張曉磊 ， 鄭建華 ， 高 東

（1.中國科學院復雜航天系統(tǒng)電子信息技術重點實驗室 中國科學院空間科學與應用研究中心，北京 100190；2.中國科學院大學 北京 100190）

小衛(wèi)星編隊是指由兩顆或多顆小衛(wèi)星，它們之間保持一定的距離和構型，星間彼此通信，協同工作，形成一顆具有特定功能的“虛擬衛(wèi)星”[1]。該技術突破了傳統(tǒng)單顆大衛(wèi)星尺寸的限制，研發(fā)成本低，魯棒性強，并且可根據需要改變構型[2]，在全球遙感、目標跟蹤等領域具有重要的應用價值。

相對軌道的精確確定是小衛(wèi)星編隊的關鍵技術之一。目前廣泛采用的測量方式有GPS導航系統(tǒng)，激光，無線電，紅外，可見光相機等[3]。GPS系統(tǒng)測量精度高、技術成熟，但是該系統(tǒng)由美國控制，不利于我國應用。激光測距精度高，但是激光波束窄，需要額外的引導系統(tǒng)，使得系統(tǒng)構造復雜，不便于在小衛(wèi)星上應用。無線電測量距離遠、范圍廣，但是測角精度較差。紅外測量設備體積小、精度高，但只能提供測角信息?？梢姽庀鄼C能夠測距、測角，但有效作用距離較近。綜合各測量方法的優(yōu)缺點，文中采用無線電測距，紅外測角的組合測量方式。

文中研究的衛(wèi)星編隊運行軌道為圓軌道串行方式。常用來描述編隊相對運動的Hill方程是近似簡化模型，對適用對象和初始條件有一定的限制，可以證明其對于圓軌道串行編隊不再適用[4]。因此，文中以衛(wèi)星在慣性坐標系下的軌道動力學方程為基礎，推導出衛(wèi)星的相對運動動力學模型。由于測量方程為非線性方程，卡爾曼濾波（KF）適用于線性系統(tǒng)，對于非線性系統(tǒng)，需要先對其線性化，這樣會帶來截斷誤差，影響估計精度。而UKF適用于非線性系統(tǒng)，避免了線性化帶來的截斷誤差，并且不需要計算測量方程的Jacobian矩陣[5]，降低了計算復雜度。因此，文中采用UKF算法，以雙星編隊為例，進行了數字仿真，驗證了該算法的有效性。

1 坐標系定義

描述衛(wèi)星編隊相對運動需要用到慣性坐標系和相對運動坐標系，下面給出這兩種坐標系的定義。

慣性坐標系N：原點為地球地心，XN軸指向春分點方向，ZN軸垂直于赤道面指向北極，YN軸與XN軸、ZN軸滿足右手定則。

相對運動坐標系H：原點為主星的質心，XH軸從地心指向主星質心方向，YH軸垂直于XH軸，與主星運行速度方向一致，ZH軸滿足右手定則。

圖1 衛(wèi)星編隊參考坐標系Fig.1 Satellite formation reference coordinate system

2 相對軌道動力學模型

Hill方程對于圓軌道串行編隊不再適用，雖然衛(wèi)星軌道根數可以精確描述各種編隊構型的相對運動狀態(tài)，但是軌道根數和相對位置、速度間存在復雜的轉換關系，不利于編隊衛(wèi)星的實時相對狀態(tài)解算[6]。在文獻[6]中已給出適合圓軌道串行編隊的相對運動模型，并證明了其有效性，下文以衛(wèi)星編隊在慣性坐標系下的軌道動力學方程為基礎，給出該模型的詳細推導過程。

記rm，rc分別為主、從星的絕對位置矢量，在慣性坐標系N中，主、從星的軌道動力學方程為

式中：μ為地球引力常數；am，ac分別為主、從星受到的除地球中心引力場外的其他攝動力產生的攝動加速度之和。

從星相對主星的位置矢量為p=rc-rm，聯立式（1），并將其轉換到相對坐標系H中，由于主、從星的相對距離較近，所受攝動力幾乎相同，因此相對攝動加速度可忽略不計[7]。則得到非線性相對動力學方程的矢量形式

