☉江蘇省南京市溧水區(qū)第二高級(jí)中學(xué) 張紅軍

對(duì)于說題活動(dòng)的初探與思考

☉江蘇省南京市溧水區(qū)第二高級(jí)中學(xué) 張紅軍

說題是近年來比較流行的一種考核教師課堂解題、講題能力的一種新型方式，其在一定時(shí)間內(nèi)給予教師某個(gè)問題，進(jìn)行獨(dú)立的分析、解答、歸納和小結(jié).這種模式漸漸為各地考查教師業(yè)務(wù)能力水平所采用，因此深受教師重視.原課程標(biāo)準(zhǔn)指定組組長東北師大史寧中教授關(guān)于新型說題活動(dòng)給出了這樣的評(píng)價(jià)：我覺得說題是一個(gè)很好的創(chuàng)新活動(dòng)，它把教師之間的水平層次清晰地區(qū)分開來，給那些優(yōu)秀教師提供了寬闊的表現(xiàn)舞臺(tái).從知識(shí)上來說，說題正是我們的數(shù)學(xué)為什么要這么教，教的那些方法是否合理，解題中提供給學(xué)生什么樣的視角，這些都是說題最有價(jià)值的部分.因此，說題活動(dòng)是高中數(shù)學(xué)一種比較新型的教學(xué)交流方式，近年來受到教師交流活動(dòng)或職稱評(píng)選活動(dòng)的關(guān)注.那么何為說題？如何說題？說題過程中如何展示教師的問題處理能力？如何體現(xiàn)教師的專業(yè)化能力與水平？這些都值得教師在說題活動(dòng)前做充分的了解和嘗試.近期筆者以自身某次說題活動(dòng)的參與，談?wù)務(wù)f題活動(dòng)對(duì)自身的一些啟示和思考，旨在拋磚引玉，與大家交流.

一、題源

題目 設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，Sn+1= 4an+2，則a12=__________.

本題是緣自全國卷改編而來的一道高考試題，是本次說題活動(dòng)給出的一道基本數(shù)列題.從初步分析來看：本數(shù)列問題解決的基本知識(shí)在于作差之后等比數(shù)列知識(shí)的運(yùn)用，其基本思想在于數(shù)列的作差思想、整體思想、構(gòu)造思想等的運(yùn)用.從近年各地高考、競(jìng)賽試題來看，數(shù)列中遞推數(shù)列通項(xiàng)的求解一直是熱點(diǎn)和難點(diǎn).

二、說題

諸如文1、文2等比較關(guān)注的是教師如何指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行說題，其目的旨在提高學(xué)生對(duì)問題的理解能力和解決的方向性、知識(shí)的整合度及思維的發(fā)散性等，而本次是以教師說題為主的教學(xué)活動(dòng)，有所不同.

首先，談?wù)務(wù)f題的界定：說題是什么？筆者認(rèn)為就是要求教師通過分析，將問題從審題—分析—解答—小結(jié)—提升等過程按照一定的規(guī)律進(jìn)行語言的口述，在這個(gè)過程中要求說題者將整個(gè)對(duì)試題的分析思維過程進(jìn)行暴露，即“說數(shù)學(xué)思維”.說題是近年比較流行、高效的考查教師基本課堂教學(xué)能力的一種方式，要求利用教學(xué)語言口述探尋解題的思維過程、對(duì)問題分析處理的想法，以及針對(duì)這一問題進(jìn)行的挖掘和提升，進(jìn)一步對(duì)教師專業(yè)化素養(yǎng)的考查等，其作用是大大方便教師間的交流、節(jié)省大量的教學(xué)課時(shí)、理清教學(xué)的思路、提高教學(xué)的效率，這樣的新型教研活動(dòng)值得我們做一定的思考與嘗試.

