劉福才，高靜方，賈曉菁

(燕山大學工業(yè)計算機控制工程河北省重點實驗室，秦皇島066004)

0 引言

空間機械臂作為太空的重要工具，是我國進一步發(fā)展空間技術(shù)，實現(xiàn)空間站建造、運營、維修及拓展過程中不可或缺的關(guān)鍵設(shè)備之一。實際系統(tǒng)的機械臂關(guān)節(jié)處在外界載荷作用下產(chǎn)生復(fù)雜的微觀力學現(xiàn)象，導(dǎo)致關(guān)節(jié)機構(gòu)的力學表現(xiàn)出強烈的非線性特征?？臻g機器人模型中存在關(guān)節(jié)柔性，這種現(xiàn)象在具有諧波傳動裝置的空間機械臂中尤其明顯，即使采用行星齒輪驅(qū)動部件的空間機械臂，仍會表現(xiàn)出相當大的關(guān)節(jié)柔性影響。柔性關(guān)節(jié)會給控制系統(tǒng)帶來滯后、非線性耦合和高頻諧振等問題［1］;Good等［2］通過實驗發(fā)現(xiàn)關(guān)節(jié)柔性是設(shè)計機器人高精度軌跡跟蹤控制器的障礙;Cetinkunt等［3］通過實驗證明，忽略柔性關(guān)節(jié)影響設(shè)計的控制器在實際應(yīng)用時存在問題，可能導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。

目前很多文獻針對柔性關(guān)節(jié)機器人進行了控制研究，主要的控制方法有奇異攝動方法、反饋線性化方法、無源性設(shè)計方法、級聯(lián)系統(tǒng)法和反步法等，采用的是關(guān)節(jié)空間控制器設(shè)計的方案［4－6］。文獻［4］對柔性關(guān)節(jié)控制提出了非線性解耦方法，給出了全局線性化的變換方程;文獻［5］基于反步法設(shè)計了自適應(yīng)模糊控制器，并通過實驗證實具有良好的跟蹤效果。這些控制器中需要計算動力學模型中慣性矩陣的逆，計算復(fù)雜;文獻［6］基于無源性理論為柔性關(guān)節(jié)機器人設(shè)計了控制器，具有算法簡單、有效減小力矩抖動和穩(wěn)態(tài)精度高的優(yōu)點，但加減速過程中跟蹤誤差較大。

機器人末端位置定義在任務(wù)空間，而關(guān)節(jié)空間的控制方案并不反饋末端執(zhí)行器在任務(wù)空間中的位置和速度，實質(zhì)上是一種開環(huán)控制。并且關(guān)節(jié)空間控制器局限于必須通過運動學逆解獲得關(guān)節(jié)空間的控制量。一些學者對機器人任務(wù)空間控制進行了研究［7－9］，文獻［7］為自由漂浮空間機器人設(shè)計了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒智能控制器;文獻［8］為機器人設(shè)計了任務(wù)空間自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器。這些控制方法有良好的控制效果，但忽略了柔性關(guān)節(jié)影響。文獻［9］對柔性關(guān)節(jié)模型進行了深入研究，采用基于奇異攝動的控制方法，為任務(wù)空間的柔性關(guān)節(jié)空間機器人設(shè)計了改進的簡單自適應(yīng)控制器(MSAC)，但是并沒有考慮重力對空間機械臂控制的影響。

