李學鋒

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074)

一類帶投資和干擾的雙到達過程風險模型

李學鋒

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074)

研究了一類帶投資和干擾的雙到達過程風險模型，其中保費收取為時間t的線性函數(shù)而兩種索賠均為復合Poisson過程，并考慮到投資和隨機干擾.利用鞅分析得到了該模型下的破產概率的Lundberg不等式及其精確表達式，利用微分和It公式得到了生存概率的積分微分方程，而且得出了當索賠都服從指數(shù)分布時生存概率的微分方程.本文所得結果對保險公司和保險監(jiān)管部門設置預警措施可提供一定的理論依據.

Poisson過程；破產概率；鞅；Lundberg不等式；It公式

自從1930年Cramer提出經典風險模型后，風險理論便逐漸形成并發(fā)展起來，主要研究保險事務中各種隨機風險模型的破產概率或生存概率.破產概率或生存概率也是衡量保險公司穩(wěn)定性的重要指標，是管理風險的重要工具.破產概率高意味著保險公司經營不夠穩(wěn)定，這時保險公司需要采取合理的措施提高其承擔風險的能力，確保保險公司能夠長期穩(wěn)定地發(fā)展下去.因此，為了更加符合保險公司的實際需要，許多學者從不同的角度對經典風險模型進行了推廣和改進，并用各種不同的方法計算或估算出破產概率或生存概率.文獻[1-3]考慮利率因素，對經典風險模型進行了推廣；文獻[4,5]將鞅理論用于破產概率的研究，促進了破產理論的快速發(fā)展；文獻[6]中，Dufresne和Gerber研究了帶干擾的復合Poisson過程的風險模型；文獻[7-9]研究了索賠相關過程的風險模型；文獻[10]研究了帶投資的風險模型.

本文在上述工作的基礎上，考慮了帶投資和有隨機干擾的情形，建立了一種保險可能引起兩種索賠的風險模型.比如機動車保險，發(fā)生事故后的保險賠付可能有財產賠付(包括機動車和其它受損財產)，還可能有人身傷害的賠付(包括受傷醫(yī)療費和死亡賠付).利用鞅分析得到了該模型的破產概率所滿足的Lundberg不等式及最終破產概率的精確表達式，并利用微分和It公式得到了生存概率的積分微分方程.

1 模型的定義

定義1 設(Ω,F,P)是完備的概率空間(本文所有的隨機變量都定義在此空間)，則對于u≥0,t≥0，保險公司在t時刻的盈余為：

(1)

其中u≥0為保險公司的初始準備金；a∈[0,1]為保險公司根據初始準備金及預測單位時間內賠款額而設定的投資比例；j為單位時間內的投資收益；c為保險公司單位時間內收到的保險費；{M(t),t≥0}與{N(t),t≥0}分別為兩種索賠A和B的到達過程，即分別是保險公司在[0,t]內兩種索賠A和B發(fā)生的次數(shù)；Xk為索賠A的第k次索賠額；Yk為索賠B的第k次索賠額；{W(t),t≥0}為標準Wiener過程，表示保險公司不確定性收益和付款，σ>0為擾動系數(shù).

對上述模型做如下假設：

(1) {M(t),t≥0}與{N(t),t≥0}分別是參數(shù)為λ1,λ2的Poisson過程；

(2) {Xk,k=1,2,…}，{Yk,k=1,2,…}都為相互獨立的隨機變量序列，分布函數(shù)分別為F(x)和G(y),并假設它們的一、二階矩都存在,且E[Xk]=μ1,E[Yk]=μ2；

(3) {Xk,k=1,2,…}，{Yk,k=1,2,…}, {M(t),t≥0},{N(t),t≥0},{W(t),t≥0}相互獨立.

(b-λ1μ1-λ2μ2)t>0，

定義2 保險公司的破產時刻T=inf{t:t≥0,U(t)<0}，最終破產概率為：

φ(u)=P{T<∞|U(0)=u},

則生存概率Ψ(u)=1-φ(u).

定義3 根據模型的假設，隨機變量Xk與Yk的矩母函數(shù)為：

(2)

顯然當r→∞時，有mi(r)→∞，i=1,2.

