張宏建，黃志剛，李夢林

（北京工商大學(xué) 材料與機(jī)械工程學(xué)院，北京 100048）

0 引言

功能梯度材料（FGM）是一種由兩種或兩種以上性質(zhì)完全不同的材料組成的新型復(fù)合材料，其各組分材料所占的體積分量隨空間位置的改變呈連續(xù)變化，其宏觀物性系數(shù)也表現(xiàn)出隨空間位置連續(xù)變化的性質(zhì)。根據(jù)結(jié)構(gòu)使用要求，基于計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和優(yōu)化，應(yīng)用先進(jìn)材料制作工藝將兩種或兩種以上性質(zhì)完全不同的材料組合在一起，以達(dá)到不同材料優(yōu)點(diǎn)充分體現(xiàn)的目的。合成的結(jié)構(gòu)在內(nèi)部材料性質(zhì)和組分具有連續(xù)梯度變化的性質(zhì)，在外力或溫度變化作用下，結(jié)構(gòu)的性質(zhì)和功能也會呈梯度變化[1，2]。

由于功能梯度材料（簡稱FGM）在航空、航天以及核反應(yīng)堆等超高溫工作環(huán)境中的應(yīng)用日益廣泛，分析該材料組成物體的熱傳導(dǎo)問題十分重要[3，4]。許楊健[5，6]等用有限元法和有限差分法研究了FGM 板在第一類和第三類熱邊界作用下的常物性和變物性瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題。Jin Zhihe[7]等研究了有限冷卻/加熱率下FGM 板熱傳導(dǎo)問題的漸近解。本文應(yīng)用有限單元法求解該問題，主要研究了三側(cè)恒溫下組分對常物性2D-FGM 板瞬態(tài)加熱溫度場的影響。

1 分析模型與描述

研究常物性二維FGM 平板在不同邊界溫度函數(shù)作用下的溫度場分布。其熱傳導(dǎo)微分方程可通過熱力學(xué)第一定律來建立，即結(jié)構(gòu)中一微元體由于溫度變化產(chǎn)生的熱量等于外熱源傳入微元體的熱量和內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量之和?？杀硎緸椋?/p>

式中：dQch—儲存到微元體中的熱量；dQsh—內(nèi)部熱源提供的熱量；dQT—微元體升溫所需的熱量。

模型圖如圖1 所示。單位時間傳入微元體熱量dQch=單位時間微元體熱源生成熱量dQsh=qvdxdy；式中：qv—熱源強(qiáng)度；單位時間微元體溫度改變所需熱量式中，ρ—微元體密度（kg/m3）；cρ—微元體的定壓比熱（J/（kg·K））。微元體熱傳導(dǎo)微分方程可表示如下：

圖1 熱傳導(dǎo)微分方程推導(dǎo)模型Fig.1 The applied model of twodimensional heat conduction equation

將式（2）左右兩側(cè)同時對研究區(qū)域積分，結(jié)構(gòu)熱傳導(dǎo)微分方程如下：

式中：kx，ky—熱導(dǎo)率。

2 算例與分析

2.1 模型選取

以圖2 所示，由Al 1100，Ti-6Al-4V 和ZrO2三種材料組成的二維金屬/金屬/陶瓷FGM 平板為主要研究模型，研究第一類換熱邊界條件下模型的瞬態(tài)溫度場分布以及組分對板的影響。本文結(jié)合FGM 實(shí)際應(yīng)用環(huán)境和邊界條件對研究模型作如下假設(shè)：

（1）二維功能梯度板上邊界為陶瓷ZrO2材料，下邊界左面是金屬Al 1100 材料，右面是金屬Ti-6Al-4V 材料，其物性系數(shù)是坐標(biāo)x，y 的連續(xù)函數(shù)。

（2）該板的加熱邊界條件為：初始溫度為已知值T0，突然在四周邊界施加第一類換熱邊界條件為Ta，Tb，Tc以及Td。

圖2 第一類換熱邊界條件下的2D-FGM 板Fig.2 The first kind of heat transfer boundary conditions of 2D-FGM plates

（3）該板周邊絕熱，內(nèi)部無內(nèi)熱源。

該分析模型寬度為l，厚度為b。模型與坐標(biāo)系選取如圖2 所示。

2.2 有限元解析解

將平面離散成N 個三角形單元，單元面積為S，三個節(jié)點(diǎn)按逆時針轉(zhuǎn)向以i，j，k 表示。時間過程劃分為n個間隔△tn，n=2，3，…，N。全部節(jié)點(diǎn)在瞬時tn-1的溫度值為Tn-1。在△tn內(nèi)，在對流換熱邊界條件下，常物性FGM 板瞬態(tài)溫度場熱傳導(dǎo)問題的有限元基本方程[8]為：

