蔡燕燕 ，張建智，俞 縉 ，陳士海

（1.華僑大學 巖土工程研究所，福建 廈門 361021；2.中國礦業(yè)大學 深部巖土力學與地下工程國家重點實驗室，江蘇 徐州 221008）

1 引 言

陳宗基院士在1959年首次對一個完整隧洞進行蠕變試驗，指出必須把堅牢的巖石視為彈黏塑性材料，它能通過向內運動把內應變能釋放一部分[1]。之后，人們開始將時效變形概念引入隧洞圍巖應力、應變分析中[2]。目前，隧洞正在向“長大深”方向發(fā)展，深埋隧洞工程遇到的蠕變問題更為突出，越來越受到學者的重視。深埋隧洞開挖支護后，在高地應力下中等強度圍巖蠕變表現為非線性[3]，一段時間后，可能發(fā)生累積大變形而導致隧洞支護結構破壞。深入研究深埋隧洞圍巖非線性蠕變問題和解析方法，具有重要的理論價值和實踐意義。

當深埋隧洞圍巖長期強度低于高地應力時，巖體會出現蠕變全過程中的加速階段，這與一般隧洞圍巖多處于蠕變衰減和穩(wěn)定階段有顯著差異。另一方面，研究表明，巖體塑性體積變化（多表現為擴容）會影響圍巖應力分布，進而改變圍巖位移場，在分析時特別需要重視。若忽略其影響，則會低估圍巖徑向應變和塑性區(qū)半徑。因此，深埋隧洞應力和位移解析分析需同時考慮圍巖塑性體積變化及加速蠕變的影響，然而現有的研究還很不成熟。于學馥[4]、Nomikos[5]和Sulem[6]等推導的黏彈性解或黏彈塑性解，沒能考慮圍巖蠕變加速階段和塑性體積變化的影響。Fahimifar 等[7]推導靜水壓力圓形隧洞變形解并預測了蠕變位移。盧愛紅等[8]探討隧洞位移、支護反力與黏性系數與時間的關系，二者均忽略了塑性體積變化的影響。Fritz[9]考慮應變軟化因素推導圍巖黏彈塑性解。卞躍威等[10]考慮塑性軟化、塑性體脹和應力釋放，推導圓形隧洞黏彈塑性解并對圍巖衰減蠕變特性做了探討。余東明等[11]假設圍巖為Burgers 體與Drucker-Prager 準則組合的黏彈塑性材料，獲得剪脹影響下的隧洞黏彈塑性蠕變位移解析式，但他們均未考慮圍巖蠕變全過程的3個階段，尤其忽略了蠕變加速階段。最近，國外學者注意到該問題，試圖建立考慮圍巖加速蠕變和擴容影響的分析方法。Sterpi 等[12]采用考慮彈塑性、黏彈性和的黏塑性蠕變模型，研究高地應力下隧洞圍巖的3 階段蠕變行為，可惜未得出解析解。

由研究現狀可知，深埋隧洞圍巖蠕變是一個多因素影響的非線性力學問題，圍巖蠕變模型的合理使用是解析求解的關鍵。常用的圍巖蠕變力學模型，如西原模型、Burgers 體組合模型、賓漢姆模型等，均不能反映圍巖加速蠕變特性。為獲得圍巖蠕變3階段的深埋隧洞位移解，文中基于一定假設，嘗試采用河海模型進行理論求解。河海模型是由西原模型發(fā)展得到的黏彈塑性模型（后者為前者在流變指數為1 時的特例），可充分反映巖石的加速蠕變特性。在解析中同時考慮巖石塑性擴容特性，推得了考慮與不考慮洞周面力的初始彈塑性應力解及圍巖黏彈塑性區(qū)非線性蠕變位移表達式。針對蠕變參數（NVPB 黏滯系數η3和蠕變指數n）以及在不同m值情況下，討論了洞周面力與擴容角對隧洞洞壁蠕變位移的影響規(guī)律。研究結論對隧洞圍巖的臨崩預報有一定指導意義。

