王法棟，李杰然，王瑞革

（中國人民解放軍92785部隊，河北秦 皇島 066200）

共形陣列是一種與載體表面共形的天線陣列。一般來說，共形陣列具有安裝簡化、波束掃描范圍廣、RCS小等優(yōu)點[1]。目前，現(xiàn)代飛機(jī)、導(dǎo)彈、衛(wèi)星等設(shè)備均要求采用共形陣列天線。因此，共形陣列的相關(guān)研究已受到廣泛關(guān)注。從陣列信號處理角度講，參數(shù)估計問題是共形陣列的主要問題之一。國內(nèi)外學(xué)者圍繞共形陣列的優(yōu)勢，在共形陣列信號波達(dá)方向估計（direction of arrival，DOA）計方面做了一些研究工作[2-7]。比如文獻(xiàn)[2]以圓柱共形陣列為例，采用多維MUSIC譜估計方法實現(xiàn)了DOA估計，但其需要二維譜峰搜索，運算量大，不適用于工程實際；文獻(xiàn)[3-6]通過合理劃分陣列使其滿足旋轉(zhuǎn)不變結(jié)構(gòu)，從而實現(xiàn)柱面陣列和錐面共形陣列的DOA合估計。但其方法對陣列形狀要求高，并不能適用于其他共形陣列?？梢哉f，關(guān)于共形陣列DOA估計問題還有許多值得進(jìn)一步研究的工作。本文試圖給出一種對陣列形狀限制小，估計性能良好，運算量小的共形陣列DOA估計方法。盲源分離用于陣列信號DOA估計是近幾年出現(xiàn)的方法[7]，其利用信號的統(tǒng)計獨立性實現(xiàn)信號的DOA估計。結(jié)合盲源分離的特點，本文利用JADE算法實現(xiàn)了共形陣列信號DOA估計。以圓臺共形陣列為例，對算法性能做了仿真驗證。

1 陣列結(jié)構(gòu)與數(shù)據(jù)模型

共形陣列沒有具體的陣列形狀，這里為了體現(xiàn)算法普適性，采用結(jié)構(gòu)任意的陣列，如圖1所示。陣元數(shù)為N，第n個陣元的坐標(biāo)為（pnx，pny，pnz）。

圖1 任意形狀陣列Fig.1 Arrays of arbitrary shape

假設(shè)有K個已知載頻為ω0，波長為λ的不相關(guān)窄帶信源 s1（t），s2（t），…，sK（t）入射到陣列，其入射角分別為{（θ1，φ1），（θ2，φ2），…，（θK，φK）}。 設(shè)每個陣元的極化輻射方向圖相同，但對于曲率較大的共形陣列而言，各陣元實際接收數(shù)據(jù)時會有所不同?？梢詤⒖嘉墨I(xiàn)[1]的共形陣列建模的方法，記gn（θk，φk）為第n個陣元實際接收方向圖。

第n個陣元的輸出為：

其中，sk（t）為第 k 個入射信號，其中|Ek|為幅度，Ψk為[0，2π]內(nèi)均勻分布的初始相位；rk為第k個信號的傳播矢量

nn（t）為加性噪聲矢量，其均值為零，且各陣元間互不相關(guān)。

式（1）可寫成矢量的形式

其中，

2 JADE算法共形陣列信號DOA估計

將盲源分離技術(shù)應(yīng)用到陣列信號DOA估計是近些年出現(xiàn)的方法。一般而言，可以采用基于信息論的方法、基于二階統(tǒng)計的方法和基于高階累計量的方法等。JADE算法是由Cardoso提出的一種盲源分離算法。其引入數(shù)據(jù)四階累積量矩陣組，通過對其做特征分解進(jìn)行聯(lián)合對角化，實現(xiàn)信號的盲分離。考慮JADE算法結(jié)果具有穩(wěn)健的特點，本文采用JADE算法實現(xiàn)共形陣列信號DOA估計。

通常認(rèn)為，陣元數(shù)N大于信號源數(shù)K，即有N>K。為了估計信號源個數(shù)，JADE算法首先要對陣列接收數(shù)據(jù)x（t）做白化處理，這樣可以消除各通道接收數(shù)據(jù)間的二階相關(guān)。

