潘云蘭

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

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求重根的一類(lèi)三階迭代法*

潘云蘭

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

給出了求非線性方程重根的一類(lèi)迭代法,證明了這類(lèi)方法的三階收斂性,獲得了迭代誤差,指出了這個(gè)類(lèi)的廣泛性,即它包含了一些已知的方法.通過(guò)數(shù)值例子與一些已知方法進(jìn)行比較,說(shuō)明了新方法的有效性，即在某些情形下,新方法比一些已知方法收斂快,且在其他方法發(fā)散的情況下新方法還是以很快的速度收斂.

迭代法;收斂階;三階收斂性;重根

0 引 言

近似求解非線性方程f(x)=0在數(shù)學(xué)、物理和其他科學(xué)領(lǐng)域中具有非常重要的應(yīng)用.除少數(shù)特例外,一般都通過(guò)迭代法求解這類(lèi)問(wèn)題,即從某個(gè)或某幾個(gè)初始點(diǎn)開(kāi)始,產(chǎn)生一個(gè)逼近方程f(x)=0解的迭代序列.Newton法是最著名的方法之一，其公式為

這個(gè)方法具有2階收斂性，但它無(wú)法用于求重根.設(shè)非線性方程f(x)=0有m重根α,即f(j)(α)=0,j=0,1,…,m-1，但f(m)(α)≠0.當(dāng)重?cái)?shù)m事先不知時(shí)，由于f(x)的重根必為函數(shù)u(x)=f(x)/f′(x)的單根,故可通過(guò)對(duì)函數(shù)u(x)應(yīng)用Newton法(1)來(lái)求f(x)的重根.但此時(shí)該方法只有1階收斂性,且需要求f(x)的2階導(dǎo)數(shù)，工作量增大，效率指數(shù)降低.當(dāng)重?cái)?shù)m事先知道時(shí)，可通過(guò)修改Newton法(1)來(lái)求α,即

這個(gè)方法也具有2階收斂性.

為提高求重根迭代法的收斂階，一些學(xué)者紛紛提出了新的方法.如文獻(xiàn)[1]提出3階Halley方法：

文獻(xiàn)[2]提出3階Euler-Chebyshev方法：

文獻(xiàn)[3]給出的3階方法：

文獻(xiàn)[4]給出的3階方法：

文獻(xiàn)[5]通過(guò)對(duì)式(4)和式(5)進(jìn)行組合，給出了下面的一類(lèi)3階方法：

式(7)中,θ∈R.這個(gè)方法類(lèi)包含了下面2個(gè)新方法：

2)取θ=-1,得

文獻(xiàn)[6]也給出了一類(lèi)3階方法：

式(10)中：C,D∈R;

受以上工作的啟發(fā)，本文首先引入一類(lèi)更為廣泛的用于解非線性方程重根的3階迭代法,它包含了以上提到過(guò)的所有方法;然后，分析了它的收斂性，導(dǎo)出了它的誤差估計(jì);最后,筆者給出了這個(gè)新類(lèi)的幾種特殊情形,并利用數(shù)值例子,對(duì)引言中提到的方法和本文的新方法進(jìn)行了比較，比較結(jié)果顯示:在大多數(shù)情形下,本文的新方法具有明顯的優(yōu)勢(shì).

1 一類(lèi)新方法及其收斂性

為得到更多的解非線性方程重根的方法，引入如下更具一般性的方法類(lèi)：

式(14)中：δ,β,γ,ρ,η,λ∈R;

下面定理給出由式(14)定義的方法類(lèi)的收斂階和誤差估計(jì):

定理1設(shè)D?R是開(kāi)區(qū)間，f:D→R具有m+3階導(dǎo)數(shù)，α∈D是f(x)的一個(gè)m重根，x0充分靠近α.若

(ρ+λ+η)m2-(η+2ρ)m+ρ≠0,則由式(14)定義的方法類(lèi)是3階收斂的，其誤差可表示為

式(18)中：

N是量m,γ,ρ,η,λ,c1,c2,s1,s2,d1,d2的多項(xiàng)式，而

證明 記en=xn-α.把f(x),f′(x)和f″(x)在α處Taylor展開(kāi),得

從而

(20)

(21)

式(20)和式(21)中：

所以

(23)

由式(20)、式(22)和式(23)，可把式(14)寫(xiě)成

式(24)中：

(25)

5δλm2-βρm2-6δm3λ+βηm2+δm4ρ+δm4η+7δηm2-2βm3η-4δρm-3δηm+βρm+

2γm3ρ-5δηm3+βm4λ+βm4ρ+βm4η-3γm2ρ+γm3η+γm4λ+γm4ρ+γm4η]c1.

(26)

不難看出，要k1=0，只需

把式(27)代入式(26),再令k2=0,解出β,即得式(17).再把式(17)代入式(27)可得式(16).把式(16)和式 (17)代入式(24),經(jīng)簡(jiǎn)化可得M的表達(dá)式(19)和誤差公式(18).由條件知,M的分母不為零.定理1證畢.

