孟凡康，于 航

（1.同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海201804；2.遼寧工程技術(shù)大學(xué)建筑工程學(xué)院，遼寧阜新123000）

第3類邊界條件下1維平板對流融化過程的量綱一分階段求解

孟凡康1，2，于 航1

（1.同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海201804；2.遼寧工程技術(shù)大學(xué)建筑工程學(xué)院，遼寧阜新123000）

為了研究平板融化各個(gè)傳熱階段的特性，以第3類邊界條件下1維有限厚度平板對流融化過程為研究對象，同時(shí)考慮融化后的相變材料被周圍流體及時(shí)帶走，把傳熱過程分成3個(gè)階段，分別建立了傳熱計(jì)算模型，并采用3次多項(xiàng)式熱平衡積分方法對各階段進(jìn)行近似求解.利用推導(dǎo)的計(jì)算方法，以Stefen數(shù)（Ste）、Biot數(shù)（Bi）及量綱一環(huán)境溫度為控制參數(shù)對相界面變化規(guī)律進(jìn)行了討論，結(jié)果表明：當(dāng)時(shí)，平板融化過程可以分為3個(gè)階段，相反，可以分為2個(gè)階段；在不同控制參數(shù)條件下，融化開始階段量綱一相界面位置與量綱一時(shí)間（т）變化率相對較小，而融化后期變化率較大，且近似呈線性關(guān)系；在其他控制參數(shù)不變的條件下，隨著Ste的增小，Bi或的增加，整個(gè)融化過程的總?cè)诨烤V一時(shí)間減小，且與т變化率增大.

1維平板；融化傳熱；分階段；熱平衡積分法；第3類邊界條件

固液相變問題在自然界和工業(yè)領(lǐng)域非常廣泛［1-4］.其中，外融冰蓄冰槽中水流直接沖刷冰體表面就是其中典型的固液相變問題.該問題屬于第3類邊界條件下的對流相變基礎(chǔ)科學(xué)問題.對于此類問題的研究有利于指導(dǎo)工程實(shí)際應(yīng)用.

相變問題的求解方法，可以分為精確解法和近似解法.目前精確求解方法只存在于一些模型和邊界條件都非常簡單的情況［5-7］.近似解法主要包括準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)法［8］、攝動(dòng)法［9］、熱阻法［10］、逐次逼近法［11］和多項(xiàng)式熱平衡積分法［1，12-14］等.采用多項(xiàng)式熱平衡積分方法是一種解決相變傳熱問題的典型方法. T.R.Goodman［12］利用2次多項(xiàng)式熱平衡積分法求解偏微分方程方法求解了幾個(gè)典型的1維相變問題，其中包括有限厚度平板凝固問題的近似解.C. D.Ho等［13］研究了空氣外掠半無限大冰層融化換熱問題，整個(gè)換熱過程分成了融化前和融化后2個(gè)階段，采用2次多項(xiàng)式熱平衡積分方法對冰層內(nèi)的溫度場進(jìn)行了近似求解.T.G.Myers等［14］采用3次多項(xiàng)式熱平衡積分方法，分別研究了1維有限厚度平板的相變問題和直接接觸相變問題［1］.文獻(xiàn)［14］中，平板兩側(cè)分別施加不同第3類邊界條件，按照融化過程傳熱特性，把相變過程分成4個(gè)階段.其研究對象是放置在空氣中的相變材料，即融化后的相變材料在表面形成一層液體傳熱層.文獻(xiàn)［1］中考慮的是直接接觸相變傳熱問題，把相變過程分成3個(gè)階段.文獻(xiàn)［1，14］均分階段推導(dǎo)了計(jì)算模型，同時(shí)驗(yàn)證了3次多項(xiàng)式熱平衡積分法相對于2次多項(xiàng)式、指數(shù)熱平衡積分法等具有更高的計(jì)算精度.

區(qū)別于已有文獻(xiàn)，筆者以第3類邊界條件下，1維有限厚度平板對流融化過程為研究對象，同時(shí)考慮融化后的相變材料被周圍流體及時(shí)帶走，按照平板內(nèi)部融化傳熱溫度變化規(guī)律，把傳熱過程分成3個(gè)階段，采用3次多項(xiàng)式熱平衡積分方法進(jìn)行近似求解.以Ste，Bi及為控制參數(shù)對相界面變化規(guī)律進(jìn)行討論.該方法具有形式簡單，方便編程的特點(diǎn)，且能夠從相變平板整個(gè)融化過程來分析各階段傳熱特征.

