周紅娟

我們知道，蘇科版八年級數(shù)學(xué)教材第14頁把“SAS”作為第一個基本事實推出之后，連續(xù)安排3個例題鞏固訓(xùn)練這種判定方法，這足以說明該判定方法的重要性，也說明“SAS”在不同的圖形、不同條件下會有不同的探究方法，同學(xué)們研習(xí)教材時也應(yīng)有這樣發(fā)現(xiàn)的眼光.下面我們?nèi)匀粐@“SAS”列舉三種不同于教材的圖形，幫助同學(xué)們鞏固這種判定方法.

情形一 簡單組合“SAS”條件進(jìn)行判定

例1 已知：如圖1，E是BC的中點，∠1=∠2，AE=DE.

求證：AB=DC.

【分析】就本題圖形與已知條件來看，要證得AB=DC，只要證得兩個三角形全等即可. 從所給的條件來看，已知中直接給定了一組角與一組邊對應(yīng)相等，好像少一組邊對應(yīng)相等，實際上∠1=∠2的另一組夾邊以“E是BC的中點”的形式給出了，這三個條件基本上是以比較直接的形式給出的，具體證明只要簡單組合一下這三個條件就可以了.

證明：∵E是BC的中點，

∴BE=CE.

在△ABE和△DCE中，

∵BE=CE，∠1=∠2，AE=DE，

∴△ABE≌△DCE.

∴AB=DC.

【反思】這種只要直接組合已知條件證明三角形全等的題主要考查基礎(chǔ)知識，給出證明時注意幾何語句的書寫規(guī)范.

情形二 探尋“夾角”相等實現(xiàn)“SAS”判定

例2 已知：如圖2，OP是∠AOC和∠BOD的平分線，OA=OC，OB=OD.

求證：AB=CD.

【分析】由題意，我們只要證得△AOB≌△COD即可得到結(jié)論.這兩個三角形全等的條件已直接給出了兩組邊對應(yīng)相等，是不是能找到它們的夾角呢？顯然，題目已知條件給了“OP是∠AOC和∠BOD的平分線”，能給我們以幫助，可以得到∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，進(jìn)而由角的差可以得到兩個三角形的∠AOB=∠COD，從而獲得三角形全等的必要條件.

證明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分線，

∴ ∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP.

∴∠AOB=∠COD.

在△AOB和△COD中，

OA=OC，

∠AOB=∠COD，

OB=OD，

∴△AOB≌△COD. ∴AB=CD.

【反思】本題也是比較典型的考查全等三角形的基礎(chǔ)問題，只要經(jīng)過簡單的探究就能得到一個間接給出的有效條件從而實現(xiàn)問題的解決，解題時注意題目中一些間接信息的轉(zhuǎn)譯，一些間接信息是發(fā)現(xiàn)有效條件的來源.

情形三 探尋一組“有效的邊”相等應(yīng)用“SAS”判定

例3 如圖，點C，E，B，F(xiàn)在同一直線上，∠C=∠F，AC=DF，EC=BF.求證：△ABC≌△DEF.

【分析】由題意，題中直接給出一組對應(yīng)角、一組對應(yīng)邊相等，還差一組對應(yīng)邊（BC=EF）就可以應(yīng)用“SAS”判定兩個三角形全等了.觀察所給的條件EC=BF，我們可以利用線段的和得到有效的一組對應(yīng)邊BC=EF，于是問題獲得解決.

證明：∵EC=BF，

∴EC+BE=BF+BE，即BC=EF.

在△ABC與△DEF中，

AC=DF，

∠C=∠F，

BC=EF，

∴△ABC≌△DEF（SAS）.

【反思】本題尋找另一組“有效的對應(yīng)邊”也是通過題目中間接信息得出的，這種給出一組非對應(yīng)邊的線段相等，從而根據(jù)線段的和及等式性質(zhì)得到對應(yīng)邊相等的解題思路（或意識）是非常重要的，同學(xué)們要注意積累.

最后鏈接一道新考題，幫助同學(xué)們鞏固本文所講內(nèi)容.

小試牛刀

（2015·重慶卷）如圖4，△ABC和△EFD分別在線段AE的兩側(cè)，點C，D在線段AE上，AC=DE，AB∥EF. 求證：BC=FD.

（作者單位：江蘇省南通市第一初級中學(xué)）