黃開(kāi)智

(江蘇省姜堰二中，江蘇　泰州　225500)

帶電體的電勢(shì)及場(chǎng)強(qiáng)求解方法

黃開(kāi)智

(江蘇省姜堰二中，江蘇泰州225500)

摘要：本文探討了均勻帶電球體和球殼周?chē)碾妱?shì)及電場(chǎng)強(qiáng)度分布情況，并通過(guò)Mathematica軟件模擬了等量異種電荷電勢(shì)的三維分布，總結(jié)了幾種典型的帶電體的電勢(shì)及其場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算方法.

關(guān)鍵詞：電勢(shì)；電場(chǎng)強(qiáng)度；高斯定理；Mathematica軟件

在電磁學(xué)的習(xí)題中常會(huì)遇到求解帶電體模型的電勢(shì)或者場(chǎng)強(qiáng)的問(wèn)題，例如均勻帶電球殼、均勻帶電球體、等量異種或同種點(diǎn)電荷等模型.高中階段，學(xué)生很難分清楚電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的概念及其計(jì)算方法，僅能勉強(qiáng)求解一些比較特殊點(diǎn)的電勢(shì)或者電場(chǎng)強(qiáng)度.經(jīng)驗(yàn)不足的教師也不大清楚典型帶電體周?chē)妱?shì)的變化情況，導(dǎo)致不能站在一個(gè)更高的角度來(lái)施教.

靜電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)在數(shù)值上等于單位正電荷在該點(diǎn)處的電勢(shì)能，也等于單位正電荷從該點(diǎn)經(jīng)過(guò)任意路徑移到無(wú)限遠(yuǎn)處時(shí)電場(chǎng)力所做的功(此時(shí)認(rèn)為無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零).若已知電荷在空間的分布，一般來(lái)說(shuō)求電勢(shì)或場(chǎng)強(qiáng)的方法有兩種，可根據(jù)不同電荷分布，選擇不同方法：一種是先求解出電場(chǎng)強(qiáng)度E的分布函數(shù)，應(yīng)用場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系，對(duì)場(chǎng)強(qiáng)做線積分運(yùn)算，求解電勢(shì)；另一種是直接根據(jù)電勢(shì)疊加原理，求解任意點(diǎn)的電勢(shì)，進(jìn)而運(yùn)用電勢(shì)梯度的負(fù)值等于場(chǎng)強(qiáng)的特點(diǎn)求解該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng).

1均勻帶電球體的場(chǎng)強(qiáng)及電勢(shì)分布

問(wèn)題：均勻帶正電球體置于真空中，帶電量為Q，球體半徑為R，球心為O，求球體周?chē)臻g的電場(chǎng)強(qiáng)度及電勢(shì).

圖1

分析：如圖1所示，由于球體具有球?qū)ΨQ性，因此在三維空間我們可以選取球坐標(biāo)(r、θ、φ)來(lái)研究電場(chǎng)強(qiáng)度.在r>R的空間，可以將球體看成點(diǎn)電荷模型處理.在r

解：(1) 通過(guò)以上分析可得到的結(jié)論是：任一同心球面上場(chǎng)強(qiáng)大小E都相等，方向與此球面垂直.接下來(lái)需要利用靜電場(chǎng)的高斯定理來(lái)計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的大小.

圖2

圖2給出了該種帶電球體電場(chǎng)強(qiáng)度的函數(shù)分布圖.可以看出，均勻帶電體的場(chǎng)強(qiáng)是連續(xù)的，且在球體表面處場(chǎng)強(qiáng)有極大值.

圖2也給出了該種帶電體電勢(shì)的函數(shù)分布圖，不難看出，均勻帶電球體周?chē)碾妱?shì)和電場(chǎng)一樣也是連續(xù)的，且電勢(shì)在球心處有最大值.

這里要說(shuō)明兩點(diǎn)：其一，由于均勻帶電體不是一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)，電荷最終會(huì)向帶電體表面移動(dòng)，形成一個(gè)帶電面，尤其是導(dǎo)體，此時(shí)場(chǎng)強(qiáng)或電勢(shì)分布將會(huì)出現(xiàn)變化(本文第2部分將會(huì)說(shuō)明).其二，若是針對(duì)均勻帶電體，按照高斯定理，體內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)就不會(huì)是零，這點(diǎn)很容易與處于靜電平衡的帶電體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為零的結(jié)論相混淆.

2均勻帶電球殼的場(chǎng)強(qiáng)及電勢(shì)分布

問(wèn)題：均勻帶正電球殼置于真空中，帶電量為Q，球殼半徑為R，球心為O，求球殼周?chē)臻g的電場(chǎng)強(qiáng)度及電勢(shì).

分析：如圖3所示，帶電體為球殼，相比帶電球體，其選用的坐標(biāo)系和理論方法同出一轍，但場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算要簡(jiǎn)單得多.在處理這個(gè)問(wèn)題時(shí)，同樣分r>R和r

圖3

若P點(diǎn)在球內(nèi)(圖3中高斯面S2)，此時(shí)發(fā)現(xiàn)，任一高斯面內(nèi)均沒(méi)有電荷，故在球殼內(nèi)部任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E=0.

(2) 選擇無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電勢(shì)的參考位置.

對(duì)比帶電球體和球殼，不難看出，各自的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)分布有很大不一樣.首先，對(duì)于場(chǎng)強(qiáng)而言，前者是連續(xù)的，極大值出現(xiàn)在球體表面處，而后者則是跳躍的，且球殼內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為零，類似靜電平衡的導(dǎo)體；其次，對(duì)電勢(shì)而言，前者電勢(shì)一直在降低，后者在球殼內(nèi)部的電勢(shì)不變，為一等勢(shì)體.

3等量異種電荷的場(chǎng)強(qiáng)及電勢(shì)分布

圖4

圖4給出了真空中等量異種電荷模型，兩電荷各自帶電量為q，相距l(xiāng)，O為電荷連線中點(diǎn).求與電荷模型距離較遠(yuǎn)的P點(diǎn)的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)分布.

圖5

圖6

4場(chǎng)強(qiáng)及電勢(shì)分布一般處理方法

通過(guò)以上計(jì)算及相關(guān)模擬，在求解帶電體的電勢(shì)或場(chǎng)強(qiáng)時(shí)，二者是等價(jià)的.如果帶電體的場(chǎng)強(qiáng)相對(duì)說(shuō)來(lái)比較好求解，可以先求解場(chǎng)強(qiáng)，進(jìn)而求解電勢(shì)，而這種帶電體多為單個(gè)帶電體，且?guī)缀涡螤畋容^規(guī)則；假若帶電體為多個(gè)，一般是先求解電勢(shì)，之后求解場(chǎng)強(qiáng)，因?yàn)殡妱?shì)的求解就是普通的標(biāo)量疊加，相比場(chǎng)強(qiáng)的矢量疊加來(lái)說(shuō)較為簡(jiǎn)單.

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