(電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院,四川成都611731)

0 引言

雷達(dá)系統(tǒng)中常會(huì)遇到非線性狀態(tài)估計(jì)問題,例如目標(biāo)再入問題[1],目標(biāo)運(yùn)動(dòng)復(fù)雜,其狀態(tài)方程是非線性函數(shù);或混合坐標(biāo)系下目標(biāo)跟蹤,其量測方程是非線性函數(shù)等[2]。解決非線性狀態(tài)估計(jì)問題,貝葉斯濾波結(jié)構(gòu)為系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)提供了一種遞歸結(jié)構(gòu)。與線性系統(tǒng)直接利用卡爾曼濾波遞歸求得最優(yōu)解不同[3],在貝葉斯濾波結(jié)構(gòu)下很難對非線性系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)遞歸求解。只有獲得了系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)概率分布的完整描述才能獲得非線性狀態(tài)估計(jì)問題的最優(yōu)解[4],然而很少情況下能精確描述后驗(yàn)概率。

因此,人們提出了大量的次優(yōu)濾波算法,EKF濾波算法是解決非線性濾波的最常用的方法[5],該算法通過對非線性函數(shù)一階泰勒級數(shù)展開將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題,但在線性化過程中引入了模型誤差,而且需要計(jì)算Jacobian矩陣,增大了計(jì)算量,也容易出現(xiàn)濾波發(fā)散問題,因此在實(shí)際應(yīng)用中受到了很大的限制。隨后Julier等人提出一種不敏卡爾曼濾波(UKF)算法[6-7]。UKF對狀態(tài)向量的PDF進(jìn)行近似化,表現(xiàn)為選取一系列的采樣點(diǎn)通過非線性函數(shù)傳播,捕獲非線性函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性,得到后驗(yàn)均值和協(xié)方差精確達(dá)到2階。UKF在模型參數(shù)估計(jì)、目標(biāo)跟蹤等方面都得到了較廣泛的應(yīng)用,但是當(dāng)狀態(tài)維數(shù)增加或系統(tǒng)非線性強(qiáng)時(shí),UKF濾波會(huì)出現(xiàn)精度急劇下甚至發(fā)散等問題。2009年,加拿大學(xué)者Arasaratnam提出一種新的貝葉斯近似濾波算法——容積卡爾曼濾波算法(CKF)[8],該算法為非線性估計(jì)問題提出了一種新的實(shí)現(xiàn)方式,CKF應(yīng)用球面徑向容積準(zhǔn)則對函數(shù)積分進(jìn)行近似,解決了貝葉斯濾波結(jié)構(gòu)下積分問題。近年來,CKF已經(jīng)應(yīng)用到了非線性濾波估計(jì)上,例如目標(biāo)跟蹤和數(shù)據(jù)融合[9-10]。該算法在一定程度上克服了EKF和UKF在強(qiáng)非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用局限性,但是隨著模型狀態(tài)維數(shù)的增加或系統(tǒng)非線性增強(qiáng)時(shí),CKF的跟蹤性能下降。

針對存在的問題,本文提出一種新的非線性濾波跟蹤算法——隨機(jī)球面徑向積分濾波算法(SSIF)。該算法利用隨機(jī)球面徑向準(zhǔn)則近似積分方程來實(shí)現(xiàn)濾波遞歸,首先利用隨機(jī)球面積分規(guī)則近似球面積分,再利用隨機(jī)徑向積分規(guī)則近似徑向積分。通過該方法可以消除系統(tǒng)誤差提升系統(tǒng)的跟蹤精度和濾波穩(wěn)定度,具有更快的收斂速度和更優(yōu)的數(shù)值逼近能力。通過蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)表明,利用本文提出的非線性濾波算法對雷達(dá)系統(tǒng)的非線性目標(biāo)跟蹤整體性能有明顯提升。

1 系統(tǒng)描述和問題

考慮非線性離散隨機(jī)系統(tǒng)[2,6]

式中,狀態(tài)x k∈?n,n表示狀態(tài)維數(shù);z k∈?m,m表示量測維數(shù);w k,v k分別是相互獨(dú)立的過程噪聲和觀測噪聲,滿足均值為0、協(xié)方差分別為Q k,R k的高斯分布。

假設(shè)在k-1時(shí)刻狀態(tài)后驗(yàn)概率函數(shù)為p(x k-1|z1:k-1),則預(yù)測狀態(tài)的概率密度函數(shù)p(x k|z1:k-1)可表示為