1 物理模型

研究對象如圖1所示，無限大平板厚度為H，平板的融點(diǎn)溫度為θm，環(huán)境溫度為θa，θa＞θm，對流換熱系數(shù)為h，平板的初始溫度為θ0，θ0＜θm，上部（z=H）絕熱.整個(gè)傳熱過程中，熱量由下部（z=0）環(huán)境通過對流換熱傳遞給平板內(nèi)部，從而使得內(nèi)部各點(diǎn)溫度上升.平板的導(dǎo)熱系數(shù)為λ，密度為ρ，融化潛熱為L，流體的導(dǎo)溫系數(shù)為a.

圖1 1維有限厚度平板模型

只討論如下情況：下部邊界開始融化時(shí)，溫度滲透深度還沒有達(dá)到上部邊界，即上部邊界溫度一直維持在初始溫度.按照融化時(shí)間順序，融化過程可以分為3個(gè)階段，如圖2所示.

圖2 對流融化過程3個(gè)階段溫度分布示意圖

第1階段（圖2a），即Phase1，從平板與外界環(huán)境之間開始傳熱為起點(diǎn)（t=0），下部邊界溫度達(dá)到融點(diǎn)溫度為終點(diǎn)（t=t1），此階段中溫度滲透深度為δ0，當(dāng)t=t1時(shí)，δ0＜H；第2階段，即Phase2（圖2b），從t1開始，到平板上部邊界溫度開始上升（t=t2）結(jié)束，此階段中溫度滲透深度為δ1，下部相界面的位置為H1，當(dāng)t=t2時(shí)，δ1=H；第3階段（圖3c），即Phase3，從t2開始，平板融化完畢（t=t3）結(jié)束，下部相界面的位置為H2.

2 求解過程

采用3次多項(xiàng)式熱平衡積分法對平板內(nèi)部溫度場進(jìn)行近似求解.溫度分布方程為

式中：A，B，C，δ（t）為4個(gè)未知數(shù)，下文將根據(jù)各個(gè)階段的具體條件分別求出.

2.1 Phase1階段分析

在本階段，平板還沒有融化.溫度滲透深度至平板上部邊界范圍內(nèi)（［δ0，H］），溫度維持θ0.當(dāng)下邊界的溫度達(dá)到θm時(shí)，該階段結(jié)束，時(shí)間為t=t1.

平板內(nèi)部導(dǎo)熱控制方程及其定解條件如下：

把方程（3）-（5）分別代入式（1）可得

平板內(nèi)溫度場可以表示為

對方程（2）在z∈［0，δ0（t）］進(jìn)行積分，可以獲得關(guān)于δ0（t）的方程：

方程（7）有顯式解如下：

當(dāng)該階段結(jié)束時(shí)t=t1，下邊界的溫度達(dá)到θm，根據(jù)方程（6），溫度滲透深度為

該階段結(jié)束時(shí)間t1可由方程（9）代入方程（8）獲得.

2.2 Phase2階段分析

在本階段，平板下部開始融化，下部邊界溫度維持在θm.溫度滲透深度至平板上部邊界范圍內(nèi)（［δ1，H］），在此階段同樣維持在初始溫度θ0不變.當(dāng)上邊界的溫度開始上升時(shí)，該階段結(jié)束，時(shí)間為t=t2.

由平板內(nèi)部導(dǎo)熱控制方程、邊界層能量方程及其定解條件如下：

方程（12）-（14）分別代入式（1）可得

從而平板內(nèi)溫度場可以表示為

對方程（10）在z∈［H1，δ1（t）］進(jìn)行積分，可得如下方程：

方程（11）可以表示為

經(jīng)過上面的轉(zhuǎn)換，方程（10），（11）轉(zhuǎn)化為易于求解的常微分方程（16），（17），其中包括2個(gè)待求函數(shù)H1和δ1（t）.

2.3 Phase3階段分析

以Phase2階段的結(jié)束時(shí)間t2為開始，以平板融化完全為結(jié)束t=t3.溫度滲透深度已經(jīng)達(dá)到上邊界H，上邊界的溫度不再維持在θ0，而是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)θn（t）.

平板內(nèi)部導(dǎo)熱控制方程，邊界層能量方程及其定解條件如下：

方程（20）-（22）分別代入式（1）可得

從而平板內(nèi)溫度場可以表示為

對方程（18）在z∈［H2，H］進(jìn)行積分，可得

方程（19）可以表示為

同樣經(jīng)過上面的轉(zhuǎn)換，方程（18）和（19）轉(zhuǎn)化為易于求解的常微分方程（24）和（25），其中包括2個(gè)待求函數(shù)H2和θn（t）.