應(yīng)用于空間作業(yè)的柔性關(guān)節(jié)機器人首先要經(jīng)歷地面裝調(diào)的階段，文獻［10］提到，雖然地面裝調(diào)可在人為模擬的微重力環(huán)境下進行，但目前的技術(shù)仍無法進行長時有效的微重力環(huán)境模擬。利用自由落體及飛機拋物線飛行只能進行短時微重力環(huán)境模擬，水槽、懸吊、氣浮等手段模擬的真實性較差，因此提出了采用運動行為模擬代替環(huán)境模擬的概念?？紤]重力變化影響的空間機械臂控制已有一定的研究，文獻［11］針對這種環(huán)境變化因素采取了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制算法，使控制器能夠適應(yīng)環(huán)境的變化，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的算法避免了一般自適應(yīng)算法中回歸矩陣的計算;文獻［12］在此基礎(chǔ)上考慮了系統(tǒng)的外部擾動問題，并設(shè)計了自抗擾控制器能夠獲得良好的跟蹤效果;文獻［13］針對系統(tǒng)擾動設(shè)計了滑?？刂破?，抖動抑制能力強，具有很強的魯棒性。但是這些文獻并沒有考慮柔性關(guān)節(jié)的影響，模型過于理想;而且在控制上都采用了基于關(guān)節(jié)空間的控制方案，理論上沒有任務(wù)空間控制效果好。因此，本文將重力項視為系統(tǒng)的不確定項，并考慮柔性關(guān)節(jié)影響，針對空間機械臂提出一種基于奇異攝動的任務(wù)空間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制算法，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)算法對不確定項進行逼近。本文對于慢子系統(tǒng)采用基于任務(wù)空間控制的設(shè)計方法，即先將降階系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到任務(wù)空間進行自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器的設(shè)計，然后在設(shè)計好的控制器基礎(chǔ)上左乘雅克比矩陣的轉(zhuǎn)置，將力矩轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)空間，完成對慢子系統(tǒng)的設(shè)計。對于快子系統(tǒng)采用力矩反饋保證系統(tǒng)的穩(wěn)定。

1 預(yù)備知識

1．1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以表示為:

式中:m是節(jié)點數(shù)，x∈Ωx?Rn是網(wǎng)絡(luò)的輸入信號，si(x)(i=1，2，…，m)是徑向基函數(shù)，W=［w1，…，wm］T∈Rm為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值。通常徑向基函數(shù)選擇為高斯函數(shù):

式中:ci為中心點，σi為基寬度。文中出現(xiàn)的向量范數(shù)均為2范數(shù)。

對于一個連續(xù)函數(shù)f(x)，如果徑向基函數(shù)確定，選取足夠多的節(jié)點并適當構(gòu)建基寬度和節(jié)點中心，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以任意精度逼近該函數(shù):

式中:W*表示對f(x)最佳逼近的權(quán)值矩陣，δ(x)為逼近誤差。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的局部特性表明，對于緊集Ωx中任意有界軌跡xξ(t)，位于其局部區(qū)域內(nèi)神經(jīng)元仍可以以有限的數(shù)目逼近連續(xù)函數(shù)f(x)。

1．2動力學模型

第i個柔性關(guān)節(jié)示意圖如圖1所示。根據(jù)Spong的假設(shè)［14］，柔性關(guān)節(jié)看作由電機和連桿及連接它們的彈簧阻尼系統(tǒng)組成，每個關(guān)節(jié)被看作是具有常值剛度的線性扭轉(zhuǎn)彈簧，由此得到的柔性關(guān)節(jié)機械臂動力學包含兩個二階微分方程。qm∈Rn為電機軸角位移矢量，qr∈Rn是關(guān)節(jié)角位移矢量，彈性連接軸振動矢量定義為qr－qm?？紤]關(guān)節(jié)柔性影響時，在動能項中加入轉(zhuǎn)子的動能，并考慮柔性關(guān)節(jié)具有的彈性勢能。

圖1 柔性關(guān)節(jié)簡化模型Fig．1 The map of the simplified flexible-joint model

在空間處于自由漂浮狀態(tài)，依據(jù)拉格朗日方程對系統(tǒng)建模，可以得到載體位置、姿態(tài)均不受控時柔性關(guān)節(jié)空間機器人欠驅(qū)動形式的動力學方程如下:

式中:Jm為電機轉(zhuǎn)動慣量矩陣，具有正定對稱性質(zhì)，K為關(guān)節(jié)剛度系數(shù)矩陣，M(q)∈R(n+6)×(n+6)為系統(tǒng)的慣性矩陣為離心力和哥氏力矩陣，qb∈R6表示載體的位置和姿態(tài)，τm為電機輸出的驅(qū)動力矩。利用動量守恒原理［15］，可以推出完全驅(qū)動形式的動力學方程:

式中:Mc∈Rn×n，Cc∈Rn×n，q=qr∈Rn。空間機器人在地面進行模擬實驗時，考慮重力的影響，柔性關(guān)節(jié)空間機器人從地面實驗到空間階段，動力學方程可以表示為如下形式:

