屈文俊+宋超+朱鵬+郭朋

摘要：為研究人行激勵下大跨度樓蓋結(jié)構(gòu)的舒適度問題，對目前比較流行的壓型鋼板-混凝土組合樓蓋體系進行有限元建模，在此基礎(chǔ)上進行瞬態(tài)振動的分析，將得到的結(jié)果與美國規(guī)范AISC-11的計算結(jié)果和標準進行對比。結(jié)果表明：AISC-11計算方法對人行激勵的簡化并不合理，造成峰值加速度與實際誤差較大，偏于不舒適；人行激勵模型考慮了多階簡諧激勵的作用和人行激勵作用位置的變化以及人與樓蓋相互作用的過程，更貼近實際。

關(guān)鍵詞：壓型鋼板-混凝土組合樓蓋；舒適度；人行激勵；振動分析；峰值加速度

中圖分類號：TU357.2 文獻標志碼：A

0 引 言

在大跨度樓蓋結(jié)構(gòu)體系中，一般選用壓型鋼板-混凝土組合樓蓋，由于該樓蓋體系較柔，容易引起人行走的不舒適，所以大跨度壓型鋼板-混凝土組合樓蓋的設(shè)計大多并非由強度控制，而是由樓板的舒適度控制。

舒適度評價標準主要有頻率限值標準、加速度限值標準等，目前以美國AISC-11和加拿大CSA標準為代表的許多國外標準越來越趨向于用峰值加速度來衡量，中國由于這方面的研究較少，多是根據(jù)國外標準進行案例研究。從工程實用的角度來看，用峰值加速度來評價樓板的舒適度較為簡潔，但其實質(zhì)問題仍是振動分析的問題。

本文結(jié)合工程實例，討論人行激勵下壓型鋼板-混凝土組合樓蓋的振動分析方法，為樓蓋的工程設(shè)計提供參考。

1 分析模型

人行激勵下壓型鋼板-混凝土組合樓蓋的振動分析屬于連續(xù)體的強迫振動問題，計算分析中一般簡化為有限自由度體系。利用有限元模型對連續(xù)體進行離散化，將樓蓋結(jié)構(gòu)劃分為有限個單元，這些單元在節(jié)點處相互連接，建立位移場函數(shù)，通過插值和變分原理對各個單元進行力學分析；然后按照單元之間連接點上的力平衡條件或變形連續(xù)條件把單元拼湊成原來的結(jié)構(gòu)，由此列出并求解以節(jié)點位移作為未知量的方程組[1]。

根據(jù)動力學方程進行結(jié)構(gòu)動力分析

式中：M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；u為位移向量；為速度向量；為加速度向量；F（t）為荷載向量。

由上述可以看出，結(jié)構(gòu)動力分析主要牽涉到慣性（質(zhì)量）、彈性（剛度）、能量耗散機制（阻尼）和外部干擾荷載。根據(jù)這4個方面來建立振動分析的模型，質(zhì)量矩陣以及剛度矩陣可以通過建模直接得到。能量耗散機制非常復雜，為了使動力方程更容易解耦，運算效率更高，此處采用瑞利阻尼實現(xiàn)，其計算公式如下

式中：α為質(zhì)量阻尼系數(shù)；β為剛度阻尼系數(shù)。

人行激勵作用作為外部干擾荷載，可以簡化為確定性的周期荷載并將其展開成傅里葉級數(shù)。根據(jù)式（1）求得結(jié)構(gòu)動力特性，即自振頻率和特征振型，引入邊界條件，利用有限元法求解式（2），可進一步得到加速度響應(yīng)。

1.1 有限元建模

利用通用有限元軟件ANSYS[2]對一常見的大跨度樓蓋體系建立有限元模型，該樓蓋結(jié)構(gòu)平面布置如圖1所示。根據(jù)常用樓蓋結(jié)構(gòu)幾何尺寸，選取次梁跨度Lj=7 m，主梁跨度Lg=9 m，該樓蓋體系由型鋼梁和150 mm厚的壓型鋼板-混凝土組合樓板所組成，其中柱用Z表示，主梁用KL表示，次梁用L表示。圖2為組合樓板截面尺寸。