羅增儒教授關(guān)于解題教學(xué)提出了一些嘗試和建議（文3），其指出：解數(shù)學(xué)題要將陌生的條件、結(jié)論轉(zhuǎn)化為通俗易懂的數(shù)學(xué)語言.按照這一想法，筆者類比思考說題正是將此形式進(jìn)行語言表達(dá)的一種態(tài)勢(shì)，即利用教學(xué)語言口述探尋解題通路的思維過程，以及所采納的數(shù)學(xué)思想方法和解題策略，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行演繹和歸納，因此往往涉及下面幾個(gè)方面.

1.說題意

說出試題考查的背景、意圖、隱含條件、處理方式、處理技巧等，是說明題意的基本要求.數(shù)列知識(shí)板塊是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，其所占分值約15%，小題主要考查數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，解答題側(cè)重考查數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列中的運(yùn)用，諸如：整體思想進(jìn)行構(gòu)造、函數(shù)思想研究數(shù)列性質(zhì)、數(shù)列求和中的倒序相加等.

從本題來看，本題的意圖言簡(jiǎn)意賅.首先，從基本處理而言，數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的作差思想，在得到遞推數(shù)列關(guān)系之后，進(jìn)一步利用整體構(gòu)造進(jìn)行處理.對(duì)本題的后半階段處理，我們知道用構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)是遞推數(shù)列考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)，教師對(duì)問題的處理、解決是站在教師自身的角度而言的，將基本方法進(jìn)行闡述的同時(shí)，要立足于學(xué)生思維、考慮問題的角度再進(jìn)行深思研究.

2.說思維

簡(jiǎn)述解決試題探索過程中的思維方法和心理活動(dòng)過程，這是說思維的基本要求.一般在指導(dǎo)學(xué)生解題思維培養(yǎng)途徑上常常使用下面的方式.

（1）運(yùn)用直覺思維，從類似問題中探索解題途徑、滲透一般問題的解題規(guī)律，即模式識(shí)別策略.

（2）采用“庖丁解?！辈呗裕瑢栴}分解為若干個(gè)小問題，逐一突破.

（3）分析綜合策略，從條件出發(fā)、結(jié)論思考，對(duì)條件進(jìn)行順推、結(jié)論進(jìn)行逆推，尋找問題突破點(diǎn).

（4）轉(zhuǎn)化策略，將命題不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化、變換，轉(zhuǎn)化為熟悉的、已知的問題進(jìn)行突破.

縱觀本題，參加本題說題活動(dòng)的老師給出了多種不同的解決思路，水平非常了得，但筆者思考：說題活動(dòng)并非一味提倡一題多解，更要在說題過程中將學(xué)生能夠解決的方法，其使用這樣方法的依據(jù)說清楚，還要在探索解題過程中對(duì)能夠使用的解法和構(gòu)建這些解法的心理機(jī)制進(jìn)行分析，這些更值得教師去關(guān)注.

一般，針對(duì)本題最常見的學(xué)生解題心理機(jī)制有：

（1）利用作差思想，已知Sn+1=4an+2 ①，則當(dāng)n≥2時(shí)，有Sn=4an-1+2 ②，②－①得an+1=4an-4an-1.

（2）對(duì)an+1=4an-4an-1進(jìn)行構(gòu)造，這里的構(gòu)造借助學(xué)生對(duì)等比數(shù)列、等差數(shù)列的整體認(rèn)知而定，既可以利用等差構(gòu)造，也可以等比構(gòu)造，相比而言，學(xué)生往往更喜歡用等差整體進(jìn)行構(gòu)造，但是等比整體的構(gòu)造更具備解決遞推數(shù)列的一般性.

利用等差數(shù)列的構(gòu)造是學(xué)生較為熟悉的一種問題解決方案，教師必需將其講清楚，以及學(xué)生使用該種方法時(shí)的心理機(jī)制也可以適當(dāng)提及.

