徐鴻鵬，王記昌

（河南工業(yè)職業(yè)技術學院 河南 南陽 473000）

1963年美國科學院院士E.N.Lorenz在研究大氣對流時，首次給出了一個簡單的三維自治系統(tǒng)，即著名的Lorenz系統(tǒng)[1]，采用的辦法就是對Navier-Stokes方程和熱傳導方程進行Fourier級數(shù)展開進行截取前三項所得。以后，又有其他學者進行有限項截斷，得到不同模數(shù)的非線性微分方程組[2-4]?；煦缥邮窍嗫臻g中的一個點集，隨著運動時間的增加，所有軌線都趨向于它。這些混沌系統(tǒng)的全局吸引子的存在性和部分動力學行為已經被許多研究者所認識和研究。除了Lorenz系統(tǒng)族[5]之外，也存在其他混沌系統(tǒng)[6]，這些新混沌系統(tǒng)的提出和研究為混沌系統(tǒng)甚至混沌理論的應用提供了一定的理論基礎和參考價值。文獻[7]研究了Navier-Stokes方程的七模截斷的全局吸引子的存在性，并給出了部分數(shù)值模擬圖像，本文進一步考慮該系統(tǒng)，通過理論和數(shù)值方法給出了系統(tǒng)的相圖、Poincare映射圖、分岔圖等揭示系統(tǒng)的復雜動力學行為，并構造出廣義李雅普諾夫函數(shù)給出了新的全局指數(shù)吸引集的估計表達式，并給出理論計算和實際數(shù)值計算的結果比較，表明了本文方法的正確性。

1 數(shù)學模型及其主要結果

王賀元等研究的一個七模Lorenz混沌系統(tǒng)的方程為[7]:

其中（x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7）∈R7為狀態(tài)變量，R e 為系統(tǒng)實參數(shù)。

系統(tǒng)（1）在坐標變換下（x1，x2，x3，-x4，-x5，-x6，x7）保持不變，說明系統(tǒng)具有該變化下的對稱性。根據(jù)劉維爾定理，由于系統(tǒng)的平均散度所以系統(tǒng)屬于耗散系統(tǒng)，并以指數(shù)e-28t收縮，說明系統(tǒng)存在吸引子。當R e=100時，初值?。?，1，1，1，1，1，1），系統(tǒng)（1）的軌線的吸引子相圖如圖1所示。

隨著參數(shù)R e的變化，系統(tǒng)表現(xiàn)出穩(wěn)定到平衡點、極限環(huán) （周期軌或擬周期軌）和混沌吸引子等不同的非線性行為，即出現(xiàn)Hopf分叉和混沌現(xiàn)象。下面通過數(shù)值模擬給出不同于典型混沌吸引子的復雜周期軌的吸引子相圖以驗證圖4中的結論，此時R e=200。并結合Poincare映射圖來進一步加以說明，Poincare映射截面上有一些具有分形結構的密集點，說明系統(tǒng)是混沌狀態(tài)，截面上只有幾個離散的點，說明系統(tǒng)處于周期狀態(tài)或擬周期狀態(tài)。這與圖3和圖5的結論是吻合的。

圖1 系統(tǒng)（1）的軌線相圖Fig.1 Phase portrait of system （1）

圖2 系統(tǒng)（1）的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of system （1）

圖3 Poincare映射圖Fig.3 Poincare mapping diagram

圖4 系統(tǒng)（1）的復雜周期軌Fig.4 Complex periodic orbit of system （1）

2 系統(tǒng)的界估計和數(shù)值模擬

下面給出系統(tǒng)的界估計和最終有界集的結論。

圖5 系統(tǒng)（1）的Poincare映射圖Fig.5 Poincare mapping diagram of system （1）

對V沿系統(tǒng)（1）的軌線對時間求導有，

注1：本文給出的結論比文獻[7]的范圍更小，為了便于比較，采用文獻[7]的符號記法，在文獻[7]中的結論

注2：該定理不僅給出了系統(tǒng)解的最終界估計式，而且給出了系統(tǒng)（1）的軌線從吸引集外進入吸引集的速率估計表達式。

當參數(shù)R e=100時，系統(tǒng)（1）的最終界估計表達式為，Ω=數(shù)值模擬如圖15所示。

圖6 混沌吸引子的最終界Fig.6 Ultimate bound of chaotic attractor

3 結 論

本文研究了參數(shù)Re變化時系統(tǒng)（1）的部分動力學行為和全局指數(shù)吸引集，并且給出了相應的計算機仿真[9]。由于該系統(tǒng)具有豐富的動力學行為，可以為信息加密技術提供良好的信號源，因此其混沌機理的研究以及電子振蕩電路的實現(xiàn)是我們下一步研究的重點任務。

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[6]尹社會，張勇，徐鵬飛.一個三維混沌系統(tǒng)的動力學行為及反饋同步[J].江西科學，2013，31（6）:717-721.YIN She-hui，ZHANG Yong，XU Peng-fei.Dynamical analysis and feedback synchronization of a Three-dimensional Chaotic System[J].Jiangxi Science，2013，31（6）:717-721.

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