2 基本假設與圍巖蠕變模型

2.1 基本假設

（1）如圖1 所示，深隧半徑為R0，且縱向無限長，原巖應力p0表現為靜水狀態(tài)，洞周面力為pi，含隧洞內徑處圍巖自身及掌子面提供的假想支護力pc和支護結構提供的抗力ps。

（2）隧洞開挖產生的應力重分布完成后，圍巖應力場恒定，在此應力場作用下圍巖發(fā)生蠕變。蠕變現象符合空間軸對稱假設。

（3）隧洞圍巖進入屈服前為黏彈性不可壓縮體，服從Hooke 定律，同時考慮蠕變現象。進入屈服后為黏彈塑性可壓縮體，蠕變應變含彈性應變、黏彈性應變和黏塑性應變。

（4）圍巖彈、塑性區(qū)長期強度相同，塑性區(qū)圍巖變形模量隨著塑性應變的增加而逐漸降低，假設蠕變參數G、η 線性弱化。

（5）圍巖應力以受壓為正，相應的應變亦為正，以向隧洞中心發(fā)展的位移為正。

圖1 隧洞力學模型Fig.1 Mechanical model of tunnel

2.2 圍巖蠕變模型

當深埋隧洞圍巖長期強度低于高地應力時，須考慮蠕變的全過程，蠕變模型必須充分反映圍巖的衰減、穩(wěn)定和加速蠕變。徐衛(wèi)亞等[13]采用非線性蠕變元件代替法建立了河海模型，可完整地描述巖石蠕變的3 個階段。河海模型是指在五元件線性黏彈性蠕變模型上串聯一個非線性黏塑性體（nonlinear viscous-plastic body，NVPB）而組成的模型，文獻[13]通過巖石全自動流變伺服儀進行三軸蠕變試驗、FLAC3D數值程序模擬以及錦屏一級水電站工程驗證，說明該模型可充分反映巖石的加速蠕變特性，模型如圖2 所示。圖中，河海模型由Hooke 體、2 個線性黏彈性體（廣義Kelvin 體）、非線性黏塑性體（NVPB）串聯而成。其中，σ為一維應力（MPa），E0為Hooke 體彈性模量，E1和E2、η1和η2均為廣義Kelvin 體彈性模量和黏滯系數，η3為NVPB 黏滯系數，n為蠕變指數，σs為長期強度。當σ ≤σs時，NVPB 部分表現為剛體，不參與蠕變，模型將退化為理想黏彈性蠕變模型，適于描述巖石蠕變衰減及穩(wěn)定階段。當σ＞σs時，河海模型適于描述巖石蠕變全過程行為。

圖2 一維巖石非線性蠕變模型Fig.2 One-dimensional nonlinear creep model of rock

利用Laplace 變換及其逆變換可得蠕變應變表達式，見式（1）。由式（1）可知，當n≤1 時，dε/dt＞0，d2ε/dt2＜0，模型無法反映蠕變加速階段。當n＞1時，dε/dt＞0，且存在 d2ε/dt2＜0、d2ε/dt2=0 或d2ε/dt2＞0 這3 種情況，分別對應巖石蠕變3 階段行為，詳見圖3。

圖3 巖石蠕變特征曲線Fig.3 Creep characteristic curve of rock

深埋隧洞圍巖變形是復雜的三維問題，文獻[13]給出了三維應力狀態(tài)下巖石蠕變方程，見式（2）。經文獻[14]修正，在三維本構關系中，黏彈性模量Ei（E0、E1和E2）應替換成黏彈性剪切模量Gi（G0、G1和G2），式（3）給出了兩種模量關系式。

式中：t為時間；μ為泊松比；σm為平均應力；Sij為偏應力；則

式中：σkk為應力張量第一不變量；σθ、σz和σr分別為圍巖環(huán)向應力、軸向應力與徑向應力；δij為Kronecker 符號。

3 隧洞圍巖蠕變初始應力場

深埋隧洞開挖支護符合平面應變假設。由2.1節(jié)中基本假設（2）可知，圍巖應力場形成以后保持恒定，并作為圍巖蠕變前的初始應力場。因此，必須先求得該應力場，本文采用Hoek-Brown 屈服準則求解。Hoek-Brown 屈服準則作為非線性破壞準則，相比于線性Mohr-Coulomb 屈服準則更能反映深隧圍巖的固有特點和非線性破壞特征，以及結構面組數、巖石強度、所處應力狀態(tài)對圍巖強度的影響。其常用公式為