根據(jù)所接收到的量測z k,更新后驗(yàn)概率

式中,p(z k|x k)為似然函數(shù)。

假設(shè)狀態(tài)預(yù)測概率密度函數(shù)p(x k|z1:k-1)和似然函數(shù)p(z k|x k)均為高斯函數(shù),因此后驗(yàn)概率密度函數(shù)p(x k|z1:k)仍是高斯函數(shù),確定該密度函數(shù)只需要計(jì)算這些高斯概率密度函數(shù)的均值和方程即可。對于式(1)所描述的系統(tǒng),貝葉斯結(jié)構(gòu)濾波器可概括為兩步:預(yù)測和更新[8]。

(1)預(yù)測

第1步:初始化,在時(shí)間k=0時(shí),定義先驗(yàn)概率p(x0|z-1)=p(x0),相應(yīng)的均值和方差分別為

第2步:計(jì)算狀態(tài)均值x k|k-1和方差p k|k-1

式中,D k-1表示過去輸入的量測數(shù)據(jù)。

將式(4)代入式(1),則有

由于w k是0均值不相關(guān)的高斯白噪聲,因此有

相應(yīng)的誤差協(xié)方差

(2)更新

式中,

根據(jù)上述貝葉斯濾波結(jié)構(gòu),可以發(fā)現(xiàn)問題關(guān)鍵在于計(jì)算多維函數(shù)積分,被積函數(shù)的形式為非線性函數(shù)乘以高斯概率函數(shù)[11]。實(shí)現(xiàn)對多維函數(shù)積分難度較大,因此需要有效的數(shù)值積分對其近似。近年來涌現(xiàn)了大量的對該積分近似的方法,如EKF,UKF和CKF等,由于這些方法存在精度差和容易發(fā)散等問題。因此本文提出一種更為有效的積分近似算法,該算法利用隨機(jī)球面積分規(guī)則和隨機(jī)徑向積分規(guī)則近似積分函數(shù)來實(shí)現(xiàn)濾波遞歸。

2 隨機(jī)球面徑向積分濾波器(SSIF)

在高斯背景假設(shè)下,貝葉斯濾波結(jié)構(gòu)下函數(shù)的積分形式都可表示為

式中,f(·)表示任意函數(shù)。

很難解決式(11)的積分,因此需要找出一種方法近似該積分。一種數(shù)值積分近似的方法是通過找到一組權(quán)值w i和采樣點(diǎn)x i,利用權(quán)值和被積函數(shù)的加權(quán)可近似該積分函數(shù):

式中,N表示采樣點(diǎn)總數(shù)。

利用球面徑向變換規(guī)則對式(11)進(jìn)行變換,利用x=ry替換,且yTy=1,r=x xT,因此式(11)表示為

式中,U n={y∈?n|yTy=1},式(13)可分解為

因此對式(11)的積分近似轉(zhuǎn)化為對式(14)的積分進(jìn)行近似。

(1)隨機(jī)球面積分規(guī)則

對球面積分選擇適合的積分準(zhǔn)則,通過旋轉(zhuǎn)隨機(jī)積分準(zhǔn)則,將所得到的值加權(quán)來近似球面積分[12-13]

其中,對于所有的i有

作為一個(gè)球面積分近似規(guī)則,在單位球面U n上近似積分函數(shù)f(y),且yTy=1;假設(shè)Q是n×n的正交矩陣,則

由于‖Qy‖=‖y‖,所以式(16)同樣是對球面U n的一個(gè)積分規(guī)則,如果式(15)是3階函數(shù),則式(16)同樣是一個(gè)3階函數(shù),假如Q是服從均勻分布,則S Q為球面U n的無偏積分規(guī)則。

因此,在3階隨機(jī)積分規(guī)則下,式(16)可近似為

(2)隨機(jī)徑向積分規(guī)則

通過下面的公式來近似估計(jì)N r點(diǎn)的徑向積分[12]:

給定點(diǎn){r i}和權(quán)值{w i}就可以確定該積分,點(diǎn){r i}隨機(jī)選取以保證式(19)的無偏性,設(shè)置r0=0,點(diǎn)集的聯(lián)合概率密度函數(shù)p(r1,r2,r3,…,r n)如式(20)所示。

則函數(shù)積分I(f)用3階隨機(jī)徑向積分近似為

(3)隨機(jī)球面徑向積分規(guī)則

將隨機(jī)球面規(guī)則和隨機(jī)徑向規(guī)則聯(lián)合起來成為一種近似I(f)的簡單隨機(jī)積分規(guī)則——隨機(jī)球面徑向積分規(guī)則。本文提出的新積分規(guī)則能有效近似函數(shù)積分,且保證估計(jì)的無偏性。函數(shù)的積分可近似為SR Q,r(f),具體形式為