壓型鋼板所采用的型號為YX-75-200-600，鋼板的厚度為0.8 mm。鋼構(gòu)件均采用焊接H型鋼，柱采用HW300×300×8×10，主梁采用HW550×250×7×10，次梁采用HW450×200×7×10，所有鋼構(gòu)件均為Q345鋼。混凝土強度等級為C25，在動力荷載作用下，混凝土彈性模量會提高約35%，故取值為37.8 GPa[3]。

根據(jù)以上幾何尺寸及材料特性，在有限元軟件ANSYS中建模，樓蓋鋼柱與鋼梁均采用Beam189三維梁單元，考慮彎曲和扭轉(zhuǎn)效應(yīng)。壓型鋼板采用Shell181單元，混凝土采用Solid65單元，有限元網(wǎng)格劃分為120 mm。由于人行激勵作用相對較小，結(jié)構(gòu)還處于彈性階段。建模時認為，壓型鋼板和混凝土之間是無滑移的。在ANSYS中，通過使壓型鋼板與混凝土板底面共節(jié)點來實現(xiàn)兩者之間的固接。主次梁之間的連接是鉸接，通過釋放主次梁間的扭轉(zhuǎn)自由度約束來實現(xiàn)。對于樓蓋結(jié)構(gòu)，其邊界條件對受力性能及動力特性影響較大。此處，組合樓蓋支承于混凝土邊梁，邊梁相當于樓蓋的彈性支承，考慮到樓蓋在人行激勵下的微振動難以傳遞到與其相鄰的樓層，因此可以僅將柱子上下各延伸1個樓層高度，然后在端部采用固接約束。樓蓋結(jié)構(gòu)的4個角點處的平動自由度也要進行相應(yīng)的約束，避免樓蓋結(jié)構(gòu)平面內(nèi)的剛體位移。

結(jié)構(gòu)阻尼比模擬實際情況取0.03，采用瑞利阻尼實現(xiàn)。ANSYS通過模態(tài)分析獲得結(jié)構(gòu)的2階角頻率，然后再結(jié)合振型阻尼比進行計算。

1.2 人行激勵作用的模型

分析樓蓋結(jié)構(gòu)在人行激勵（如行走、跑步、跳躍甚至有氧健身運動）作用下的響應(yīng)，主要研究單人步行力的情況，按照確定性時域步行荷載模型來進行加載，即步態(tài)參數(shù)保持恒定，動力荷載近似按周期加載[4]，只考慮在豎直方向的振動而忽略對樓板平面內(nèi)的影響。

一般情況下，人行激勵作用可由頻率不同的簡諧激勵合成，而且這些簡諧激勵的頻率與步頻成正整數(shù)倍關(guān)系（即按其傅里葉級數(shù)展開）。當分解的簡諧激勵的步頻與樓蓋體系的固有頻率接近時，便會引發(fā)共振效應(yīng)，使動力響應(yīng)更加強烈。因此在進行振動分析時如何確定人行激勵的振動頻率十分關(guān)鍵，其一般的取值范圍在1.6～2.5 Hz之間，但要準確推測則難以做到。因此按其最不利的情況來考慮，人為選取人行激勵的頻率，使樓板固有頻率為其正整數(shù)倍，從而得到最大的動力響應(yīng)，此處考慮4種不同的人行激勵作用模型[5-6]。

（1）模型1

假定人行走時的步行力F是嚴格的周期函數(shù)。模型1的人行激勵時程曲線如圖4所示，其函數(shù)方程形式為

式中：P為行人的重量，取750 N；i為簡諧波數(shù)，取值見表1；αi為第i個簡諧激勵的動荷載因子，為試驗觀測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計平均值；fs為人行激勵頻率；t為時間。