式中：σ1和σ3分別為巖體屈服時的最大主應力和最小主應力（MPa）；σc為完整巖石的單軸抗壓強度（MPa）；m、s 均為與巖體特性有關的材料參數，量綱為1，m 反映巖體的軟硬程度，取值為10-7～25，s 反映巖體破碎程度，取值為0～1。Hoek-Brown公式中巖體力學參數可通過文獻[15]確定。令σ1= σθ，σ3= σr。

進而可得環(huán)向應力為

考慮到塑性體積變化的影響，采用文獻[16]基于塑性勢函數推得的平面應變條件下塑性中主應力計算式如下：

式中：ψ為巖體材料擴容角；則

在圍巖彈性區(qū)，當r=Rp時，；且當r→∞時，σθ= σr=p0；故由平面應變理論可得彈性解：

將式（14）代入式（12）、（13），可得彈性區(qū)應力場為

在彈性區(qū)，彈性中主應力表達式[17]為

特別注意，考慮隧洞內邊界條件時，使用如下關系式：

孫鈞[3]指出，空間約束效應使毗鄰開挖面的圍巖存在等效的假想支護力pc。該支護力隨著開挖面的推進而逐漸減?。☉︶尫潘拢?，隨之支護結構發(fā)揮作用，其支護抗力ps從0 開始逐漸增加。當空間約束效應基本消失時，pc=0，ps=ps,max。卞躍威等[10]指出，在t=43 d 時，或者在開挖面后方4 倍洞跨處，圍巖的應力釋放率接近于1，其空間約束效應基本消失；侯公羽等[17]認為，空間約束效應基本消失在開挖面后方5 倍洞跨處。因此，在0～43 d內（或者在4～5 倍洞跨范圍內），需考慮空間約束效應對圍巖應力重分布的影響，建議選取式（8）、（9）、（11）和式（16）、（17）、（19）計算。若t＞43 d（或者支護結構的架設滯后于開挖面的推進，架設在4～5 倍洞跨范圍外），則架設處圍巖應力重分布已經完成，支護結構只能支護到圍巖的蠕變變形，解析式不需要考慮pi作用。若使洞周面力pi=0，根據上述的解析思路可得圍巖蠕變初始應力場，具體如下：

4 隧洞圍巖非線性蠕變位移解

在解析中，假設應力重分布完成后應力場恒定。從以上各式可知，圍巖內部偏應力Sij≠0；在偏應力作用下圍巖將產生隨時間增加的蠕變變形。

4.1 黏彈性區(qū)

由基本假設（3）可知，圍巖黏彈性區(qū)應變含彈性應變和黏彈性應變。在非線性蠕變模型中，當NVPB 部分不參與蠕變時，模型將退化為含Hooke體和廣義Kelvin 體的線性黏彈性蠕變模型，可充分反映圍巖黏彈性區(qū)蠕變特性。在形式上等價于Sij≤σs情況。隧洞圍巖蠕變符合空間軸對稱假設，因此，幾何方程 εθ=u/r、εr=du/dr 成立。

將式（16）、（17）、（19）代入式（4）、（5），再代入式（2），并結合/r 可得

4.2 黏塑性區(qū)

由基本假設（3）可知，圍巖黏塑性區(qū)應變含彈性應變、黏彈性應變和黏塑性應變。相應地，蠕變模型由Hooke 體、廣義Kelvin 體和NVPB 構成。

在黏塑性區(qū)，隨著蠕變的進行，圍巖裂隙發(fā)展并張開，使擴容效應增大。因此，黏塑性區(qū)蠕變位移的確定采用非關聯流動法則，結合幾何方程有

將式（2）代入式（31），可得

將式（8）、（9）、（11）代入式（4）、（5），再代入式（32），并結合邊界條件，可得

隨著掌子面推進，隧洞內壁出現了自由面，圍巖黏彈、黏塑性區(qū)均產生向內的位移。因此，黏塑性區(qū)總蠕變位移urcp，應包含黏彈性區(qū)產生的蠕變量。同時，考慮原巖應力作用下產生的初始地層位移u0。計算公式如下：

