郭贊洪，唐其環(huán)

（西南技術(shù)工程研究所，重慶 400039）

環(huán)境條件對(duì)裝備的使用或長(zhǎng)期放置有重要的影響，文獻(xiàn)[1—5]介紹了不同環(huán)境條件對(duì)于裝備器械的影響，因此，了解環(huán)境的各性質(zhì)很重要。其中，溫度是氣象站或者相關(guān)試驗(yàn)站所要監(jiān)測(cè)的一個(gè)基本氣象因素。由于在監(jiān)測(cè)過(guò)程中，儀器的突然損壞、采集數(shù)據(jù)記錄時(shí)突然出錯(cuò)等原因，會(huì)造成某段時(shí)間溫度數(shù)據(jù)的缺失，如何對(duì)這部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行修補(bǔ)至關(guān)重要。同時(shí)，環(huán)境溫度受到各種自然環(huán)境因素的影響，溫度變化難以預(yù)測(cè)，但是對(duì)于大部分天氣沒(méi)有突然轉(zhuǎn)變的情況，溫度變化是具有一定的規(guī)律性的。文中將對(duì)具有規(guī)律性的溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行缺失修補(bǔ)研究分析。文靜等人[6]研究了人工監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)和自動(dòng)站監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的相互填補(bǔ)，但隨著信息自動(dòng)化，人工檢測(cè)將被完全取代?；疑到y(tǒng)法[7—9]中的GM（1，1）模型法近些年在許多領(lǐng)域中常用于缺失數(shù)據(jù)修補(bǔ)[7—9]，而且是灰色系統(tǒng)法中應(yīng)用最多的方法[10]。

GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型法適合于具有指數(shù)型性質(zhì)增加或減小的數(shù)據(jù)[11—14]，而不是所有的數(shù)據(jù)都恰好滿足這樣的要求。因此，不同領(lǐng)域的學(xué)者們對(duì)GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型進(jìn)行改進(jìn)，以適用于該領(lǐng)域數(shù)據(jù)變化情況[15—21]。Zou Lihua[22]、倪凱[23]和彭濤[24]分別在振動(dòng)數(shù)據(jù)、量測(cè)數(shù)據(jù)和軟基沉量數(shù)據(jù)方面采用將GM（1，1）模型進(jìn)行研究改進(jìn)，結(jié)果可知，針對(duì)不同數(shù)據(jù)變化規(guī)律將GM（1，1）模型進(jìn)行改進(jìn)后，預(yù)測(cè)效果得到了較大的提高。唐五湘等人[25—26]提出的時(shí)序修正法改進(jìn)后的GM（1，1）模型即GM（1，1）時(shí)序修正模型，對(duì)于某些時(shí)序數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)具有一定的改進(jìn)。文中研究的對(duì)象是大氣溫度數(shù)據(jù)，根據(jù)大氣溫度數(shù)據(jù)的變化情況，提出了以正弦函數(shù)對(duì)GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型進(jìn)行改進(jìn)，得到GM（1，1）正弦修正模型，對(duì)大氣溫度數(shù)據(jù)具有較好的預(yù)測(cè)修補(bǔ)作用。

文中將以萬(wàn)寧試驗(yàn)站監(jiān)測(cè)的溫度數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)，采用GM（1，1）正弦修正模型與GM（1，1）時(shí)序修正模型以及GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型進(jìn)行缺失修補(bǔ)對(duì)比分析研究。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型

根據(jù)GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型法的建模過(guò)程要求，對(duì)原始數(shù)據(jù)X（0）數(shù)據(jù)進(jìn)行一次累加生成得到X（1），如下：

作一次累加公式為：

建立X（1）如下的白化微分方程為：

式（2）中的a和u為待求參數(shù)，記參數(shù)列為：

解出白化微分方程的解為：

式（4）即為通過(guò)原始數(shù)據(jù)建立起來(lái)的GM（1，1）模型。

1.2 GM（1，1）時(shí)序修正模型

根據(jù)唐五湘[25]提出的時(shí)序修正法對(duì)GM（1，1）模型進(jìn)行改進(jìn)。該文提出GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型已經(jīng)確定了參數(shù)a和b，在模型中只剩下參數(shù)t，最終的預(yù)測(cè)精度就只和參數(shù)t相關(guān)，因而該作者討論了輸入變量t的GM（1，1）模型。該模型的建立過(guò)程如下：

將式（9）代入式（7）得到：

式（10）即為GM（1，1）時(shí)序修正模型。

1.3 GM（1，1）正弦修正模型

根據(jù)大氣溫度的類似周期變化性質(zhì)，每天的溫度變化類似于正弦函數(shù)的變化規(guī)律。文中提出了以正弦函數(shù)sin x修正GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型后的GM（1，1）正弦修正模型。并且將GM（1，1）模型中的t以24 h的整點(diǎn)時(shí)間帶入，即t∈（1，2，…，24），經(jīng)過(guò)試驗(yàn)帶入，過(guò)程如下。

標(biāo)準(zhǔn)模型為：

經(jīng)檢驗(yàn)后，模型建模部分采用標(biāo)準(zhǔn)模型建模，預(yù)測(cè)部分采用改進(jìn)5建模。因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)模型和改進(jìn)5模型分段使用時(shí)具有較好的擬合性，對(duì)該類溫度數(shù)據(jù)具有較好的適應(yīng)性。故GM（1，1）正弦修正模型為：

