(jié)論

本文對(duì)經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了如下推廣：

1) 本文的模型考慮了n個(gè)相互獨(dú)立的險(xiǎn)種，更具一般性；

2) 考慮到實(shí)際保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中，保費(fèi)收取次數(shù)的期望和方差不一定相等，引入更加符合實(shí)際的負(fù)二項(xiàng)過程；

3) 在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的大環(huán)境下，考慮到各種市場(chǎng)因素的影響，加入了干擾條件；

4) 通過對(duì)盈余過程性質(zhì)的分析，得出了破產(chǎn)概率的表達(dá)式和Lundberg上界，所得結(jié)論與經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型一致，證明了結(jié)果的正確性.

[1] Jan Grandell.Aspects of Risk Theory[M]．New York: Springer-Verlag,1991：152-168．

[2] Feller W．An Introduction to Probability Theory and its Application[M]．New York:John Wiley & Sons，1970：10-156．

[3] 龔日朝，楊向群．復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2001，18(2)：38-42．

[4] 陳貴磊，張相虎，邊平勇．帶干擾的保費(fèi)隨機(jī)收取的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型[J]．經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2011，28(1)：68-70．

[5] 贠小青．帶干擾的泊松風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率及推廣[J]．統(tǒng)計(jì)與決策，2013(1)：18-21．

[6] 劉超，王永茂，顏靈,等．帶干擾的多險(xiǎn)種二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J]．鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2012，44(1)：46-49．

[7] 王漢芹，金燕生，劉媛媛．險(xiǎn)種間的相關(guān)性對(duì)調(diào)節(jié)系數(shù)的影響[J]．鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2013，45(3)：24-27．

[8] 陳鳳麗，施齊焉．一類雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率研究[J]．福州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，40(4)：449-452．

[9] 汪嘉岡．現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)[M]．上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2005：94-185．

[10]謝志剛，韓天雄．風(fēng)險(xiǎn)理論與非壽險(xiǎn)精算[M]．天津：南開大學(xué)出版社，2000：121-187．

(責(zé)任編輯：王?？?

Ruin Probability for Negative Binomial Multi-type Insurance Risk Model with Interference

WEI Jing， GE Shi-gang， LIU Hai-sheng， CANG Ding-bang

(DepartmentofBasicCourse,NorthChinaInstituteofScienceandTechnology,Sanhe065201,China)

Considering the non-homogeneity of the policyholders, a multi-type insurance risk model, disturbed by standard Wiener movement, was established with the premium frequency and the claim frequency being negative binomial stochastic series. Through analyzing the properties of the surplus process, the ultimate ruin probability and the Lundberg inequality formula of upper bound for ruin probability were obtained.

multi-type insurance； interference； negative binomial process； ruin probability

2015-01-12

河北省高等學(xué)校科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目，編號(hào)Z2014032；華北科技學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科資助項(xiàng)目，編號(hào)HKXJZD201402；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目，編號(hào)3142013025, 3142013023, 3142014039, 3142014127.

魏靜 (1980-)，女，河北邢臺(tái)人，講師，碩士，主要從事保險(xiǎn)精算研究，E-mail：weijing_jcb@ncist.edu.cn．

魏靜，葛世剛，劉海生，等.帶干擾的多險(xiǎn)種復(fù)合負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2015,47(2)：33-36.

O211.6

A

1671-6841(2015)02-0033-04

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.02.007