其中，材料函數如下：

若不計洞周面力影響，則把pi=0 代入材料函數式（37）～（39）可得結果。

5 分析與討論

5.1 NVPB 參數η3和n

河海模型含7 個蠕變參數，因為參數眾多，這里僅選取可充分反映圍巖蠕變加速特性的NVPB 蠕變參數η3和n 進行分析。采用文獻[18]的綠片巖蠕變參數進行分析，詳見表1。影響圍巖應力分布的相關參數取值：m=15，s=0.8，R0=3 m，φ=25°，ψ=10°，μ=0.25，α=0.8，pi=0.8 MPa，p0=40 MPa，σc=45 MPa；根據文獻[19]確定σs=0.8，σc=36 MPa。

表1 綠片巖蠕變參數[18]Table 1 Creep parameters of green schist[18]

圖4 給出了NVPB 蠕變參數η3和n 影響下綠片巖隧洞洞壁蠕變特征曲線。容易發(fā)現，在高地應力作用下，采用非線性蠕變模型可獲得蠕變全過程曲線。如圖所示，蠕變衰減及穩(wěn)定階段產生的位移量很小，一旦進入加速階段，洞壁位移呈現出非線性劇烈增長，故在蠕變全過程曲線中往往難以體現出前兩個階段的蠕變規(guī)律（下同）。隨著蠕變指數n增大和黏滯系數η3減小，圍巖蠕變行為逐漸由黏彈性向黏彈塑性過渡?？梢?，參數η3和n 對隧洞圍巖蠕變規(guī)律影響極大，決定了其是否進入加速階段以及出現該階段的時間，進而決定了隧洞圍巖臨崩預報工作的開展。因此，開挖巖石蠕變參數的辨識準確性應引起工程實踐者的重視。

圖4 綠片巖隧洞洞壁蠕變特征曲線Fig.4 Creep curves of tunnel wall in green schist

5.2 洞周面力

計算參數與上述一致，這里洞周面力pi分別取為0.0、0.8、1.6 MPa。為了突出蠕變衰減及穩(wěn)定階段，圖5 只給出pi=0.8 MPa 時1.5 d 內隧洞洞壁蠕變特征曲線。如圖所示，隨著m 值增大，洞壁位移明顯減小，這在加速蠕變階段尤為突出，表明圍巖軟硬程度對洞壁位移影響較大，巖體越軟，洞壁位移越大。圖6 給出了洞周面力及m 值影響下圍巖蠕變全過程的洞壁位移差值曲線；[Δu1]和[Δu2]是以pi=0.8 MPa為基準，洞周面力減至0.0 MPa和增至1.6 MPa 時的洞壁位移差值函數。由分布象限可知，[Δu1]＞0 且[Δu2]＜0，表明隨著洞周面力pi增大，洞壁蠕變位移減小。當m=7，t=2.1 d 時，[Δu1]-[Δu2]=76.4-(-62.5)=138.9 mm，即洞周面力由0.0 MPa 增大到1.6 MPa 時位移差值接近于14 cm；發(fā)展此差值位移量需要一定時間，可見洞周面力對加速蠕變階段的出現起到一定的延緩作用。由圖6 可知，洞周面力對圍巖蠕變的影響主要體現在加速階段，[Δu1]+[Δu2]≠0，蠕變具有一定非線性特征。

圖5 pi=0.8 MPa 時隧洞洞壁蠕變特征曲線Fig.5 Creep curves of tunnel wall with pi=0.8 MPa

圖6 洞周面力及材料參數敏感性分析Fig.6 Sensitivity analysis of surface force around tunnel and material parameter

