吳 偉，李 浩，孫傳勝，張國發(fā)

（1.中國電建集團 貴陽勘測設計研究院有限公司，貴州 貴陽 550081）

Helmert分類定權法在水準測量中的應用

吳 偉1，李 浩1，孫傳勝1，張國發(fā)1

（1.中國電建集團 貴陽勘測設計研究院有限公司，貴州 貴陽 550081）

針對傳統(tǒng)定權方法不能較好地顧及地形起伏對高差觀測誤差的影響這一問題，把整網(wǎng)水準觀測值分為按測站及距離定權，將Helmert方差分量估計方法應用于高差觀測值實測精度的水準網(wǎng)分類定權中，該方法能較合理地根據(jù)地形情況確定初始權陣、提高初始權精度、反映高程監(jiān)測網(wǎng)的實際狀況。結合算例，對該方法定權及平差效果進行了分析。

分類定權；偶然中誤差；方差一致性檢驗；Helmert方差分量估計

在水利水電工程中，精密水準測量已成為保障施工質量、監(jiān)測外部變形的重要手段，如何獲得高精度的平差結果以及合理的水準測量精度成為水準數(shù)據(jù)處理的關鍵問題[1]。通常情況下，對高程監(jiān)測網(wǎng)進行整體平差，要么整網(wǎng)按測站數(shù)定權，要么整網(wǎng)按水準路線長度定權，忽略了測段間地理環(huán)境的差異。水電工程大多處于深山峽谷地帶，測區(qū)環(huán)境復雜、落差大，不同區(qū)域每km或每測站的高差觀測精度都可能有較大的差異[2]，因此有必要對高差觀測值的權值按地域差異及觀測值類型分類考慮[3]。在處理不同類觀測值或不同精度觀測值權比確定不準的問題時，常用Helmert方差分量估計方法，它通過驗后方差協(xié)方差進行重新定權，不斷調整各類觀測值的權比，直至結果收斂[4]。

1 分類定權方法

水準測量的主要誤差有視準軸與水準管軸不平行的誤差、水準尺分劃誤差、水準尺傾斜誤差、調焦誤差、日照及風力引起的誤差、精平誤差和水準儀及水準尺下沉誤差等。顯然，在水準測量的每個測站都有可能引入這些誤差，且隨著視距的拉長，觀測誤差會增大。因此，高差測量的中誤差可表示為測站數(shù)N和水準路線長度S的增函數(shù)[3]：

式中，f表示某一統(tǒng)計函數(shù)關系。

定義統(tǒng)計量K0：

式中，N總為總測站數(shù)；S總為總路線長度（km）。同理，對于任意第i測段有統(tǒng)計量Ki：

K0為整體地形因子，對一個特定的水準網(wǎng)，它能反映水準測區(qū)的整體起伏狀況；Ki為第i測段的局部地形因子，它能反映單個測段的起伏狀況。

對于任意測段i、j，若Ki＜K0，按水準路線長度定權，即若Kj≥K0，按測站數(shù)定權，即

設水準測量中第i測段的往、返測高差是獨立等精度的，權均為Pi，往測高差為hi'，返測高差為hi"，往返測高差較差為di，則有[5]：

由此可得，高差較差的中誤差md為：

式中，n為測段數(shù)。由式（7），按誤差傳播定律求得單程（往測或返測）水準測量的高差中誤差m0為：

同理可得，往返測高差中數(shù)的偶然中誤差m0'為：

式中，Pi取值不同，m0'的意義不同。若側重考慮路線長度對高差觀測誤差的影響，則可取權Pi=1/Si。代入式（10），可得水準測量每km高差中數(shù)的偶然中誤差

若關心測站數(shù)對高差觀測精度的影響，則取Pi=1/Ni，代入式（10），可得水準測量每測站高差中數(shù)的偶然中誤差

2 Helmert方差分量估計方法

利用預平差的改正數(shù)V，按驗后估計各類觀測量驗前方差的方法，m類觀測值的Helmert估計公式為[6]：

式中，

其解為：

Helmert方差分量估計的迭代計算步驟如下：

1）將觀測值按等級或來源分類，并進行驗前權估計，即確定各類觀測值的權初值P1，P2，…，Pm。

3）進行第一次方差分量估計，求得各類觀測值單位權方差的第一次估值再依式（15）定權：

3 方差一致性檢驗

對平差模型的正確性檢驗，常用的方法是進行方差一致性檢驗，又稱整體檢驗法。平差系統(tǒng)的數(shù)學模型包括函數(shù)模型和隨機模型，觀測值的權決定了平差系統(tǒng)的隨機模型，進而影響整個平差結果。如果隨機模型誤差的數(shù)量級不超過最大的偶然誤差，則認為平差模型是可靠的，定權方法是合理的[3]。然而對于同一個控制網(wǎng)的平差，或許有多種定權方法可供選擇，但每種方法都有一定的適用范圍，不能一勞永逸，因此需要建立判定定權方法正確性的統(tǒng)計檢驗模型。