因此,跟蹤3階隨機(jī)球面徑向積分規(guī)則:

具體的3階隨機(jī)球面徑向規(guī)則積分算法[13]如下:

第1步 設(shè)置誤差容忍度ε,最大迭代次數(shù)Nmax,采樣點(diǎn)數(shù)n。

第2步 設(shè)置迭代次數(shù)N=0,初始積分值I=,初始化積分均方誤差,估計(jì)均方誤差S x,且,計(jì)算F0=f(0)。

第3步 重復(fù)迭代

(a)設(shè)置N=N+1,SR q,r=0;

(b)產(chǎn)生n x×n x維的均勻分布的隨機(jī)正交矩陣Q;

(c)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)r～Chi(m+2);

(d)從j=1,2,…,n x循環(huán),SR q,r=SR q,r+

第4步 輸出I(f)≈I,即I為積分公式I(f)的近似值。

(4)隨機(jī)球面徑向積分濾波器的設(shè)計(jì)

利用3階隨機(jī)球面徑向積分規(guī)則算法來近似貝葉斯濾波器結(jié)構(gòu)中的積分,形成一種簡單的隨機(jī)積分濾波器(SSIF)。狀態(tài)預(yù)測式(6)～(7)利用式(26)計(jì)算,計(jì)算預(yù)測狀態(tài)x k+1|k時(shí),p(x)和f(x)分別用p(x k|z k)和f(x k)代替;計(jì)算預(yù)測狀態(tài)協(xié)方差矩陣P k+1|k時(shí),利用f(x k)f(x k)T代替f(x)。同理,可以估計(jì)式(10)。

SSIF濾波跟蹤算法步驟如下:

第1步 設(shè)置時(shí)間k=0,參數(shù)Nmax,誤差容忍度ε,采樣點(diǎn)數(shù)n,初始化狀態(tài)均值和協(xié)方差矩陣分別為x0|0=E(x0)=x0,p0|0=E(p0)=p0。

第2步 狀態(tài)預(yù)測

第3步 量測更新

完成更新,令k=k+1,繼續(xù)步驟2。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

本文所提的非線性濾波算法與不敏卡爾曼濾波算法(UKF)和改進(jìn)的容積卡爾曼濾波算法(SCKF)在非線性跟蹤系統(tǒng)中進(jìn)行比較,并對結(jié)果進(jìn)行分析。假設(shè)目標(biāo)勻加速機(jī)動(dòng)飛行,目標(biāo)狀態(tài)為(在 三 維 空 間 中它包含了目標(biāo)各個(gè)方向的位置、速度和加速度,因此n x=9)。直角坐標(biāo)系下狀態(tài)方程為

式中,w k表示均值為零的高斯白噪聲,協(xié)方差矩陣所以Q=q s·diag(Q1,Q1,Q1),q s為功率譜密度,且Q1為

F ca=diag[I3?F],T表示采樣時(shí)間間隔,I3表示3×3的單位陣,?表示Kronecker乘法。

雷達(dá)觀察到的目標(biāo)量測為極坐標(biāo)系下數(shù)據(jù),因此第k時(shí)刻的量測z k為

式中,v k為零均值的高斯白噪聲,其協(xié)方差矩陣,且非線性量測方程h(x k)為

假設(shè)目標(biāo)在0～25 s內(nèi)一直作勻加速運(yùn)動(dòng),雷達(dá)位于坐標(biāo)原點(diǎn)位置,目標(biāo)初始位置為[x,y,z]=[8 km,9 km,1 km]T,速 度 為150 m/s,150 m/s],加 速 度 為6 m/s2,15 m/s2],采樣時(shí)間間隔T=0.5 s,總跟蹤時(shí)間t=25s,距離均方根誤差δr=10 m,俯仰角和方位角均方根誤差分別為δθ=δφ=2°,功率譜密度q s=0.1 m2·s-1,最大迭代次數(shù)Nmax=50,誤差容忍度ε=0.5,進(jìn)行500次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn),位置的均方根誤差定義為

式中,x,y,z為目標(biāo)真實(shí)坐標(biāo)位置為目標(biāo)估計(jì)位置,M為蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)次數(shù)。