5.3 擴容角

計算參數與上述一致，擴容角ψ 分別取為0°、10°、20°和30°。圖7 給出了ψ=10°時隧洞洞壁蠕變特征曲線。容易發(fā)現，圖7與圖5 所得規(guī)律一致，巖體越軟，洞壁位移越大。圖8 給出了擴容角及m值影響下圍巖蠕變全過程的洞壁位移差值曲線。[Δu10]=uR0(10°)-uR0(0°)，表示以ψ=10°為基準，擴容角減至0°時的洞壁位移差值函數；[Δu12]和[Δu13]曲線簇意義等同，即為擴容角增至20°和30°時的洞壁位移差值函數。如圖所示，[Δu10]＞0 且[Δu13]＜[Δu12]＜0，表明隨著擴容角ψ 增大，洞壁蠕變位移增大，這與擴容的實際作用相符。另外，擴容角對圍巖蠕變的影響也主要體現在加速階段，這是圍巖蠕變加劇擴容效應的結果。當m 值取值較小，即巖體較軟 時，[Δu10]+[Δu12]≠0 且[Δu13]-[Δu12]+[Δu10]≠0，更能說明深埋隧洞圍巖蠕變的非線性特征。

圖7 ψ=10°時隧洞洞壁蠕變特征曲線Fig.7 Creep curves of tunnel wall with ψ=10°

圖8 擴容角及材料參數敏感性分析Fig.8 Sensitivity analysis of the dilatancy angle and material parameter

6 結 論

（1）在高地應力作用下，采用非線性蠕變模型描述深埋隧洞圍巖蠕變問題可獲得蠕變全過程曲線，隨著NVPB 蠕變指數n增大和黏滯系數η3減小，圍巖蠕變行為逐漸由黏彈性向黏彈塑性過渡。

（2）材料參數m 值越小，巖體越軟，洞壁蠕變位移量越大，且蠕變行為更多體現為非線性特征。洞周面力在一定程度上可以減小洞壁位移，對加速蠕變階段的出現起到一定的延緩作用；擴容角越大，洞壁位移就越大，對圍巖長期穩(wěn)定不利。

（3）深埋隧洞圍巖非線性蠕變位移是一個多參數函數，其中巖石蠕變參數、洞周面力 pi、擴容角ψ與m 值等參數的準確獲得對圍巖臨崩預報工作的開展具有重要意義。

本文獲得的理論解仍有待結合實際工程作進一步驗證和完善。

[1]陳宗基,康文法.巖石的封閉應力、蠕變和擴容及本構關系[J].巖石力學與工程學報,1991,10(4):299－312.TAN Tjongki,KANG Wen-fa.On the locked in stress,creep and dilatation of locks,and the constitutive equations[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,1991,10(4):299－312.

[2]DAEMEN K,JAAK J.Tunnel support loading caused by rock failure[R].Omaha:Geology,Soils,and Materials Branch,Missouri River Division,Corps of Engineering,1975.

[3]孫鈞.巖土材料流變及其工程應用[M].北京:中國建筑工業(yè)出版社,1999.

[4]于學馥,鄭穎人,劉懷恒,等.地下工程圍巖穩(wěn)定分析[M].北京煤炭工業(yè)出版社,1983.

[5]NOMIKOS P,RAHMANNEJAD R,SOFIANOS A.Supported axisymmetric tunnels within Linear viscoelastic Burgers rocks[J].International Journal of Rock Mechanics and Rock Engineering,2011,44(5):553－564.

[6]SULEM J,PANET M,GUENOT A.An analytical solution for time-dependent displacements in a circular tunnel[J].International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences &Geomechanics Abstracts,1987,24(3):155－164.

[7]FAHIMIFAR A,TEHRANI F M,HEDAYAT A,et al.Analytical solution for the excavation of circular tunnels in a visco-elastic Burger’s material under hydrostatic stress field[J].Tunnelling and Underground Space Technology,2010,25(4):297－304.

[8]盧愛紅,茅獻彪,彭維紅.軟巖巷道的彈-黏塑性分析[J].采礦與安全工程學報,2008,25(3):313－317.LU Ai-hong,MAO Xian-biao,PENG Wei-hong.Elasto-viscoplasticity analysis of soft rock tunnel[J].Journal of Mining and Safety Engineering,2008,25(3):313－317.