當運用模型1時，只考慮能夠引起結(jié)構(gòu)共振的

簡諧激勵，把它加在樓蓋結(jié)構(gòu)最高階模態(tài)的豎向位移幅值上，人行激勵的頻率與樓蓋結(jié)構(gòu)的固有頻率相等。

（2）模型2

在作用位置方面，模型2與模型1相同，但模型2考慮了與人的重量有關(guān)的靜力荷載，認為人行激勵是人的重量和由傅里葉級數(shù)表示的簡諧激勵的疊加。模型2的人行激勵時程曲線如圖5所示，其函數(shù)形式為

傅里葉級數(shù)的階次取值可以不同，最多的為5階，最少的為1階，一般認為考慮前3階已經(jīng)足夠。在本例中，考慮傅里葉級數(shù)的前4階，其他參數(shù)以及系數(shù)同模型1。

3）模型3

樓蓋上的人行激勵同樣由方程式（5）所確定，并取前4階簡諧振動疊加而成，但在模型3中考慮了動力荷載的作用位置隨著行人位置的移動而變化。模型3中的步長和步速參數(shù)見表2[7]。

具體人行激勵作用的加載方式如圖6所示。該模型3把1個荷載步分解為4個等間距的動力荷載P1～P4，荷載由方程式（5）在不同時間t下計算得到，依次輪流作用于樓蓋結(jié)構(gòu)上。

（4）模型4

樓蓋上活動的人可能會顯著改變樓蓋結(jié)構(gòu)的振動特性，將人群作為附加質(zhì)量不盡合理，因此更為真實的做法是把人的身體等效成1個質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，使之與結(jié)構(gòu)相互作用。

單個站著或坐著的人對結(jié)構(gòu)動力特性（頻率、阻尼）有顯著影響[7]，會降低結(jié)構(gòu)頻率，增加結(jié)構(gòu)的阻尼。許多研究表明：人群動荷載與結(jié)構(gòu)之間也有耦合作用，動態(tài)人群也會改變結(jié)構(gòu)的動力特性。

采用文獻[8]中所提出的單自由度的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)模型，具體如圖7所示，對于重量為750 N的行人來說，通過考慮單自由度模型的動力特性對其質(zhì)量、剛度、阻尼進行折算，得到模型質(zhì)量m=77.25 kg，彈簧剛度K=1.005×105 N·m-1，阻尼系數(shù)C=3 870 N·s·m-1。在ANSYS軟件中，選用Combin14單元模擬人體動力性質(zhì)，選用Mass21單元模擬人體質(zhì)量，并考慮加載隨位置的改變。沿路線方向每隔1個行人步長，在離樓蓋高1.2 m處（即人靜止時的重心高度）建立節(jié)點，定義質(zhì)量單元，考慮行人的質(zhì)量。連接質(zhì)量單元節(jié)點和

圖7 模型4的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)

Fig.7 Mass-spring-damp System of Model 4相應(yīng)樓蓋節(jié)點建立彈簧單元，通過定義彈簧單元的實常數(shù)考慮行人的豎向剛度和阻尼，加載時利用生死單元法。

2 實例分析

根據(jù)工程實例對次梁跨度為7 m、間距為3 m的大跨度壓型鋼板-混凝土組合樓蓋體系進行有限元模型的振動分析，并將分析結(jié)果與按照美國鋼結(jié)構(gòu)協(xié)會提出的AISC-11標準計算的結(jié)果與限值進行比較。

2.1 基于有限元模型的樓蓋體系振動分析

2.1.1 模態(tài)分析

ANSYS模態(tài)分析為一階線性分析[9-17]，在已知系統(tǒng)的頻率范圍下，采用分塊蘭索斯法得到樓蓋體系的前4階頻率f1～f4及模態(tài)，其豎直方向的振型如圖8～11所示。