假設(shè)白化矩陣為W，則白化處理即是使輸出Z=WY的各分量zk（t）的方差為1，且互不相關(guān)。假設(shè)信號方差均為1，則有

這樣，可以得到

式中U=WA是個酉矩陣。

那么，流形矢量矩陣A可以由假設(shè)白化矩陣為W和酉矩陣U得到：

其中，“#”表示求偽逆。

可以看到如果求出酉矩陣U，就可獲得流形矢量矩陣A的估計，從而可以實現(xiàn)對信號DOA估計。

令白化后的數(shù)據(jù) Z為 Z=[z1，z2，…，zK]，則 Z的四階累計累積量為

記變換矩陣的第（i，j）個元素為 Fij，則

其中，mkl是矩陣 M 的第 k，l元素。 可以證明，F(xiàn)（M）是對稱矩陣。那么，F(xiàn)（M）可以分解為

式中，λ為特征值，M為特征矩陣。這樣，F(xiàn)（M）可表示為

其中，

可以發(fā)現(xiàn)，U矩陣起到將F（M）對角化的作用。如果各信號的特征值不相同，就能得到酉矩陣的估計，利用式（10）即可得到流形矢量矩陣的估計，進(jìn)而實現(xiàn)對信號的DOA估計。由于通過JADE分離得到的信號順序是不確定的，需要對分離得到的信號進(jìn)行FFT，以確定信號頻率。

下面給出算法的具體實現(xiàn)步驟：

1）對接收收據(jù)做白化處理，求得白化矩陣W；

2）選擇矩陣組M，利用白化后的數(shù)據(jù)求得四階累積量F（M）；

3 仿真實驗

實驗1采用如圖2所示的17陣元的圓臺陣共形陣列，圓臺頂層半徑R=λ/4，圓臺底角為60°。共分4層，兩層陣元間距dz=λ/4。每層陣元等角度分布，其相鄰陣元夾角30°。陣元采用有向陣元，即

其中，J0（πεsinθk）和 J2（πεsinθk）分別為零階和二階第一類貝塞爾函數(shù)。ε是由天線陣元位置和工作狀態(tài)決定的可變參數(shù)，取 ε=0.5。

圖2 共形陣列Fig.2 Conformal array

設(shè)有2個頻率為f0的空間窄帶信號源入射到陣列，其參數(shù)（θ，φ）（其中，θ代表俯仰角，φ 代表方位角）為（30°，40°）和（30°，50°），信噪比（SNR）均為 20 dB，采樣快拍數(shù)為 500，做50次蒙特卡羅仿真實驗。圖3給出了二維角度的估計結(jié)果。

從圖3看出，本文給出的算法可以有效地估計出信源的二維角度。算法對陣列形狀限制小，幾乎可以適用于任意共形陣列。

圖3 二維角度估計結(jié)果Fig.3 The result of DOA

實驗2陣列與信源設(shè)置同實驗1，采用500次快拍，進(jìn)行50次獨立實驗，圖4給出了2個信源二維角度估計結(jié)果的均方根誤差（RMSE）隨信噪比的變化曲線。

定義信源k的二維角度估計的均方根誤差為

由圖4可以看出，隨著SNR的增加，算法估計的均方根誤差逐漸減小，估計的精度逐漸提高。

圖4 二維角度估計結(jié)果的RMSE隨SNR變化曲線Fig.4 DOA RMSE versus SNR

實驗3 陣列與信源設(shè)置同實驗1，信噪比為20 dB，進(jìn)行50次獨立實驗，圖5給出了2個信源二維角度估計結(jié)果的均方根誤差（RMSE）隨采樣快拍數(shù)的變化曲線。

圖5 二維角度估計結(jié)果的RMSE隨采樣快拍數(shù)變化曲線Fig.5 DOA RMSE versus number of snapshots

由圖5可以看出，隨著采樣快拍數(shù)的增加，算法估計的均方根誤差逐漸減小，估計的精度逐漸提高。

4 結(jié)束語

本文利用盲源分離技術(shù)，給出了基于JADE盲源分離的共形陣列信號DOA估計算法。以圓臺共形陣列為例，通過仿真實驗對算法有效性進(jìn)行了驗證。算法對陣列形狀限制小，性能良好。關(guān)于共形陣列信號參數(shù)估計還有許多要做的工作，比如共形陣列信號極化、頻率參數(shù)估計問題等，還有許多值得繼續(xù)深入研究的工作。

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