2 相關引理

證明 (i)根據強大數(shù)定律知：

引理2 對于盈余過程{S(t),t≥0}，存在函數(shù)g(r)，使得：

E[e-rS(t)]=etg(r).

(3)

證明 E[e-rS(t)]=

引理3 方程g(r)=0存在唯一正解R.

g′(0+)=λ1μ1+λ2μ2-b<0,

所以當r>0時g(r)是凸函數(shù)，又g(0)=0，且顯然有當r→+∞時，g(r)→+∞，因此，g(r)=0存在唯一正解，記為R.此時稱g(r)=0為調節(jié)方程，稱R為調節(jié)系數(shù).

(4)

引理5 破產時刻T是FS停時[12].

3 主要結果

定理1 風險模型(1)的最終破產概率φ(u)滿足Lundberg不等式：

φ(u)≤e-r0u，

證明 由引理5知T是FS停時，取t0<∞，則易知T∧t0是FS停時，利用有界停時定理知：

e-ru=Mu(0)=E[Mu(T∧t0)]=

E[Mu(T∧t0)|T≤t0]P(T≤t0)+E[Mu(T∧t0)|T>t0]P(T>t0)≥E[Mu(T∧t0)|T≤t0]P(T≤t0)=E[Mu(T)|T≤t0]P(T≤t0).

(5)

又當T<∞時，有u+S(T)≤0，所以e-r[u+S(T)]≥1，故：

定理2 風險模型(1)的最終破產概率為：

(6)

其中R為調節(jié)系數(shù).

證明 根據(5)式，取r=R,得：

e-Ru=E[e-RU(T)|T≤t0]P(T≤t0)+

E[e-RU(t0)|T>t0]P(T>t0),

(7)

以I(A)表示集合A的示性函數(shù)，則：

0≤E[e-RU(t0)|T>t0]P(T>t0)=

E[e-RU(t0)I{T>t0}]≤E[e-RU(t0)I{U(t0)≥0}],

由于0≤e-RU(t0)I{U(t0)≥0}≤1，且根據強大數(shù)定律可知，當t0→∞,U(t0)→∞,a.s..

由控制收斂定理可知：

于是在(7)式兩端令t0→∞即得(6)式.

定理3 假設生存概率ψ(u)二次連續(xù)可微，則對任意u≥0，ψ(u)滿足積分微分方程：

(8)

且滿足邊界條件：

(9)

證明 令：

H(t)=u+bt+σW(t),

(10)

在充分小的時間段(0,t]內，考慮(1)式所定義的風險過程U(t)，由于M(t)和N(t)都是Poisson過程，則在(0,t]內有以下4種可能：

(i) M(t)和N(t)都沒有跳躍，其發(fā)生的概率為(1-λ1t)(1-λ2t)+o(t)；

(ii) M(t)有一個跳躍且N(t)沒有跳躍，其發(fā)生的概率為λ1t(1-λ2t)+o(t)；

(iii) M(t)沒有跳躍且N(t)有一個跳躍，其發(fā)生的概率為(1-λ1t)λ2t+o(t)；

(iv) 除上述外其他情況發(fā)生的概率為o(t)或0.

并注意到在(ii)和(iii)中，當x>H(t)或y>H(t)時有：

ψ(H(t)-x)=0或ψ(H(t)-y)=0，

又由全概率公式有：

ψ(u)=(1-λ1t)(1-λ2t)E[ψ(H(t))]+

等價地，有：

(λ1+λ2)tE[ψ(H(t))]=E[ψ(H(t))]-

(11)

由(10)式有：

dH(t)=bdt+σdW(t)，

σψ′(H(t))dW(t),

即ψ(H(t))=

所以：

E[ψ(H(t))]=ψ(u)+

(12)

(11)式兩邊同時除以t，令t→0，同時利用(12)式得：

故(8)式成立.

在(8)式中令u→0，并由引理1即得(9)式.

推論 若F(x)和G(y)分別是參數(shù)為μ1與μ2的指數(shù)分布，生存概率ψ(u)二次連續(xù)可微，則對任意u≥0，ψ(u)滿足微分方程：

(λ1μ2+λ2μ1-bμ1μ2)ψ′(u)=

(13)

邊界條件同(9)式.

