楊勇

摘 要 任何周期性函數(shù)都可以表示為三角函數(shù)所構(gòu)成的級(jí)數(shù)之和。將方波或三角波通過RLC串聯(lián)諧振回路分解為基波及各諧波的迭加，并用示波器顯示基波和各次諧波的相對(duì)振幅和相對(duì)相位。也可以利用加法器將一組可調(diào)振幅和相位的正弦波信號(hào)合成為方波或三角波。

關(guān)鍵詞 傅立葉分解與合成 諧波 諧振回路

中圖分類號(hào)：O4-33 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2015.01.072

1 周期函數(shù)的傅立葉分析

任何周期為（ = ）的函數(shù)（）都可以表示為：

（） = + （ + ）

將周期函數(shù)（）按上式展開，其物理意義是把一個(gè)比較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)看成許多不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。在電工學(xué)上，這種展開稱為諧波分析。其中，第一項(xiàng)稱為（）的直流分量，為角頻率，（ + ）稱為一次諧波，又叫做基波，而（2 + ），（3 + ）等依次稱為二次諧波，三次諧波。所謂周期性函數(shù)的傅立葉分解就是將周期性函數(shù)展開成直流分量，基波和所有階諧波的迭加。例如，方波函數(shù)

數(shù)學(xué)上可以證明此方波表示為：

（） = （ + 3 + 5 + 7 + ……） = （）[（）]

由上式中可知，方波由一系列正弦波（奇函數(shù)）合成，沒有常數(shù)項(xiàng)。這一系列正弦波振幅為1：：：，它們的初相位同相。

2 周期性波形傅立葉分解的選頻電路

我們用RLC串聯(lián)諧振電路作為選頻電路，對(duì)方波或三角波進(jìn)行頻譜分解。然后在示波器上顯示這些被分解的波形，測(cè)量它們的相對(duì)振幅。我們還可以用一參考正弦波與被分解出的波形構(gòu)成李薩如圖形，確定基波與各次諧波的初相位關(guān)系。實(shí)驗(yàn)原理如圖1所示：

圖1 波形分解的RLC串聯(lián)電路

這是一個(gè)簡(jiǎn)單的RLC電路，其中、是可變的。一般取0.1H ～1H的范圍。在選頻電路中輸入一正弦信號(hào)，當(dāng)輸入信號(hào)的角頻率等于電路的諧振角頻率（諧振角頻率）時(shí)，此時(shí)通過電路的電流幅值最大，因而，電路中兩端的電壓幅值也最大，對(duì)于不同頻率的正弦輸入信號(hào)，可改變電路的值，即改變電路的諧振來獲得諧振。因此當(dāng)方波輸入RLC串聯(lián)電路時(shí)，只要逐步改變值，即可將其中不同頻率的簡(jiǎn)諧波成分選擇出來。RLC串聯(lián)電路的頻帶寬度可用品質(zhì)因數(shù)值來表示： = 。式中，為電感的損耗電阻，它的值與通過電流的頻率有關(guān)。值越大，諧振曲線越尖，選頻性能越好，所以實(shí)驗(yàn)中我們應(yīng)該選擇值足夠大，大到足夠?qū)⒒ㄅc各次諧波分離出來。如果我們調(diào)節(jié)可變電容，在頻率諧振，將從方波信號(hào)中選擇出第次諧波。它的值為：（） = 。這時(shí)電阻兩端電壓為：（） = （ + ）。

此式中 = = 0（為串聯(lián)電路感抗和容抗之和；在諧振狀態(tài)時(shí) = 0）。 = ，為電路中電流的幅值，為串聯(lián)電路的總阻抗。所以

（） = （） （1）

此時(shí)，阻抗 = + + + = + + 。其中，為方波或三角波電源的內(nèi)阻；為取樣電阻；為電感的損耗電阻；為標(biāo)準(zhǔn)電容的損耗電阻（值常因較小而忽略）。

由于電感用良導(dǎo)體纏繞而成，由于趨膚效應(yīng)，電感阻值隨頻率的增加而增加?？傋杩挂搽S之增加，取樣電阻上的輸出幅值不再與次諧波的幅值成正比。為消除此系統(tǒng)誤差，我們要對(duì)各次諧波振幅的測(cè)量值進(jìn)行校正。設(shè)基波下的電壓輸出幅值為，電感的損耗電阻為，總阻值 = + + ，第次諧波下的電壓輸出幅值為，電感的損耗電阻為，總阻值 = + + ，則由（1）式得：

（2）

從（2）式中解出次諧波的幅值與基波幅值之比為：

因此校正后的電壓值為

（3）

3 實(shí)驗(yàn)過程及結(jié)果觀察

3.1 方波的傅立葉分解

（1）計(jì)算RLC串聯(lián)電路對(duì)1KHz，3KHz，5KHz正弦波諧振時(shí)的電容值C1C3C5的理論值。由諧振角頻率和 = 2，可計(jì)算 = 。

（2）連接線路，按圖2接好線路。取樣電阻R上的電壓信號(hào)輸入到示波器CH2（Y）通道上，選擇CH2（Y）通道適當(dāng)?shù)钠D(zhuǎn)因數(shù)（volts/div），適當(dāng)?shù)乃綊呙杷俾剩╯ec/div），逐步改變電容值，可在示波器上觀察到諧振狀態(tài)時(shí)R兩端的各諧波信號(hào)為正弦波。

圖2 方波信號(hào)傅立葉分解接線示意圖

（3）將傅立葉分解合成儀1kHz參考正弦信號(hào)輸入到示波器CH1（X）通道，掃描速率（sec/div）旋鈕置于X-Y（逆時(shí)針旋到底），與分解出的信號(hào)（在示波器Y通道）可構(gòu)成李薩如圖形。

3.2 方波的傅立葉級(jí)數(shù)合成

（1）將1KHz正弦波（直接而不經(jīng)加法器）輸入示波器CH1（X）通道，而CH2（Y）通道分別輸入1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波，掃描速率（sec/div）旋鈕置于X-Y（逆時(shí)針旋到底），調(diào)節(jié)3KHz、5KHz、7KHz各諧波的相位，使之與1kHz的諧波同相，再觀察其他倍頻信號(hào)與參考信號(hào)的相位關(guān)系，見圖3。

圖3 基波和各諧波同相時(shí)合成的李薩如圖形

（2）調(diào)節(jié)1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波振幅比為1：：：。（3）將1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波逐次輸入加法器，觀察合成波形變化，可以看到：（1）合成的方波振幅與它的基波振幅比為1：；（2）基波上迭加諧波越多，越趨近于方波。（3）迭加諧波越多，合成方波前沿、后沿越陡直。

參考文獻(xiàn)

[1] 曾陽琳，唐孟希.用實(shí)驗(yàn)觀察周期函數(shù)的傅里葉分解[J].物理實(shí)驗(yàn)，2001（1）.

[2] 沈元華等.基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)[M].高等教育出版社，2003.