彭小玲+何友全+王瓊瑤

摘 ? 要：已有的EPQ模型常假設(shè)供應(yīng)商提供的信用期是給定的，甚至只考慮了不允許缺貨的情況。本文在允許延期支付的條件下，建立了允許缺貨的EPQ模型。最后通過算例驗(yàn)證了模型的有效性及對(duì)主要參數(shù)進(jìn)行了靈敏性分析，為供貨商和制造商做出最佳決策提供幫助。

關(guān)鍵詞：延期支付;允許缺貨;EPQ模型;信用支付策略

一、引言

隨著商業(yè)環(huán)境的不斷變化，企業(yè)之間的競爭轉(zhuǎn)化為供應(yīng)鏈與供應(yīng)鏈間的競爭。為了激發(fā)需求，供貨商就會(huì)提供給制造商一定的延期支付時(shí)間，即信用期。Goyal首先將信用支付納入到庫存模型中來。隨后，許多學(xué)者對(duì)Goyal的模型進(jìn)行了延伸探索。Teng和Min等認(rèn)為需求是一個(gè)關(guān)于時(shí)間遞增的線性函數(shù)。Lin和Ouyang等則認(rèn)為顧客的需求與信用期的長短有關(guān) 。

因?yàn)闆Q策信用期的長短對(duì)于供貨商來說起著舉足輕重的作用。湯勤深等考慮在信用期對(duì)需求的影響下，建立了分散獨(dú)立決策庫存系統(tǒng)。潘義前等在信用支付和允許缺貨條件下，建立了允許缺貨且短缺量部分延期供給的庫存模型 。

本文在文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]基礎(chǔ)上，假設(shè)需求受價(jià)格影響，在允許缺貨的情況下，建立生產(chǎn)環(huán)境下的EPQ模型，為制造商決策補(bǔ)貨周期和供貨商決策信用期提供幫助。

二、 模型建立

1.模型符號(hào)。本文是在一個(gè)訂貨周期T進(jìn)行建模及求解， Q為每次訂購的原材料量;單位原材料的采購成本是c;產(chǎn)品售價(jià)為s;每次訂貨費(fèi)用為A;單位產(chǎn)品的庫存成本為h;單位時(shí)間的產(chǎn)品需求率與價(jià)格成線性關(guān)系，，制造商的生產(chǎn)率為;為t時(shí)刻的庫存;制造商每年的利息支付率和收益率分別為Ip和Ie。供貨商提供的延期支付時(shí)間為M，向上一級(jí)采購材料的單位成本為v，每次訂貨費(fèi)用為A，供貨商每年的利息收益率為Is。

2. 模型假設(shè)。本文假設(shè)單位原材料生產(chǎn)單個(gè)產(chǎn)品，允許缺貨且缺貨全部積壓;所缺產(chǎn)品將在下一生產(chǎn)周期初開始送達(dá);供貨商提供一定的延期支付時(shí)間即信用期M給制造商;假設(shè)供貨商采用lot-for-lot（按需訂貨法）策略，。

3. 模型建立。整個(gè)生產(chǎn)-庫存過程是從t=0時(shí)刻制造商開始生產(chǎn)，在生產(chǎn)過程中滿足當(dāng)時(shí)需求的同時(shí)還擁有庫存，當(dāng)庫存達(dá)到最大時(shí)，即從t2時(shí)刻開始停止生產(chǎn)，需求消耗庫存，當(dāng)t=t3時(shí)，庫存降為0，在至T時(shí)間段中，缺貨會(huì)產(chǎn)生缺貨積壓。當(dāng)缺貨積壓達(dá)到最大允許缺貨量時(shí)進(jìn)入下一周期。