引入量綱一方法有利于問題的研究［15］，對式（16），（17），（24）和（25）按下列各式分別進(jìn)行量綱歸一，進(jìn)而可以獲得形式簡單，便于編程的公式：

式中φ為顯熱量與總換熱量的比值.

式（26）-（29）所采用的數(shù)值求解方法，均采用顯式差分格式，并驗(yàn)證消除了量綱一時(shí)間對于求解結(jié)果的影響.

3 驗(yàn) 證

以第3類邊界條件下，1維有限厚度平板對流融化過程為研究對象，同時(shí)考慮了融化后的相變材料被周圍流體及時(shí)帶走，很難找到相同研究對象、相同定解條件的文獻(xiàn)，進(jìn)行整個(gè)融化過程的驗(yàn)證.但應(yīng)用文中的方法，平板厚度假設(shè)為無窮大，可以與文獻(xiàn)［13］中計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證Phase1和Phase2這2個(gè)階段的正確性.

采用文獻(xiàn)［13］中的計(jì)算參數(shù)：速度v=10 m· s-1，冰層長度L=20 m，冰層初始溫度θ0=-20℃，空氣溫度θa=30+5sin（πt/t0），t0=10 h，Num=

圖3為文中與文獻(xiàn)［13］計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證圖，表示量綱一融冰層厚度隨時(shí)間的變化，量綱一融冰層厚度為

式中：l為融化厚度；δl為溫度滲透距離.

圖3 文中與文獻(xiàn)［13］計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證圖

從圖3可以看出：2種方法計(jì)算的量綱一融化冰層厚度隨時(shí)間的變化規(guī)律相同，其最大相對誤差為4.8％.說明Phase1和Phase2這2個(gè)階段的計(jì)算方法是正確的.

4 分析與討論

在Phase1階段，由式（9）可得，當(dāng)H≤δ0（t1）=時(shí)，即溫度滲透深度已經(jīng)達(dá)到平板上部邊界，此時(shí)沒有Phase2階段，這種情況由于篇幅所限不予討論，可見是判別融化過程分為2個(gè)階段或者3個(gè)階段的依據(jù).

5 結(jié) 論

3）在其他控制參數(shù)不變的條件下，隨著Ste的增小，Bi或的增加，整個(gè)融化過程的總?cè)诨烤V一時(shí)間減小，且與т變化率增大.

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（責(zé)任編輯 賈國方）

M ultistage solving of one-dimensional platemelting convection process by dimensionlessmethod under third boundary condition

Meng Fankang1，2，Yu Hang1
（1.School of Mechanical and Energy Engineering，Tongji University，Shanghai 201804，China；2.School of Architecture Engineering，Liaoning Technical University，F(xiàn)uxin，Liaoning123000，China）

To investigate the characteristics of each melting heat transfer process of plate，the onedimensional convectivemelting process of a finite thickness layer was solved under the third boundary condition，and the phase change material was considered to be taken away by the surrounding fluid in time aftermelting.The heat transfer processwas divided into three stages，and calculation model of each heat transfer stage was built respectively.A cubic heat balance integralmethod was used to obtain the approximate solution of each stage.The changing regulation of phase interface was discussed with Stefen number（Ste），Biot number（Bi）and dimensionless temperature of environmenas control parameters.The results show that the platemelting process can be divided into 3 phases in the condition of Bion the contrary，it can be divided into 2 phases.For different control parameters，the changing rates of dimensionless position of the phase interfaceand dimensionless time（т）arerelatively small at the beginning ofmeltingwith big linear changing rate at latter stage.When other control parameters are unchanged，with the decreasing of Ste and increasing of Bi orthe total melting dimensionless time is decreased，while the change rates ofand т are increased.

one-dimensional plate；melting heat；multistage；heat balance integral method；third boundary condition

TK02

A

1671-7775（2015）05-0533-06

孟凡康，于 航.第3類邊界條件下1維平板對流融化過程的量綱一分階段求解［J］.江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015，36（5）：533-538.

10.3969/j.issn.1671-7775.2015.05.007

2014-12-22

世界銀行/全球環(huán)境基金資助項(xiàng)目（1-A-CS-014）

孟凡康（1979—），男，江蘇淮安人，博士研究生（mfk3999147@126.com），主要從事外融冰相界面移動(dòng)規(guī)律研究.

于 航（1963—），女，上海人，教授，博士生導(dǎo)師（yuhang@#edu.cn），主要從事蓄能和空調(diào)熱濕傳遞理論研究.