理論上，不論參數(shù)平差模型還是條件平差模型，都有如下統(tǒng)計量[6,7]：

當取顯著水平為a時，接受域為：

若統(tǒng)計量x2落在了接受域D內(nèi)，則接受原假設H0；若統(tǒng)計量x2落在了接受域D外，則拒絕原假設H0，而接受備選假設H1。一般認為，若H0成立，則可以說平差模型是合理的或基本合理的；若H1成立，則說明平差模型一定不正確。

4 實例分析

為了驗證分類定權平差模型的可行性和有效性，采用某區(qū)域二等沉降監(jiān)測網(wǎng)觀測數(shù)據(jù)對模型進行檢驗。整條水準線路共由32個測段組成，有的測段地勢平坦，有的測段落差較大（最大為16.6 m）。根據(jù)水準網(wǎng)間接平差理論，編寫水準網(wǎng)平差程序，實測數(shù)據(jù)分別按測站數(shù)、測段長度進行高差分類定權，采用Helmert方差分量估計對高差分類定權法進行迭代計算，各定權方法方差一致性檢驗及精度分析如下。

4.1 Helmert方差分量估計

通過建立水準測量分類定權間接平差模型，反復進行“平差-方差分量估計-定權后再平差”，迭代結果如表1所示。

表1 Helmert方差分量估計迭代計算

由表1可知，通過2次迭代計算，Helmert方差分量估計很好地解決了水準測量中分類觀測值權的匹配問題。第2次迭代結束時，相對權比為1∶1，統(tǒng)計量x2值達到最大13.664 6。

4.2 方差一致性檢驗

對3種定權方法（按測段長度定權、按測站數(shù)定權、分類定權）的后驗方差在顯著性水平a=0.05下進行一致性檢驗，后驗單位權中誤差分別為0.01、0.35、13.66。

查閱x2分布表，可得接受域為：

由表1可知，基于Helmert方差分量估計的分類定權法后驗單位權中誤差x2統(tǒng)計量值為13.664 6，通過了方差一致性檢驗（7.56＜13.66＜30.19），接受原假設，平差模型是合理的；而前兩種方法均通過檢驗，由此可以證明基于往返測高差較差的水準網(wǎng)分類定權新方法對測段的起伏狀況有良好的適應性，較傳統(tǒng)方法更有優(yōu)勢。

4.3 高差平差結果對比分析

分別按各定權方法平差后，高差平差值差異對比結果如圖1和表2所示。

表2 各定權方法的高差平差值差異（絕對值）統(tǒng)計表/mm

圖1 各定權方法的高差平差值差異曲線

由圖1和表2可知，3種定權方法的高差平差值差異均較小，幾乎一致。這是因為單位水準路線長度內(nèi)的測站數(shù)差異較小，按3種方法定權各觀測值間的權比關系趨于一致，高差不符值或閉合差的分配也一致，高程和高差的平差結果差異必定很小。

4.4 精度對比分析

各定權方法平差后，相鄰點高差中誤差的對比結果如圖2和表3所示。

圖2 不同定權方法相鄰點高差中誤差對比圖

表3 不同定權方法平差后精度比較表/mm

由圖2和表3可知，3種定權方法平差后高程和高差的中誤差以測站定權為最大，按測段長度定權與分類定權精度相當，這可能是由于整個水準網(wǎng)小，起伏的測段占多數(shù)，同時部分測段的起伏又特別劇烈所致。分類定權方法對傳統(tǒng)定權方法精度評定的極端現(xiàn)象起到了一定的中和作用，更能反映監(jiān)測網(wǎng)的實際狀況。

5 結 語

1）在水準測量中，將觀測值分為按測站數(shù)和測段長度定權兩類，能較合理地根據(jù)地形情況確定初始權陣，提高了初始權精度，按照Helmert方差分量估計迭代1～2次即可取得滿意結果。

2）分類定權方法對傳統(tǒng)定權方法精度評定的極端現(xiàn)象起到了一定的中和作用，更能反映監(jiān)測網(wǎng)的實際狀況。

3）由于高差的不符值或閉合差均較小，計算結果精度提高得不明顯；若采用多期觀測、增加多余觀測量等手段，通過分類定權可以使水準測量精度得到明顯提高。

[1] 王磊,郭際明,喻永平,等.水準網(wǎng)定權方法對精度評定的影響[J].測繪通報,2011(5):26-28

[2] 楊魯強,牟平,王春生,等.龍口施工控制網(wǎng)一等跨河水準測量的實施及精度分析[J].水利水電工程設計,2007,26(4): 40-43

[3] 龔率.工程控制網(wǎng)平差的定權方法研究及其軟件研制[D].成都:西南交通大學,2013

[4] 劉長建,馬高峰.Helmert方差分量估計結果的方差一致性檢驗實質[J].測繪學院學報,2002,19(2): 96-98

[5] 武漢大學測繪學院測量平差學科組.誤差理論與測量平差基礎[M].武漢:武漢大學出版社,2009

[6] 崔希璋,於宗儔,陶本藻,等.廣義測量平差[M].武漢:武漢大學出版社,2009

[7] 孔祥元,郭際明.控制測量學 [M].武漢:武漢大學出版社,2006

P216

B

1672-4623（2015）04-0154-04

10.3969/j.issn.1672-4623.2015.04.055

吳偉，碩士，工程師，主要從事工程安全監(jiān)測工作。

2014-07-09。