Gc因重力環(huán)境變化而變化，在這里視為不確定干擾量。在該模型中，桿的動力學和執(zhí)行機構(gòu)動力學通過彈性力矩項K(qm－q)耦合。

2 控制器設(shè)計與分析

2．1奇異攝動降階處理

奇異攝動控制的思想是，將系統(tǒng)按時間尺度分解成快慢兩個子系統(tǒng)，一般形式的非線性奇異攝動系統(tǒng)狀態(tài)方程如式(10)所示，

式中:ε為攝動參數(shù)。快子系統(tǒng)控制器設(shè)計時假設(shè)系統(tǒng)慢變量為常數(shù);慢子系統(tǒng)設(shè)計時，令ε=0，忽略快子系統(tǒng)。如果慢、快子系統(tǒng)均是穩(wěn)定的，則攝動參數(shù)比存在一個穩(wěn)定上界，在此范圍內(nèi)，奇異攝動系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

基于奇異攝動方法，將柔性關(guān)節(jié)空間機器人進行快慢系統(tǒng)劃分，分解為降階系統(tǒng)和邊界層系統(tǒng)?？刂破鞣殖蓛刹糠衷O(shè)計:

式中:τs是慢子系統(tǒng)控制量，τf是邊界層系統(tǒng)控制量。

令

則τ實際為作用在機器人臂桿上的扭簧扭矩，由式(12)得到

將式(11)～(13)代入式(8)中，得到

引入攝動參數(shù) ε，取K=Kε/ε2，并選取 τf=，正定陣Kv為力矩反饋系數(shù)矩陣，代入上式的力矩方程中，得到邊界層子系統(tǒng)為

合理選取Kv的值以保證邊界層系統(tǒng)的穩(wěn)定。

令ε=0，將式(12)和(15)代入式(9)可以得到降階后的子系統(tǒng)為:

式中:Dc(q)=Mc(q)+Jm(q)。

將降階后的系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到任務(wù)空間，得到

式中:Dz(q)=J－TDcJ－1，Gz(q)=J－TG，fs=J－Tτs，=J－TCcJ－1－Dz(q)˙JJ－1，z∈Rn為機器人工作空間的位置矢量，J∈Rn×n為雅克比矩陣。

動力學方程(17)滿足下面性質(zhì):

性質(zhì)1．矩陣Dz(q)對稱正定且有界。

2．2神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器設(shè)計

定義濾波跟蹤誤差

根據(jù)式(17)，將系統(tǒng)動力學方程寫成如下形式

設(shè)計神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制器為

設(shè) δ(z)≤ρ，fr是對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模誤差的魯棒補償項

式中:v＞0，ξ＞0。

將式(20)和(21)代入式(19)中，得到

設(shè)計自適應(yīng)律為

選取李亞普諾夫函數(shù)

收斂性分析:

(1)由于Kv是正定矩陣，當且僅當即，根據(jù)LaSalle不變集定理，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，當t→∞ 時

(2)由于V˙≤－rTKvr≤0，對于?t≥0可得到0≤V(t)≤V(0)。當V(t)∈L∞時即

將控制力矩轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)空間，最終得到

總的控制器為

控制框圖見圖2。

圖2 柔性關(guān)節(jié)空間機器人系統(tǒng)任務(wù)空間控制框圖Fig．2 The control block diagram of flexible-joint space robot in task space

3 仿真研究

對本文提出的兩個階段的模型進行了仿真研究，選擇跟蹤5 m×5 m的正方形軌跡。與其他類型的軌跡相比，如圓或直線，正方形軌跡跟蹤對控制器要求更高，選擇正方形軌跡可以觀察在軌跡突變處的跟蹤情況。表1為模型兩個桿的仿真參數(shù)。

表1 平面二連桿柔性關(guān)節(jié)空間機械臂仿真參數(shù)Table 1 The parameters of two-link space manipulator

柔性關(guān)節(jié)模型參數(shù):K=［500 0;0 500］，Jm=［1 0;0 1］。控制器參數(shù)選擇:Kv=diag(8，8)，Γ=diag(8，8)，β=2。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)N=7×7×7×7，分布區(qū)間分別為［－1．5 1．5］×［－1．5 1．5］×［－1．5 1．5］×［－1．5 1．5］。

為顯示出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制器的優(yōu)良性能，與基于奇異攝動的任務(wù)空間PD控制進行了比較。圖3和圖4分別是PD控制在微重力和重力環(huán)境下的末端跟蹤情況。