[9]FRITZ P.An analytical solution for axisymmetric tunnel problems in elastoviscoplastic media[J].International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics,1984,8(4):325－342.

[10]卞躍威,夏才初,肖維民,等.考慮圍巖軟化特性和應力釋放的圓形隧道黏彈塑性解[J].巖土力學,2013,34(1):211－220.BIAN Yue-wei,XIA Cai-chu,XIAO Wei-min,et al.Visco-elastoplastic solutions for circular tunnel considering stress release and softening behaviour of rocks[J].Rock and Soil Mechanics,2013,34(1):211－220.

[11]余東明,姚海林,段建新,等.考慮中主應力和剪脹的深埋圓形隧道黏彈塑性蠕變解[J].巖石力學與工程學報,2012,31(增刊2):3586－3592.YU Dong-ming,YAO Hai-lin,DUAN Jian-xin,et al.Visco-elastoplastic creep solutions to deep circular tunnels considering intermediate principal stress and shear dilatancy[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2012,31(Supp.2):3586－3592.

[12]STERPI D,GIODA G.Visco-plastic behaviour around advancing tunnels in squeezing rock[J].Rock Mechanics and Rock Engineering,2009,42(2):319－339.

[13]徐衛(wèi)亞,楊圣奇,褚衛(wèi)江.巖石非線性黏彈塑性流變模型(非線性蠕變模型)及其應用[J].巖石力學與工程學報,2006,25(3):433－447.XU Wei-ya,YANG Sheng-qi,CHU Wei-jiang.Nonlinear viscoelasto-plastic rheological model(Hohai model) of rock and its engineering application[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2006,25(3):433－447.

[14]齊亞靜,姜清輝,王志儉,等.改進西原模型的三維蠕變本構方程及其參數辨識[J].巖石力學與工程學報,2012,31(2):347－355.QI Ya-jing,QIANG Qing-hui,WANG Zhi-jian,et al.3D creep constitutive equation of modified Nishihara model and its parameters identification[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2012,31(2):347－355.

[15]閆長斌,徐國元.對H-B 公式的改進及其工程應用[J].巖石力學與工程學報,2005,24(22):4030－4035.YAN Chang-bin,XU Guo-yuan.Modification of Hoek-Brown expressions and its application to engineering[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2005,24(22):4030－4035.

[16]余東明,姚海林,盧正,等.考慮中間主應力的橫觀各向同性深埋圓隧彈塑性解[J].巖土工程學報,2012,34(10):1850－1857.YU Dong-ming,YAO Hai-lin,LU Zheng,et al.Elastoplastic solutions to deep-buried circular tunnels in transversely isotropic rock masses considering intermediate principal stress[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2012,34(10):1850－1857.

[17]侯公羽,牛曉松.基于Levy-Mises 本構關系及Hoek-Brown 屈服準則的軸對稱圓巷理想彈塑性解[J].巖石力學與工程學報,2010,29(4):765－777.HOU Gong-yu,NIU Xiao-song.Perfect elastoplastic solution of axisymmetric circular openings in rock mass based on Levy-Mises constitutive relation and Hoek-Brown yield criterion[J].Rock and Soil Mechanics,2010,29(4):765－777.

[18]徐衛(wèi)亞,楊圣奇,謝守益,等.綠片巖三軸流變力學特性的研究(II):模型分析[J].巖土力學,2005,26(5):693－698.XU Wei-ya,YANG Sheng-qi,XIE Shou-yi,et al.Investigation on triaxial rheological mechanical properties of green schist specimen(II):Model analysis[J].Rock and Soil Mechanics,2005,26(5):693－698.

[19]張清照,沈明榮,丁文其.錦屏綠片巖力學特性及長期強度特性研究[J].巖石力學與工程學報,2012,31(8):1642－1649.ZHANG Qing-zhao,SHEN Ming-rong,DING Wen-qi.Study of mechanical properties and long-term strength of Jinping green schist[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2012,31(8):1642－1649.