周盛凡, 譚慧榮

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

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非線性薛定諤格點(diǎn)方程的指數(shù)吸引子*

周盛凡, 譚慧榮

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

主要考慮了非線性薛定諤格點(diǎn)方程的解半群在無窮序列空間l2中指數(shù)吸引子存在性的問題.在該格點(diǎn)動(dòng)力系統(tǒng)的相關(guān)結(jié)果下,進(jìn)一步證明了該格點(diǎn)動(dòng)力系統(tǒng)的解半群是Lipschitz連續(xù)的;最后,對(duì)該系統(tǒng)的解進(jìn)行了尾估計(jì),從而滿足了指數(shù)吸引子存在的充分條件,由此證明了該格點(diǎn)動(dòng)力系統(tǒng)存在指數(shù)吸引子,并且由此得到該系統(tǒng)指數(shù)吸引子分形維數(shù)的上界.

格點(diǎn)系統(tǒng);薛定諤方程;解半群;指數(shù)吸引子

0 引 言

本文考慮如下非線性薛定諤格點(diǎn)方程的初值問題:

式(1)中:un,gn∈C;λn∈R;u=(un)n∈Z;i表示虛數(shù)單位;A為耦合算子.實(shí)參數(shù)λn>0表示弱阻尼,gn表示外力.

系統(tǒng)(1)有時(shí)可看作是下面帶初值的連續(xù)非線性薛定諤方程

關(guān)于空間變量x的有限差分形式的模擬.關(guān)于非線性薛定諤方程(2)已有很多結(jié)果[1-2].

對(duì)于非線性薛定諤格點(diǎn)方程(1),Karachalios等[3]已證明它的全局吸引子的存在性;文獻(xiàn)[4]證明了系統(tǒng)(1)帶時(shí)滯項(xiàng)時(shí)全局吸引子的存在性.然而,全局吸引子吸引軌道的速度可能很慢且其維數(shù)可能也是無限的,這對(duì)實(shí)際應(yīng)用和數(shù)值模擬帶來很多困難.為此,Eden等[5]提出了指數(shù)吸引子的概念.指數(shù)吸引子是一個(gè)正不變的具有有限分形維數(shù)且指數(shù)吸引軌道的緊集,是研究動(dòng)力系統(tǒng)漸近行為的有效工具.近年來,文獻(xiàn)[6-9]分別研究了一階到二階、加權(quán)空間、Boussinesq格點(diǎn)系統(tǒng)的指數(shù)吸引子的存在性.到目前為止,關(guān)于非線性薛定諤格點(diǎn)方程(1)的指數(shù)吸引子存在性的研究尚未見報(bào)道,本文將結(jié)合文獻(xiàn)[9]給出的指數(shù)吸引子存在的判據(jù)來證明系統(tǒng)(1)存在指數(shù)吸引子.

1 預(yù)備知識(shí)

則(l2,(·,·))是一個(gè)可分的Hilbert空間.

系統(tǒng)(1)可以寫成如下等價(jià)的向量形式：

式(3)中:Au=((Au)n)n∈Z;|u|2u=(|un|2un)n∈Z;g=(gn)n∈Z.

對(duì)A,λn,gn,n∈Z作如下假設(shè)：

(H1)A:l2→l2是一個(gè)自伴有界線性算子且存在有界線性算子B:l2→l2：

使得A=BB*=B*B,其中τ是正整數(shù),b0為大于零的常數(shù),B*是B的伴隨算子.

(H3)g=(gn)n∈Z∈l2.

根據(jù)文獻(xiàn)[3]的引理2.1、引理5.1、引理5.2和定理2.1、定理3.1、定理5.1,得到

引理1假設(shè)(H1)～(H3)成立,則

1)對(duì)任意的初值u(0)∈l2,系統(tǒng)(3)存在唯一的解u(t)∈C([0,∞),l2)∩C1((0,∞),l2),映射簇

S(t):u(0)=u0∈l2→u(t)=S(t)u(0)∈l2,t≥0

生成l2上的一個(gè)連續(xù)算子半群{S(t)}t≥0.

式(4)中,M(η)是使得

成立的最小正整數(shù),而C1是與M(η)無關(guān)的常數(shù).

4)半群{S(t)}t≥0在l2中存在全局吸引子A?B0?l2.

S(t)B?B?B0, ?

定義l2上的2N+1維正交投映算子PN:?θ=(θn)n∈Z∈l2,有

根據(jù)文獻(xiàn)[9]的定理2,可得如下的指數(shù)吸引子存在的判據(jù):

引理2若存在t*>0,常數(shù)L=L(t*)>0和l2上的一個(gè)2N+1維投映算子PN,使得對(duì)?u,v∈B,有

則

2 指數(shù)吸引子

本節(jié)將用引理2證明系統(tǒng)(3)的解確定的算子半群{S(t)}t≥0在B中存在指數(shù)吸引子.