師：令bn=an+1-2an，則bn=2bn-1，所以｛bn｝是首項(xiàng)為b1=3，公比為2的等比數(shù)列.可得bn=an+1-2an=3·2n-1?，所以數(shù)列｝是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列，所以，所以an=（3n-1）·2n-2，可得a12=35·210.

從一題多解的角度來說，筆者認(rèn)為教師需要再說明解決本題的另一種基本方法，等比數(shù)列整體構(gòu)造，這種方法并不太完全符合學(xué)生的心理預(yù)期，但是后續(xù)解決類似問題時(shí)更具備一般性.

師：由上可知an+1=2an+3·2n-1（*），令an+1+λ（n+1）·2n+1= 2（an+λn·2n），展開合并同類項(xiàng)得an+1=2an-4λ·2n-1，利用待定系數(shù)法，可知-4λ=3?λ=-，將λ=-代入所令，得，所以是以為首項(xiàng)，2n-1為公比的等比數(shù)列，易得2n-1?an=（3n-1）·2n-2，可得a12=35·210.

3.說思路

說出本題解決的一般性思路來得更為重要，針對(duì)本題而言，教師要以第二種方法進(jìn)行問題一般性的思路說明，盡可能進(jìn)行推廣.

（1）主要思想：整體思想、構(gòu)造思想，運(yùn)算中注意如何利用整體性解決問題.

（2）考慮到數(shù)列an+1=pan+f（n）這一模型的重要性，開展說題活動(dòng)的一般性思路說明.

（3）給出f（n）為一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型的通用型問題解決指導(dǎo).

4.說規(guī)律

通過數(shù)列遞推求通項(xiàng)，諸如an+1=pan+f（n）模型的一般性規(guī)律是利用等比數(shù)列的整體性構(gòu)造解決，筆者概括出一般性的解決方式，并交流心得體會(huì).

（1）f（n）為一次函數(shù)時(shí)，即an+1=pan+bn+c，只需構(gòu)造an+1+ λn+u=p［an+λ（n-1）+u］，利用待定系數(shù)求出λ與u即可.

（2）f（n）為二次函數(shù)（或二次以上時(shí)），只需構(gòu)造an+1+ λ（n+1）2+u（n+1）+v=p（an+λn2+un+v），利用待定系數(shù)求出λ、u與v即可.

（3）當(dāng)an+1=pan+qn時(shí)，也可按等比建構(gòu)，當(dāng)p=q時(shí)，即an+1= pan+pn，構(gòu)造an+1+λ（n+1）pn+1=p（an+λnpn），易得λ=-，故是等比數(shù)列；當(dāng)p≠q時(shí)，構(gòu)造an+1+λqn+1=p（an+ λqn），易得λ=，故是等比數(shù)列.

有興趣的同學(xué)可以用上述一般性的規(guī)律解決下列問題.

（1）已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an=2an-1+n-2（n≥2），求通項(xiàng)an.

（2）已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=2an+n2，求通項(xiàng)an.

（3）設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知ban-2n=（b-1）Sn，求｛an｝的通項(xiàng)公式.

因此，現(xiàn)代意義的解題教學(xué)特點(diǎn)：更注重解題的過程、策略及思維品質(zhì)的培養(yǎng)；更注重解題過程中的情感、態(tài)度、價(jià)值觀，從變化中尋求不變才是教師所追求的和學(xué)生需掌握的.

三、思考

在參與本次說題活動(dòng)中，筆者感受到教師的說題都是以培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)整合能力為主，注重試題講解多變多樣化為切入，關(guān)注解題過程中數(shù)學(xué)思想對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，關(guān)注一題多解帶來的思維發(fā)散效應(yīng)，關(guān)注學(xué)生的情感、態(tài)度與價(jià)值觀等，做出了積極的探索和很大的努力，這些都是很好的嘗試.