式中，ωm為主星的軌道角速度。

記θ為主星真近角點，在相對坐標系中有ρ=[x y z]T，ωm=[0 0 θ˙]T，rm=[rm0 0]T，

則由式（2）可得[8]

由于兩星運行于同一圓軌道，主星和從星的軌道半徑相等，即 rm=rc，真近角點變化率為常值，即θ¨=0，主星相對于地心的力矩為零

聯立式（3）、式（4）可得

式（5）即為編隊衛(wèi)星相對運動動力學方程的微分形式，對其求解即可得到任意時刻關于相對位置、速度解析形式的狀態(tài)方程。

3 相對軌道測量方程

測量方程可以給出測量值與編隊衛(wèi)星相對位置之間的關系，需要測量的量為星間距離ρ，從星與主星的運行軌道平面的夾角α（仰角），主從星間矢量在主星軌道平面內的投影與相對運動坐標系的y軸夾角ε（方位角），主從星間的距離ρ由無線電測量系統(tǒng)測出，仰角α和方位角ε由紅外測角系統(tǒng)測出，測量原理如圖2所示。

圖2 衛(wèi)星編隊測量原理圖Fig.2 Schematic measurement of satellites formation

根據測量幾何關系可以得出測量值與相對位置坐標的關系

4 相對軌道狀態(tài)確定的UKF算法

目前解決動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)估計問題廣泛采用KF算法，對于非線性系統(tǒng)，需要系統(tǒng)進行線性化，但是這樣會不可避免地引入截斷誤差，影響估計精度。UKF算法是在KF算法的基礎上提出來的，它廣泛適用于非線性動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)估計問題，是近年來研究的熱點。下面給出UKF算法的具體流程

首先，以相對位置、速度作為狀態(tài)量，將狀態(tài)方程和測量方程表示成如下非線性離散系統(tǒng)

式中：Wk為系統(tǒng)噪聲序列，Vk為量測噪聲序列。相對軌道狀態(tài)確定的UKF算法流程如下[9]：

1）計算 sigma點

sigma點采樣策略是UT變換算法的關鍵，Sigma點的個數、位置以及相應權值的確定，是在保證輸入變量x的分布特征的同時，使得逼近輸出某些性能指標的代價函數達到最小。本文采用對稱采樣策略，n維隨機變量x的均值為x，方差陣為Px，按如下方式選取sigma點

2）時間更新

式中：Qk為系統(tǒng)噪聲序列的方差陣；、分別為計算均值和方差所用的加權值，其值采用如下方法計算得到

式中：β包含狀態(tài)分布的先驗信息，一般在Gauss分布中，取值2為最優(yōu)。

3）測量更新

式中：Rk為量測噪聲的方差陣。

5 仿真分析

主星的軌道半徑6 878.146 km，兩星間距離約為8 km。設測量系統(tǒng)的精度參數：無線電測距精度1 cm，紅外測角精度4″。采樣周期2 s，仿真時間8 000 s。仿真結果如圖3、圖4所示。

圖3 相對位置誤差仿真結果Fig.3 Relative position error simulation results

從仿真結果可以看出，誤差曲線迅速收斂，在相對狀態(tài)估計達到穩(wěn)定后，最終相對位置確定精度優(yōu)于2 cm，相對速度確定精度優(yōu)于2×10-4m/s。

6 結 論

相對狀態(tài)的精確確定是編隊飛行的關鍵技術之一，本文提出的基于UKF算法，利用無線電測距，紅外測角的組合測量方式對小衛(wèi)星編隊相對狀態(tài)進行自主確定。通過仿真結果表明，該算法收斂速度快、精度高，能夠實現對圓軌道串行小衛(wèi)星編隊相對狀態(tài)的精確自主確定。

圖4 相對速度誤差仿真結果Fig.4 Relative velocity error of the simulation results

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