2.1.2 加速度響應(yīng)分析

考慮動力分析的準確性以及效率，采用完全法諧響應(yīng)分析計算瞬態(tài)響應(yīng)。

（1）模型1

將由方程式（4）所確定的人行激勵施加到第1階模態(tài)的位移幅值處，加載點見圖12。按有限元模型模態(tài)分析得到樓蓋結(jié)構(gòu)的固有頻率為7.588 Hz，頻率為1.897 Hz的人行激勵的第4個簡諧函數(shù)才能引起共振效應(yīng)，因此作為激勵被應(yīng)用。引起共振的人行激勵作用周期Tp=1/fs=0.527 s，加載總時長取5個周期長度為2.636 s，并且考慮0.5的

圖12 模型1加載點（單位：mm）

Fig.12 Loading Point of Model 1 （Unit：mm）折減系數(shù)（對于人行走而言，完整的穩(wěn)態(tài)共振響應(yīng)是很難達到的，并且行走的人與受干擾的人不會同時出現(xiàn)在第1階振動模態(tài)的最大位移處），得到的加速度時程曲線見圖13，峰值加速度為0.012 9 m·s-2，小于AISC-11的限值規(guī)定（住宅、辦公樓峰值加速度限值為0.049 m·s-2），并且加速度最大值出現(xiàn)在2.008 4 s，后面的周期峰值加速度穩(wěn)定在0.0129 m·s-2附近。位移幅值為6.120 mm。

（2）模型2

將由方程式（5）所確定的人行激勵加載到第1階模態(tài)的位移幅值處，加載點同樣如圖12所示。引起共振的人行激勵作用周期Tp=1/fs=0.527 s，加載總時長取8個周期長度為4.216 s，同樣考慮0.5的折減系數(shù)，得到的加速度時程曲線如圖14所示。峰值加速度為0.038 9 m·s-2，小于AISC-11的限值0.049 m·s-2。峰值加速度出現(xiàn)在0.063 3 s，后面的周期峰值加速度大概穩(wěn)定在0.020 4 m·s-2附近。位移幅值為6.164 mm。

（3）模型3

模型3考慮了人行激勵的時間和空間效應(yīng)，此處采用2種不同的加載路線進行比較，如圖15所示。根據(jù)表2，由線性內(nèi)插法可以得到對應(yīng)于步頻為1.897 Hz的第4個簡諧波的步長d=0.699 m。P1，P2，P3，P4加載間距的理論值d/3=0.233 m，實際加載時近似取加載間距為0.24 m。人行激勵作用的周期T=1/fs=0.527 s。每個力在樓蓋結(jié)構(gòu)上的作用時間T/3=0.176 s。本模型考慮了加載的空間變化，因此計算時沒有考慮動力荷載的折減系數(shù)。

沿路線1加載，第1階模態(tài)位移幅值點（中點）處的加速度時程曲線見圖16，峰值加速度為0.229 m·s-2，大于AISC-11的限值0.049 m·s-2。峰值加速度出現(xiàn)的時間為3.163 s，此時動力荷載大約加載到樓蓋跨中的位置，與理論推測值比較吻合。從加速度時程曲線隨時間變化規(guī)律可以看出，人行走位置越接近跨中，測試點的加速度值越大，在跨中位置附近加速度值達到最大。隨著人遠離測點，測點加速度值減小，并且行人行走至跨中位置以后的節(jié)點時，測點峰值加速度都比位于前面對稱位置處節(jié)點上的數(shù)值要大，這是由于前面存在已有振動影響的結(jié)果，位移幅值為6.211 mm。荷載沿路線2作用的情況下，該線路的加速度時程曲線如圖17所示。峰值加速度為0.223 m·s-2，大于AISC-11的限值規(guī)定。峰值加速度出現(xiàn)的時間點為3.69 s，位移幅值為6.208 mm，其他特性同路線1。