但是通過說題活動(dòng)筆者也發(fā)現(xiàn)，我們有時(shí)候在處理說題目標(biāo)的具體性、適度性和合適性上把握還顯不足，甚至有些混亂，在面對(duì)一道具體的數(shù)學(xué)題目時(shí)，課程標(biāo)準(zhǔn)中的空話、套話切勿對(duì)應(yīng)于具體題目.教師更應(yīng)該關(guān)心的是如何將本題所涉及的說題目標(biāo)進(jìn)行具體地、合理地?cái)⑹?，這樣比較貼合實(shí)際.

按照本次說題教學(xué)得到的一些嘗試，筆者認(rèn)為我們應(yīng)該將說題目標(biāo)進(jìn)行層層遞進(jìn)式地剖析.

（1）說題的初級(jí)目標(biāo)，主要是教師將問題的思路和解決方法進(jìn)行敘說，將學(xué)生可能存在的解決方案予以呈現(xiàn)，將教師在問題解決過程中的對(duì)話交流、問題設(shè)置等進(jìn)行合理的安排，以符合學(xué)生解決問題心理機(jī)制為前題下的設(shè)計(jì)是符合學(xué)生認(rèn)知心理的，并讓學(xué)生進(jìn)行探究性的嘗試.

（2）說題的中級(jí)目標(biāo)，此時(shí)筆者以為，我們?cè)诮鉀Q說題過程中所反映的基本思想方法應(yīng)該向?qū)W生予以呈現(xiàn)，以本文中數(shù)列問題為例，教師努力向?qū)W生傳遞的是運(yùn)用基本數(shù)列（等差、等比）解決未知數(shù)列模型，即轉(zhuǎn)化思想；利用整體構(gòu)造進(jìn)行問題求解，即整體運(yùn)用思想等，并對(duì)比兩種不同的問題解決方法，鼓勵(lì)學(xué)生思考、認(rèn)知哪種方法是更具備一般性、普遍性，進(jìn)而將問題教學(xué)效益最大化.

（3）說題的高級(jí)目標(biāo)，筆者對(duì)本文中的數(shù)列問題進(jìn)行了一般性的推廣，通過自身經(jīng)驗(yàn)積累、搜集加工、自行編譯一些符合數(shù)列模型的遞歸數(shù)列，利用中級(jí)目標(biāo)得到的問題解決方案和思想方法進(jìn)行更廣泛?jiǎn)栴}的開拓、更發(fā)散方向的嘗試，真正將說題效應(yīng)上升到一種“以點(diǎn)及面”的層面上，使得課堂教學(xué)效率大大提升.這里要注意把握好歸納與演繹的度，做到收斂思維與發(fā)散思維交替運(yùn)用，同化規(guī)律與順應(yīng)規(guī)律多化循環(huán)，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思維的規(guī)律、特點(diǎn)和方法，在參與思維中發(fā)展能力，在知識(shí)、規(guī)律的探索和歸納中形成創(chuàng)新意識(shí).

總之，本次說題活動(dòng)的嘗試給教師專業(yè)化素養(yǎng)發(fā)展帶來了一個(gè)全新的視角，筆者認(rèn)為我們應(yīng)該加強(qiáng)高考試題的研究，將有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題通過說題的教學(xué)形式予以展示和交流，這樣既發(fā)揮了優(yōu)秀試題的典型性，也大大提高了教師對(duì)有價(jià)值試題的研究能力，使得教學(xué)水平得到進(jìn)一步的提升.中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師孫維剛的教學(xué)觀念：“八方聯(lián)系，渾然一體，漫江碧透，魚翔淺底”！筆者想說，正是借用這樣的教學(xué)觀念，使得我們說題輔導(dǎo)教師站在更高、更系統(tǒng)的舞臺(tái)來指導(dǎo)教學(xué)，讓我們的教學(xué)之路越走越寬廣.

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2.金秀青.說題——讓數(shù)學(xué)課堂更精彩［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2009（6）.

3.羅增儒.數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟［M］.鄭州：河南科學(xué)技術(shù)出版社，1998.F