證明 由F(x)和G(y)分別是參數(shù)為μ1與μ2的指數(shù)分布知(8)式可化為：

令x1=u-x,y1=u-y，有：

(14)

(λ1μ1+λ2μ2)ψ′(u),

(15)

由(14)、(15)式即得(13)式.

4 結束語

本文提出的一類帶投資和干擾的雙到達過程風險模型具有很強的實際意義，非常接近保險公司所經營的一些業(yè)務，所得到的結果對保險公司的自身設置預警措施提供了一定的理論指導意義，具有應用價值，同時也能為保險監(jiān)管部門設置相應的監(jiān)管指標系統(tǒng)提供理論依據.從最終破產概率可以看出，為確保保險公司的穩(wěn)定經營，一方面，保險公司必須具備足夠的初始準備金；另一方面，公司也不能一味為了提高市場份額而盲目降低保費或高額承保.因此，保險公司為減小風險，提高承擔風險的能力，必須在獲得盡可能多的保單的同時，做好統(tǒng)計調查，以便厘定合理的保費與索賠額；同時，保險公司還需要考慮一些收益比較穩(wěn)定的投資項目，而且不能忽視一些隨機干擾對公司穩(wěn)定經營的影響，往往這些因素也直接關系到保險公司的生死存亡.當然，保險公司的實際經營運作情況可能更加復雜(例如公司的廣告宣傳、員工工資、房租、設備等等都需要公司進行支付)，現(xiàn)有的風險模型(包括本文所建模型)都還有待進一步改進，而本文的思路、計算方法為以后的研究提供了有益的參考.

[1] Cai J. Discrete time risk models under rates of interest[J]. Probability in the Engineering and Information Sciences, 2002, 16:309-324.

[2] Cai J, Dickson D. Ruin probabilities with a Markov chain interest model[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2004, 35:513-525.

[3] Cai J. Ruin probabilities with dependent rates of interest[J]. Appl Prob,2002,39:312-323.

[4] Gerber H U. Martingale in risk theory[J]. Mitt Ver Schweiz Vers Math,1973,73:205-216.

[5] Cai J, Dickson D C M. Upper bounds for ultimate ruin probabilities in the sparre Andersen model with interest[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2003, 32:61-71.

[6] Dufresne F, Gerber H U. Risk theory for the compound Poisson process that is perturbed by diffusion[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 1991, 10:51-59.

[7] Partrat C. Compound model for two dependent kinds of claim[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 1994,15:219-231.

[8] Luo J H, Fang S Z. The risk model about that claims are thinning process[J]. Guangxi Science,2004,11(4):306-308.

[9] 李學鋒，楊薇娜. 一類帶雙稀疏過程的雙險種風險模型[J]. 中南民族大學學報：自然科學版，2013,32(4): 111-114.

[10] Paulsen J. Sharp conditions for certain ruin in a risk process with stochastic return on investments[J]. Stochastic Process Appl, 1998,75:135-148.

[11] 張 波. 應用隨機過程[M]. 3版. 北京：中國人民大學出版社，2014:186.

[12] Grandell J. Aspects of risk theory[M]. New York: Springer-Verlag,1991:1-32.

A Kind of Double Arrival Process Risk Model
with Investment and Disturbance

Li Xuefeng

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

In this paper, we considered a kind of double arrival process risk model with investment and disturbance. In the model, the premium income is a linear function of timetand the two arrivals of the claims follow compound Poisson processes. Moreover, we took investment and random disturbance into account. Using martingale analysis, we obtained the Lundberg inequality and the accurate expression of ruin probability. Using differential calculus andItformula, we obtained the integro-differential equation for survival probability. When the claims were exponentially distributed, we derived a differential equation for the survival probability. The results of this paper provide some theoretical guidance and have application values for the insurance companies and insurance regulatory authorities to set up early warning measures.

Poisson process；ruin probability；martingale；Lundberg inequality；Itformula

2015-08-11

李學鋒(1979-)，女，講師，碩士，研究方向：金融數(shù)學，E-mail: lxf@mail.scuec.edu.cn

中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助項目(CZQ14022)

O211；F840

A

1672-4321(2015)04-0132-04