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        神奇的“小叉”:尺規(guī)作出三角形

        2015-01-28 16:25:51薛競舟
        初中生世界·八年級 2015年10期
        關(guān)鍵詞:尺規(guī)作法所求

        薛競舟

        剛開始學(xué)習(xí)幾何,老師就教給我們各種尺規(guī)作圖的方法,以前只是模仿操作,很多作法的依據(jù)老師并不深入講解,只說“等你們學(xué)習(xí)了全等之后就會(huì)明白”,我總是對作圖中最后出現(xiàn)的那個(gè)神奇的“小叉”特別好奇.待到本章學(xué)完全等,再看之前有些尺規(guī)作圖,原來角平分線、垂線、復(fù)制角等操作的理由都來自全等三角形.下面我再把教材中提到的一些作三角形的方法整理一下,看看作圖過程中那個(gè)神奇的“小叉”是如何出來的!

        情形1:已知三邊作三角形

        己知一個(gè)三角形三條邊分別為a,b,c求作這個(gè)三角形.

        作法步驟:先作線段BA=c,分別以B,A為圓心,a,b為半徑畫弧交于C,連接AC,BC,則△ABC即為所求.

        作法依據(jù):最后得出的三角形三個(gè)頂點(diǎn)都被唯一確定,根據(jù)SSS,只要按上述作圖保證了三邊相等,則兩個(gè)三角形一定全等.

        情形2:已知兩邊及其夾角作三角形

        已知一個(gè)三角形的兩條邊長分別是1 cm和2 cm,這兩條邊的夾角為40°(如圖3).請作出一個(gè)滿足題設(shè)條件的三角形.

        作法步驟:如圖4,先作∠MAN=40°,在AM、AN上分別取AB=2cm,AC=1cm,連結(jié)BC,則△ABC即為所求.

        作法依據(jù):這個(gè)作法的關(guān)鍵在于復(fù)制∠MAN=40°,那個(gè)神奇的小叉就是尺規(guī)作角的特征之一,本題作法的依據(jù)是“SAS”證明全等.

        情形3:已知兩角及其夾邊作三角形

        已知一個(gè)三角形的兩角分別為∠a、∠β,夾邊為a,求作這個(gè)三角形.

        作法步驟:如圖6,先作線段AB=a,再分別以A、B點(diǎn)為頂點(diǎn),射線AB、BA為一邊,在AB的同一側(cè)作∠DAB=∠a,∠EBA=∠β,AD,BE交于C點(diǎn),則△ABC即為所求.

        作法依據(jù):跟“情形1”一樣,這里關(guān)鍵是復(fù)制兩次角,∠a、∠β,依據(jù)仍然是SSS復(fù)制角;然而作圖的順序跟“情形1”不同,先作出線段AB=a,可以明確三角形的兩個(gè)頂點(diǎn).

        情形4:已知一直角邊、斜邊作直角三角形

        如圖7,已知線段c、b(c>b).

        求作:△ABC,使∠C=90°,AB=c,AC=b.

        作法:第一步:作直線MN,并在直線MN上取點(diǎn)C;

        第二步:作平角MCN的平分線CE;

        第三步:在射線CE上截取CA=b;

        第四步:以A為圓心,c為半徑畫弧交直線CM于B點(diǎn);

        第五步:連接AB.則△ABC就是所求作的三角形(如圖8).

        作法依據(jù):上面的作法中作垂直比較費(fèi)事,其實(shí)可以看成是作一個(gè)平角的角平分線.

        教師點(diǎn)評:尺規(guī)作圖問題是平面幾何的經(jīng)典,需要合理安排作圖次序.如果做一些人文的聯(lián)想,有點(diǎn)類似于中國古代建筑中的某些木作結(jié)構(gòu),工序的先后往往決定了成敗.在一定意義上說,尺規(guī)作圖也是這樣.小作者在上文中提到四種作三角形的情形,還只是最為基本的作三角形問題,有興趣的同學(xué)還可以深入思考一些較為復(fù)雜的作三角形問題,這里不妨提供一例,供挑戰(zhàn).

        挑戰(zhàn)作圖題:已知線段a,b,h. 求作△ABC,使BC=a,AC=b,AC邊上的高BD=h.

        提示:先作出Rt△BCD,滿足斜邊BC=a,直角邊BD=h,再將CD延長到A,使CA=b,連接AB,所以△ABC為所求.(這里第一次作出的Rt△BCD,常常被稱之為“奠基三角形”.)

        (指導(dǎo)教師:江海人)

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