庫存水平I（t）必須滿足以下微分方程：

（1）

（2）

根據(jù)初始條件可得：

（3）

（4）

（1 ）制造商的收益函數(shù)。制造商的收益（單位周期）包括銷售收入、采購成本、訂貨費(fèi)用、庫存成本、缺貨成本、賺取利息、支付利息、其中：

a. 銷售收入=;

b. 采購成本=;

c. 訂貨費(fèi)用=;

d. 庫存成本

;

e. 缺貨成本

;

考慮M，t1和t3的大小，求賺取的利息f和支付的利息g可以分為三種情形：

①

從0時(shí)刻開始，制造商開始生產(chǎn)產(chǎn)品，既要補(bǔ)發(fā)缺貨產(chǎn)品，又要滿足時(shí)刻的需求。由于供貨商提供給制造商一定信用期M，一方面，在0至M時(shí)間內(nèi)，制造商可通過這個(gè)時(shí)間段的銷售收入來賺取利息;另一方面，從M時(shí)刻開始還得對(duì)未銷售出去的商品支付給供應(yīng)商利息，制造商單位周期賺取的利息和支付的利息分別為：

②

同情況①，單位時(shí)間賺取和支付的利息分別為f2和g2，其中：

③

同理，和情況①、②類似，又因?yàn)閺膖=t3時(shí)刻開始，制造商的庫存降為0，所以在這段時(shí)間區(qū)域內(nèi)，制造商不需要支付利息，即有：

根據(jù)以上情況，可知制造商的收益為：

=（a）-（b）-（c）-（d）-（e）+（fi）-（gi），其中i=1，2，3。

（2）供貨商的收益

由于供貨商采用的是按需定量法（lot-for-lot）策略，因此供貨商并不承擔(dān)任何庫存產(chǎn)生的持有成本，庫存成本費(fèi)用為0。所以供貨商的收益=銷售收入-采購成本-訂貨費(fèi)用-信用期內(nèi)的利息損失，即：

（3）供貨商-制造商的整體收益

供貨商-制造商的整體利潤函數(shù)為：

三、 模型分析及求解

本文采用的是Stackelberg博弈方法。首先供應(yīng)商決策，并將其反饋給制造商，然后制造商再根據(jù)供應(yīng)商的反饋再做決策。

1.供貨商決策

對(duì)于任意T，供貨商-制造商整體利潤函數(shù)JTP（M）是關(guān)于信用期M連續(xù)。為了證明JTP（M）是凸函數(shù)，及求得最優(yōu)解M，給定T，對(duì)函數(shù)JTP（M）求導(dǎo)，可求得Mi（T）。

2.制造商決策

將Mi（T）代入到中，對(duì)T求一階導(dǎo)和二階導(dǎo)，根據(jù)JMPi（M，T）的凹凸性，求得最優(yōu)解。

（1），求得：

，將代入中得 。

（2），求得

， 將代入中，可得： 。

（3），求得：

，將代入中得。

四、算例分析

假設(shè)利用Matlab10a軟件求得最優(yōu)補(bǔ)貨周期及信用期為，整體利潤為$142572。

參考文獻(xiàn)：

[1] 湯勤深，周永務(wù)，鄭倩倩. 變化信用期下易變質(zhì)品分散獨(dú)立決策供應(yīng)鏈系統(tǒng)[J].工業(yè)工程，2013，16（3）：38-44.

[2]潘義前，黃海，周優(yōu)軍. 延期支付條件下允許缺貨的變質(zhì)物品庫存模型[J]. 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2011，28（4）：34-37.

作者簡介：彭小玲（1989- ?），女，江西撫州，重慶交通大學(xué)碩士研究生，專業(yè)為系統(tǒng)工程，主要研究方向：供應(yīng)鏈系統(tǒng)優(yōu)化與決策;何友全 （1964- ?），男，湖北，重慶交通大學(xué)教授，主要研究方向：管理信息系統(tǒng)及物流工業(yè)工程;王瓊瑤（1987- ?）女，湖北黃岡，重慶交通大+學(xué)研究生，系統(tǒng)工程專業(yè)，研究方向：控制與決策