2 特例與數(shù)值分析

通過(guò)調(diào)整δ,β,γ,ρ,η,λ的取值，式(14)可以給出各種各樣的迭代法.如由式(2)定義的Newton法(簡(jiǎn)記NM);由式(3)定義的Halley法(簡(jiǎn)記HM);由式(4)定義的Chebyshev法(簡(jiǎn)記CM);由式(5)定義的Osada法(簡(jiǎn)記OM);由式(6)定義的Chun-Neta法(簡(jiǎn)記CNM);由式(7)定義的Chun-Bae-Neta法(簡(jiǎn)記CHBM)及其2個(gè)特例——由式(8)定義的CHBM1法和由式(9)定義的CHBM2法;由式(10)定義的Biazar-Ghanbari法(簡(jiǎn)記BGM)和它的特例——由式(13)定義的BGM1法；以及以下2個(gè)新的方法：

1)在式(14)中,取δ=-m3,β=4m2,γ=m(m-1)2,ρ=-m2(3-m),η=-2m(m2-2m-1),λ=(m-1)2(m+1),則得以下新的3階方法(簡(jiǎn)記YXJM1):

式(28)中：Lf(x)如式(15)所定義;φ1(x)=-m3x2+4m2x+m(m-1)2;φ2(x)=-m2(3-m)x2-2m(m2-2m-1)x+(m-1)2(m+1).

式(29)中:φ3(x)=2m2x2+m(4-7m)x+(5m2-5m+2);φ4(x)=2m2x2-4m2x+2m2.

為說(shuō)明方法(14)的有效性,筆者用上面提到過(guò)的其中不含有任意參數(shù)的10種方法:NM法、HM法、CM法、OM法、CNM法、CHBM1法、CHBM2法、BGM1法、YXJM1法和YXJM2法分別求解如下2個(gè)方程的重根：

很明顯，f1(x)有4重根，f2(x)有3重根.

所有的數(shù)值計(jì)算都用數(shù)學(xué)軟件Maple 14.0在PC上進(jìn)行,并且設(shè)置128位計(jì)算精度,即(Digits:=128).本文選擇如下的迭代終止條件:1)|f(xn+1)|≤ε;或2)迭代次數(shù)n≥1 000.

本文取ε=10-32.對(duì)f1(x)分別從2個(gè)初值x0=-0.5和x0=-2進(jìn)行迭代;對(duì)f2(x)分別從2個(gè)初值x0=2和x0=1.5進(jìn)行迭代.若1)滿足，則用x*xn+1作為精確解α的近似值;若2)滿足,則認(rèn)為方法發(fā)散.把計(jì)算結(jié)果列在表2中.從表2結(jié)果可看出，本文方法比絕大多數(shù)其他方法收斂都快，且在困難情形下更有用.如當(dāng)從初值x0=-0.5出發(fā)求f1(x)的重根時(shí)，有6種方法發(fā)散,而本文的2個(gè)方法只分別用了3或4步就求得了滿足精度要求的近似解.

3 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一族新的求解非線性方程重根的3階迭代方法，這個(gè)族具有很好的廣泛性，包含了一系列已知的方法,且具有很好的魯棒性，可很快求出其他方法無(wú)法求解的一些根.本文的這些方法是單點(diǎn)單步方法.還有一些學(xué)者從多點(diǎn)和多步2個(gè)方面構(gòu)造求重根的高階迭代法.對(duì)于多點(diǎn)法，可參閱文獻(xiàn)[7]及其中的參考文獻(xiàn)；對(duì)于多步法，可參閱文獻(xiàn)[8]及其中的參考文獻(xiàn).對(duì)事先不知重?cái)?shù)的情形,高階迭代法的文獻(xiàn)并不多,筆者將在此方向做點(diǎn)工作.

[1]Neta B.New third order nonlinear solvers for multiple roots[J].Appl Math Comp,2008,202(1):162-170.

[2]Traub J F.Iterative methods for the solution of equations[M].New Jersey:Prentice Hall,1964.

[3]Osada N.An optimal multiple root-finding method of order three[J].J Comput Appl Math,1994,51(1):131-133.

[4]Chun C,Neta B.A third-order modification of Newton′s method for multiple roots[J].Appl Math Comput,2009,211(2):474-479.

[5]Chun C,Bae H,Neta B.New families of nonlinear third-order solvers for finding multiple roots[J].Comput Math Appl,2009,57(9):1574-1582.

[6]Biazar J,Ghanbari B.A new third-order family of nonlinear solvers for multiple roots[J].Comput Math Appl,2010,59(10):3315-3319.

[7]Kumar S,Kanwar V,Singh S.On some modified families of multipoint iterative methods for multiple roots of nonlinear equations[J].Appl Math Comp,2012,218(14):7382-7394.

[8]Chuna C,Neta B.Basins of attraction for several third order methods to find multiple roots of nonlinear equations[J].Appl Math Comp,2015,268(1):129-137.

(責(zé)任編輯 陶立方)

Afamilyofmultiplerootfindingmethodswithcubicalconvergence

PAN Yunlan

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

A new family of iterative methods to find multiple roots of a nonlinear equation was obtained. Third order convergence was proved for these methods and iteration errors were given. The generality of the family was presented: the family includes, as particular cases, several well known families and methods. By comparing the proposed methods with some other methods through numerical experiments, the robustness and efficiency of the new methods were shown. It was showed that the presented methods converge faster than some other methods and even converge very fast at some cases while the other methods diverge.

iterative method;convergence order;cubical convergence;multiple root

10.16218/j.issn.1001-5051.2015.04.002

2015-06-21；

：2015-09-14

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61170109)

潘云蘭(1967-),女,浙江磐安人,副教授.研究方向:數(shù)值逼近;軟件工程.

O241

：A

：1001-5051(2015)04-0366-06