其中n為建模時(shí)的原始數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。

2 實(shí)例應(yīng)用

文中以萬(wàn)寧試驗(yàn)站所監(jiān)測(cè)的溫度數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，對(duì)以上模型進(jìn)行檢驗(yàn)。該試驗(yàn)站9月份的連續(xù)小時(shí)溫度數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。根據(jù)表1的原始數(shù)據(jù)建立相應(yīng)模型。

2.1 GM（1，1）模型建立

用前9個(gè)數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)建立GM（1，1）模型。

表1 萬(wàn)寧試驗(yàn)站9月份的某天的24 h溫度數(shù)據(jù)Table 1 24 hour temperature data in Wanning test station on one day in September

2.2 GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型

根據(jù)表1、式（3）和式（4），建立GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型為：將?t帶入式（9）和式（10）中，得到GM（1，1）時(shí)序修正模型，即為：

2.3 GM（1，1）時(shí)序修正模型

根據(jù)式（8）可以求出具體數(shù)值，見(jiàn)表2。

2.4 GM（1，1）正弦修正模型

根據(jù)原始數(shù)據(jù)和式（11），可以求出GM（1，1）正弦修正模型為：

表2 ?t的計(jì)算值Table 2 The calculated values of?t

3 結(jié)果分析

分別對(duì)式（12），（13）和（14）進(jìn)行計(jì)算，對(duì)結(jié)果進(jìn)行精度檢驗(yàn)，得到絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差精度檢驗(yàn)。見(jiàn)表3。（預(yù)測(cè)精度=1-相對(duì)誤差）

分析表3數(shù)據(jù)可知，從模型的擬合情況分析，GM（1，1）正弦修正模型與GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型具有相同的擬合平均誤差（和平均相對(duì)誤差），平均絕對(duì)誤差只有0.2，平均相對(duì)誤差也僅0.60%，具有與原始數(shù)據(jù)相當(dāng)好的擬合效果。GM（1，1）時(shí)序修正模型的擬合平均絕對(duì)誤差為0.6，平均相對(duì)誤差為2.29%，雖然略大于另外兩種，但擬合效果也不錯(cuò)。預(yù)測(cè)值的準(zhǔn)確性的程度才是我們最關(guān)心的，GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型的預(yù)測(cè)平均絕對(duì)誤差為6.7，平均相對(duì)誤差為22.54%；GM（1，1）時(shí)序修正模型的預(yù)測(cè)平均絕對(duì)誤差為5.3，平均相對(duì)誤差為17.70%；GM（1，1）正弦修正模型的預(yù)測(cè)平均絕對(duì)誤差為0.9，平均相對(duì)誤差為3.14%。無(wú)論是從平均絕對(duì)誤差還是相對(duì)誤差來(lái)分析，GM（1，1）正弦修正模型相較于GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型和GM（1，1）時(shí)序修正模型有了很大的改進(jìn)，預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性得到了很大的提高。GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型的預(yù)測(cè)值的誤差基本都超過(guò)了20%，GM（1，1）時(shí)序修正模型的預(yù)測(cè)誤差也超過(guò)17%，而GM（1，1）正弦修正模型的預(yù)測(cè)誤差絕大部分未超過(guò)6%，非常好地預(yù)測(cè)了原始值。

GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型、GM（1，1）時(shí)序修正模型、GM（1，1）正弦修正模型與原始數(shù)據(jù)的圖形對(duì)比如圖1所示，從模型的擬合分析來(lái)看，前9個(gè)點(diǎn)為模型擬合，GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型和GM（1，1）正弦修正模型的擬合很好，GM（1，1）時(shí)序修正模型的擬合相對(duì)較差一些。從預(yù)測(cè)部分看，GM（1，1）正弦修正模型從趨勢(shì)和數(shù)值上很好地貼近原始數(shù)據(jù)的變化情況，而GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型和GM（1，1）時(shí)序修正模型則與原始數(shù)據(jù)相差太多，也未能符合原始數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，數(shù)值上也相差太多，所以，GM（1，1）正弦修正模型的預(yù)測(cè)效果遠(yuǎn)高于另外兩種模型。因而，無(wú)論從模型擬合還是預(yù)測(cè)效果上，GM（1，1）正弦修正模型都比另外兩種好很多，GM（1，1）正弦修正模型的預(yù)測(cè)值反應(yīng)出了原始數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，很好地預(yù)測(cè)了缺失數(shù)據(jù)。

圖1 GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型、時(shí)序修正模型及正弦修正模型預(yù)測(cè)值與原始值比較Fig.1 Comparison of the predicted and original values of the GM(1,1)standard model,GM(1,1)timing corrected model and GM(1,1)sinusoidal model

總的來(lái)說(shuō)，GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型的預(yù)測(cè)效果很差；GM（1，1）時(shí)序修正模型的預(yù)測(cè)效果雖然有一定的提高，但效果也不好；而GM（1，1）正弦修正模型預(yù)測(cè)效果高于前兩種模型，很好地反映出了原始數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，擬合很好。

表3 三種模型的誤差及其精度計(jì)算結(jié)果Table 3 The error and precision calculation results of the three kinds of models

4 結(jié)語(yǔ)

文中通過(guò)GM（1，1）正弦修正模型與GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型和GM（1，1）時(shí)序修正模型對(duì)環(huán)境溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，GM（1，1）正弦修正模型對(duì)比GM（1，1）標(biāo)準(zhǔn)模型和GM（1，1）時(shí)序修正模型有了很大的改進(jìn)，且預(yù)測(cè)值很好地符合了原始數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，預(yù)測(cè)精度較另外兩種模型提高了很多，具有較高的預(yù)測(cè)精度。由于分析數(shù)據(jù)具有一定的局限性，該模型有待進(jìn)一步研究。

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