2.3 正確性檢驗(yàn)

設(shè)平面矩形區(qū)域?qū)挒閘=40mm，厚為b=10mm。矩形區(qū)域四周均作用第一類邊界條件0K，初始溫度為300K。根據(jù)有限元基本方程，使用Fortran 計(jì)算機(jī)高級語言編寫了平面網(wǎng)格自動劃分程序和常物性FGM 平面熱傳導(dǎo)有限元計(jì)算程序，將矩形區(qū)域劃分為1701 個節(jié)點(diǎn)，3200 個單元。并應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法得到簡化后的解析結(jié)果，與有限元程序結(jié)果進(jìn)行對比，檢驗(yàn)研究結(jié)果的正確性。

表中FEM 表示有限元解，MAM 表示數(shù)學(xué)分析解，并選取了平面區(qū)域水平中線上7 個點(diǎn)的溫度值。計(jì)算t=1.0s，3.0s，5.0s 時該研究模型特殊非均勻材料平面溫度場。

表1 溫度場正確性檢驗(yàn)Tab.1Testifyingtemperaturedistributionaccuracy

從以上誤差分析可知，在每一時刻兩種熱傳導(dǎo)解的最大誤差都遠(yuǎn)小于5%，這是可以滿足工程要求的。

3 結(jié)果與討論

上邊界加熱溫度Tb為900K，左右下邊界溫度值Tc、Td和Ta取300K 時，初始溫度為300K，t=1.0s 時刻形狀分布系數(shù)mx對板影響的溫度場結(jié)果如圖3 所示。

（1）2D-FGM 板平面幾何結(jié)構(gòu)及其外在溫度載荷關(guān)于軸對稱，在不同組分形狀分布系數(shù)下，系數(shù)由小到大，瞬態(tài)溫度場分布圖3（a）～（c），由關(guān)于軸a=0.5 對稱變?yōu)榉菍ΨQ再到對稱。

圖3 mx對板影響圖Fig.3 mxeffects on board

（2）隨著組分形狀分布系數(shù)的遞增，圖示溫度分布線條稀疏程度越來越稀。

（3）隨著系數(shù)的增加，2D-FGM 板內(nèi)部的高溫區(qū)不斷向兩側(cè)和下側(cè)逐步擴(kuò)展。

4 結(jié)論

使用Fortran 計(jì)算機(jī)高級語言對常物性FGM 平面熱傳導(dǎo)問題的有限元算法進(jìn)行了程序編寫，并應(yīng)用解析方法對該計(jì)算程序進(jìn)行了正確性檢驗(yàn)。

組分形狀分布系數(shù)mx對2D-FGM 熱傳導(dǎo)性能的影響巨大，加熱時mx從0.05 增加到10.0 導(dǎo)致結(jié)構(gòu)內(nèi)部最低等溫線值提高了62%。該參數(shù)能迅速提升2D-FGM 的熱傳導(dǎo)能力：在加熱情況下，隨著mx增大，t=1.0s 時刻的區(qū)域最內(nèi)部等溫線值會不斷攀升。

[1]鄭子樵，粱叔全．功能梯度材料的研究與展望[J]．功能材料，1992，1.

[2]季孟波，洪燕，何安國，等．功能梯度材料及其復(fù)合電鍍制備現(xiàn)狀與進(jìn)展[J]．電鍍與精飾，2005，5.

[3]韓杰才，徐麗，王保林，等．梯度功能材料的研究進(jìn)展及展望[J].固體火箭技術(shù)，2004，3.

[4]仲政，吳林志，陳偉球．功能梯度材料與結(jié)構(gòu)的若干力學(xué)問題研究進(jìn)展[J].力學(xué)進(jìn)展，2010，5.

[5]許楊健，涂代惠.對流換熱邊界下變物性梯度功能材料板瞬態(tài)溫度場有限元分析[J].復(fù)合材料學(xué)報(bào)，2003，2.

[6]許楊健，趙志崗.梯度功能材料板瞬態(tài)溫度場有限元分析[J].功能材料，1999，1.

[7]JIN Z H. Heat conduction in a functionally graded plate subjected to finite cooling/heating rates:an asymptotic solution [J].Materials，2011，12.

[8]王洪綱．熱彈性力學(xué)概論[M]．北京：清華大學(xué)出版社，1989．