圖1為勻加速機(jī)動(dòng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡,通過蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn),得到目標(biāo)跟蹤的位置均方根誤差曲線圖(圖2)、速度均方根誤差曲線圖(圖3)、加速度均方根誤差曲線圖(圖4)和不同參數(shù)下新算法對目標(biāo)的跟蹤性能(表1)。仿真中分別利用UKF和CKF濾波算法以及本文提出的非線性濾波算法對非線性雷達(dá)系統(tǒng)進(jìn)行跟蹤估計(jì),從圖2、圖3和圖4可以看出,本文所提的非線性濾波算法具有更高的跟蹤精度,對目標(biāo)加速度、速度和位置的估計(jì)更為精確,穩(wěn)定性更強(qiáng),使跟蹤的整體跟蹤性能得到一定提升。從表1可以得出,隨著迭代次數(shù)N的增加或誤差容忍度ε的減小,新算法的性能有進(jìn)一步的提高,位置和速度的均方根誤差都有一定的提升。但由于迭代次數(shù)N增加,計(jì)算量相應(yīng)的會(huì)增加,因此需要綜合考慮計(jì)算量和性能,N的取值不宜過大。

表1 不同參數(shù)下跟蹤結(jié)果

圖1 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡圖

圖2 位置均方根誤差曲線圖

圖3 速度均方根誤差曲線圖

圖4 加速度均方根誤差曲線圖

4 結(jié)束語

本文主要提出一種新的非線性濾波算法——隨機(jī)球面徑向積分濾波算法(SSIF),該算法基于隨機(jī)積分規(guī)則,即利用隨機(jī)球面積分規(guī)則和隨機(jī)徑向積分規(guī)則實(shí)現(xiàn)對貝葉斯結(jié)構(gòu)下函數(shù)積分的近似。對雷達(dá)系統(tǒng)的非線性目標(biāo)跟蹤中,相較于傳統(tǒng)的非線性濾波跟蹤算法,本文提出的濾波算法消除了系統(tǒng)誤差,提高了跟蹤精度,且有效地抑制了非線性濾波易出現(xiàn)發(fā)散的問題,提升了跟蹤的穩(wěn)定性。通過蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)證明,該算法對非線性目標(biāo)跟蹤性能有明顯的提升。

[1]STRAKA O,DUNIK J,SIMANDL M.Randomized Unscented Kalman Filter in Target Tracking[C]∥Proceedings of the 15th International Conference on Information Fusion,Singapore:[s.n.],2012:503-510.

[2]GARCíA-FERNáNDEZ A F,MORELANDE M R,GRAJAL J.Nonlinear Filtering Update Phase via the Single Point Truncated Unscented Kalman Filter[C]∥2011 Proceedings of the 14th International Conference on Information Fusion,Chicago,IL:IEEE,2011:1-8.

[3]金亮亮,劉亞云.一種改進(jìn)自適應(yīng)機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法[J].雷達(dá)科學(xué)與技術(shù),2014,12(1):97-100.

[4]N?RGAARD M,POULSEN N K,RAVN O.New Developments in State Estimation for Nonlinear Systems[J].Automatica,2000,36(11):1627-1638.

[5]GUSTAFSSON F,HENDEBY G.Some Relations Between Extended and Unscented Kalman Filters[J].IEEE Trans on Signal Processing,2012,60(2):545-555.

[6]JULIER S J,UHLMANN J K.Unscented Filtering and Nonlinear Estimation[J].Proceedings of the IEEE,2004,92(3):401-422.

[7]劉妹琴,湯曉芳,鄭世友,等.基于RUKF-IMM的非線性系統(tǒng)濾波[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào),2013,41(5):57-63.

[8]ARASARATNAM I,HAYKIN S.Cubature Kalman Filters[J].IEEE Trans on Automatic Control,2009,54(6):1254-1269.

[9]DAHMANNI Mohammed,MECHE Abdelkrim,KECHE Mokhtar.Reduced Cubature Kalman Filtering Applied to Target Tracking[C]∥2ndInternational Conference on Control,Instrumentation and Automation,[S.l.]:[s.n.],2011:1097-1101.

[10]霍光,李冬海,李晶.機(jī)動(dòng)目標(biāo)單站無源定位中的量測更新CKF-IMM算法[J].電子信息對抗技術(shù),2013,28(5):33-38.

[11]ARASARATNAM I,HAYKIN S,ELLIOTT R J.Discrete-Time Nonlinear Filtering Algorithms Using Gauss-Hermite Quadrature[J].Proceedings of the IEEE,2007,95(5):953-977.

[12]STROUD A H.Approximate Calculation of Multiple Integrals[M].NJ:Prentice-Hall,1971.

[13]GENZ A,MONAHAN J.Stochastic Integration Rules for Infinite Regions[J].SIAM Journal on Scientific Computation,1998,19(2):426-439.