圖3 微重力環(huán)境下的末端跟蹤Fig．3 The tracking of the end in the micro-gravity environment

仿真結(jié)果表明，在微重力情況下機械臂實際軌跡可以跟蹤上期望軌跡，但如果有重力影響，將達不到跟蹤控制要求。并且，如果控制器中加入了重力補償項，重力環(huán)境下雖然可以跟蹤很好，但微重力環(huán)境下又無法準確跟蹤，對于要實現(xiàn)軌跡跟蹤高精度要求的空間機械臂來說，PD控制器無法滿足要求?？紤]重力影響的柔性空間機器人的軌跡跟蹤對控制器有更強的性能要求。

圖4 重力環(huán)境下PD控制的末端跟蹤Fig．4 The tracking of the end in the ground-gravity environment

采用任務(wù)空間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制的仿真結(jié)果如下:

(1)地面重力情況下的仿真

重力加速度取g=9．8 m/s2，不確定函數(shù)的逼近結(jié)果采用f(·)范數(shù)表示。由圖5(a)看出，柔性關(guān)節(jié)空間機器人在任務(wù)空間跟蹤良好，可以很快跟蹤上期望軌跡;由圖5(c)可以看出，在每個正方形拐角處電機力矩突變，快速追蹤改變方向軌跡;由圖5(d)可以看出，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對系統(tǒng)的不確定非線性項有較好的逼近結(jié)果。

(2)空間應(yīng)用時的仿真

假設(shè)微重力情況下g=0 m/s2。由圖6(a)看出，所提控制策略能夠保證柔性關(guān)節(jié)機械臂末端執(zhí)行器的實際軌跡快速地跟蹤期望軌跡，由圖6(b)可知，忽略拐角處的突變，跟蹤誤差可以快速收斂到0。

由圖6(b)和圖6(c)可知，在正方形每個拐角處軌跡發(fā)生突變，誤差在瞬間增大，控制電機能夠迅速調(diào)整輸出力矩，使誤差快速回到0;由圖6(d)看出，微重力情況下神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對系統(tǒng)的不確定項仍有很好的逼近結(jié)果。由圖5(c)和圖6(c)，通過對空間和地面電機驅(qū)動力的比較，可知在地面和在空間相同的軌跡跟蹤所需的關(guān)節(jié)驅(qū)動力不同，在有重力的影響下，關(guān)節(jié)所需的控制力矩較大。并且由電機曲線可以看出系統(tǒng)在拐角處有輕微振蕩，這是柔性關(guān)節(jié)帶來的影響，而通過力矩反饋，振蕩甚至不穩(wěn)定現(xiàn)象已得到很強程度的抑制。

綜上，通過以上兩組仿真曲線可得，將重力等視為系統(tǒng)不確定項，所設(shè)計的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制器可以很好地逼近，解決微重力環(huán)境下應(yīng)用與重力環(huán)境調(diào)試的矛盾問題。

圖5 地面重力影響下的仿真結(jié)果Fig．5 The Simulation results in gravity environment on ground

圖6 微重力環(huán)境下的仿真結(jié)果Fig．6 The Simulation results in the micro-gravity environment

4 結(jié)論

本文建立了考慮重力影響的柔性關(guān)節(jié)空間機器人動力學模型，采用基于奇異攝動PD控制對兩個階段的軌跡跟蹤進行了仿真研究，得出由于重力環(huán)境的不同，地面上適用的控制器到空間不一定可以跟蹤上期望軌跡的結(jié)論，反之相同。提出一種基于奇異攝動的柔性關(guān)節(jié)空間機器人任務(wù)空間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制策略，首先利用奇異攝動方法將系統(tǒng)分解為邊界層系統(tǒng)和降階系統(tǒng)，針對降階系統(tǒng)，將重力視為系統(tǒng)的不確定項之一，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對不確定項進行逼近，對控制系統(tǒng)進行了收斂性分析。對有重力和微重力兩種情況下柔性關(guān)節(jié)空間機器人的軌跡跟蹤進行了仿真，結(jié)果表明，通過力矩反饋可以保證邊界層系統(tǒng)的穩(wěn)定，而降階子系統(tǒng)不確定項也能夠通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)算法得到準確估計，使控制系統(tǒng)不受環(huán)境變化的影響，能夠獲得高精度的軌跡跟蹤。

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