設(shè)u0,v0∈B,令

則

由式(6)得u(t),v(t)∈B?B0,‖u(t)‖≤r0,?t≥0,從而存在常數(shù)L0=L0(r0)≥0,使得

‖|u(t)|2u(t)-|v(t)|2v(t)‖≤L0‖u(t)-v(t)‖, ?t≥0.

引理3假設(shè)(H1)～(H3)成立,則對(duì)?u0,v0∈B,有

1)?t≥0,S(t):B→B是Lipschitz連續(xù)的,即

2)存在T*>0和自然數(shù)M*,使得

證明 1)用iy和式(10)作內(nèi)積并取實(shí)部,得

易得

結(jié)合式(13)～式(15),得

在[0,t]上積分,得

2)令φ∈C1(R+,R)是一個(gè)光滑的遞增函數(shù),滿足

式(19)中:

令

把式(29)代入式(28),得

引理3證畢.

根據(jù)引理2和引理3,得到本文的主要結(jié)果:

定理1假設(shè)(H1)～(H3)成立,則{S(t)}t≥0在B中存在指數(shù)吸引子A*?B,具有如下性質(zhì):

1)A*是緊的;

2)A?A*?B;

3)存在2個(gè)正常數(shù)k1和k2,使得對(duì)每個(gè)u∈B,t>0,有dist(S(t)u,A*)≤k1e-k2t;

3 結(jié) 語

本文主要證明了非線性薛定諤格點(diǎn)方程的解半群在無窮序列空間l2中存在指數(shù)吸引子及由此得到該格點(diǎn)系統(tǒng)的指數(shù)吸引子分形維數(shù)的上界,這些結(jié)果可以給非線性薛定諤方程的實(shí)際應(yīng)用和數(shù)值模擬帶來新的途徑.

[1]Goubet O.Regularity of the attractor for a weakly damped nonlinear Schr?dinger equation[J].Appl Math Lett,1996,60(1/2):99-119.

[2]Goubet O,Molinet L.Global attractor for weakly damped nonlinear Schr?dinger equations inL2(R)[J].Nonlinear Anal:Theory,Methods & Applications,2009,71(1):317-320.

[3]Karachalios N I,Yannacopoulos A N.Global existence and compact attractors for the discrete nonlinear Schr?dinger equation[J].J Differential Equations,2005,217(1):88-123.

[4]Chen Tao,Zhou Shengfan.Attractors for discrete nonlinear Schr?dinger equation with delay[J].Acta Math Appl Sinica:English Ser,2010,26(4):633-642.

[5]Eden A,Foias C,Nicolaenko B.Exponential attractors for dissipative evolution equations[J].Internat J Numer Methods Engrg,1995,38(1):881.

[6]Abdallah A Y.Exponential attractors for first-order lattice dynamical systems[J].J Math Anal Appl,2008,339(1):217-224.

[7]Abdallah A Y.Exponential attractors for second order lattice dynamical systems[J].Commun Pure Appl Anal,2009,8(1):803-813.

[8]Han Xiaoying.Exponential attractors for lattice dynamical systems in weighted spaces[J].Discrete Contin Dyn Syst Ser A,2011,31(2):445-467.

[9]Zhao Min,Zhou Shengfan.Exponential attractor for lattice system of nonlinear Boussinesq equation[J].Discrete Dyn Nat Soc,2013,2013(1):1-6.

(責(zé)任編輯 陶立方)

ExponentialattractorfornonlinearSchr?dingerlatticeequation

ZHOU Shengfan, TAN Huirong

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

It was mainly focused on the problem of the existence of an exponential attractor of the solution semigroup for the nonlinear Schr?dinger lattice equation in the infinite sequence space l2. In the case of the existence and uniqueness of the solution for the lattice dynamical system under certain conditions and the existence of a global attractor of the solution semigroup, it was proved that the solution semigroup was Lipschitz continuous, the tail of the solution was also estimated, which satisfied the sufficient conditions of an exponential attractor, thus proved its existence, the upper bound of its fractal dimension was also given.

lattice system; Schr?dinger equation; solution semigroup; exponential attractor

10.16218/j.issn.1001-5051.2015.04.001

2015-04-20；

：2015-05-27

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471290)

周盛凡(1963-),男,壯族，廣西融安人,教授,博導(dǎo).研究方向:動(dòng)力系統(tǒng)與微分方程.

O175.25

：A

：1001-5051(2015)04-0361-05