李海東

斯托利亞爾認為，“數學教學就是數學語言的教學”[2]，學生如果能熟練進行數學語言的轉換，就能提高分析問題和解決問題的能力。教師如果能把數學建模和數學語言的轉換有機融合，課堂教學就能事半功倍。數學語言包括符號語言、文字語言和圖形語言三種。文字語言是“數學化”的自然語言，能準確表達數學對象及其相互關系、能充分揭示數學知識的本質；符號語言是思維的高度濃縮，能非常精煉和準確地表達數學知識的內涵；圖形語言不但是學生形象思維的有效載體，而且是學生形象思維的結果，還是學生進行抽象思維的工具，能準確表達知識的數學特征。雖然它們的表現形式不同，但表示相同數學知識的本質屬性一致，彼此之間可以相互轉換。現以“平行四邊形面積”教學為例，談談如何引導學生在建?；顒舆^程中進行數學語言的轉換。

一、 經歷模型準備過程，把圖形語言轉換為文字語言

模型準備就是教師通過展示現實生活中的數學原型，創(chuàng)設情境，引導學生從情境中抽象出數學問題，促進學生進行數學思考，為學生建立數學模型做好準備工作。模型準備能激發(fā)學生的學習興趣、喚醒學生的探究欲望。模型準備需要根據學生的最近發(fā)展區(qū)設計：可以由教師直接提出問題，也可以由教師通過講故事的形式引導學生提出問題，還可以由教師出示圖形引導學生提出問題。學生在模型準備過程中抽象數學問題時，往往需要進行語言轉換：或者是文字語言之間的相互轉換，或者是圖形語言轉換為文字語言。

課始，筆者用課件出示一個長方形花壇和一個平行四邊形花壇圖（圖1）：

讓學生比較哪個花壇大些？學生根據直覺無法判斷，認為要根據它們的面積才能比較。筆者給花壇圖標上數據后，學生很快用長×寬求出長方形的面積，但不會求平行四邊形面積。于是，筆者先引導學生回憶平行四邊形的特征和面積的意義，接著讓學生表示圖2中平行四邊形的面積，最后引導學生說說圖中3個數據分別表示的意義，認識平行四邊形的底（6厘米）、高（4厘米）以及與底相鄰的邊（圖中5厘米長的線段），幫助學生完成模型準備的過程。

在模型準備過程中，引導學生把圖形語言轉換成文字語言，不但能激發(fā)他們的探究興趣，而且能為他們探究新知、建構數學模型奠定基礎。

二、 經歷模型驗證過程，把文字語言轉換為圖形語言

模型驗證就是學生根據已有認知發(fā)展水平和知識經驗基礎，結合自己的觀察和思考提出猜想或假設，但假設可能是正確的，也可能是錯誤的，需要設計出一些有效的方法對學生提出的假設進行判斷，為后續(xù)研究確定正確的方向。學生在驗證過程中，需要有目的地進行操作、交流或質疑等活動。在這個過程中，學生不可避免地需要借助語言轉換肯定或否定自己的假設。操作驗證就是把假設的文字語言轉換為圖形語言。

學生根據長方形和正方形面積公式猜測圖2中平行四邊形的面積時，有的學生認為是5×6=30平方厘米，有的學生認為是5×4=20平方厘米，還有的學生認為是6×4=24平方厘米。這三種假設是否正確呢？學生經過思考，認為同一個平行四邊形面積不可能有三種不同的結果。也就是說，可能有一種答案正確，也可能三種答案都不對。怎么驗證呢？學生合作用邊長1厘米的小正方形進行操作：

圖3 圖4

發(fā)現圖3中鋪上5×4=20個小正方形時，不能鋪滿整個平行四邊形，也就是說平行四邊形的面積比20平方厘米大，因此5×4=20平方厘米是錯誤的；繼續(xù)鋪小正方形，圖4中鋪上7×4=28個小正方形時，超出了平行四邊形，也就是說平行四邊形的面積小于28平方厘米，因此5×6=30平方厘米是錯誤的。剩下的假設——6×4=24平方厘米是否正確呢？筆者借助課件演示，把圖5轉化成圖6，學生發(fā)現平行四邊形的面積真的是6×4=24平方厘米。

圖5 圖6

用邊長1厘米的小正方形驗證假設是否正確，就是學生把文字語言轉換成圖形語言的過程，不但直觀，而且具有很強的說服力，凸顯了圖形語言的優(yōu)勢。借助圖形語言，學生不斷驗證猜想、否定猜想，并最終發(fā)現正確的猜想。學生在驗證假設的過程中不斷把文字語言轉換為圖形語言，同時初步感悟了數學模型。

三、 經歷模型確立過程，把圖形語言轉換為符號語言

數學建模的目的不只是為了獲得結論，更是為了促進學生在確立數學模型的過程中內化知識、升華思想。確立數學模型時，我們要引導學生根據自己的實踐，結合所觀察的現象，歸納、概括出模型內部因素之間的數量關系或具體算法（公式、法則或運算律等），以便確立相應的數學結構，建構數學模型。數量關系或具體算法往往要用字母表示，這就需要學生把圖形語言轉換成符號語言。

筆者先出示圖7讓學生判斷兩個圖形的面積是否相等，并說說理由，學生思考后認為把左圖中凸出的小三角形剪開、平移后就能拼成右邊的長方形，因而面積相等；接著筆者出示一個平行四邊形讓學生嘗試轉化成長方形：有的學生沿平行四邊形的高剪下一個三角形轉化成長方形；有的學生沿平行四邊形的高剪下一個梯形轉化成長方形。然后，筆者引導學生思考為什么要沿著高剪開？一共有多少種剪法？為什么？轉化后的長方形和原來的平行四邊形有什么關系？轉化后的長方形的長和寬與原來平行四邊形的底和高之間分別有什么關系？根據長方形的面積公式猜一猜如何計算平行四邊形的面積？學生獨立思考后小組交流，很快發(fā)現平行四邊形和轉化后的長方形之間的關系，并根據“長方形的面積=長×寬”類推出“平行四邊形的面積=底×高”。最后，筆者引導學生嘗試用符號表示平行四邊形的面積公式。學生嘗試用個性化符號表示后，發(fā)現用字母表示最簡潔，最終歸納出用“s=ah”表示平行四邊形面積的方法。

學生建構平行四邊形面積公式模型的過程，就是學生進行數學語言轉換的過程：把平行四邊形轉化成長方形，實現了圖形語言之間的轉換；歸納概括出平行四邊形的面積=底×高，實現了圖形語言轉換成文字語言；把文字語言表示的公式用字母表示，實現了文字語言轉換成符號語言。在不斷轉換的過程中，學生經歷了具體事物、個性化符號表示和“數學地表示”的逐步符號化過程，不但學會用簡潔的符號語言表示平行四邊形面積，而且初步掌握了數學建模方法。

四、 經歷模型拓展過程，把圖形語言轉換為圖形語言

根據具體問題構建數學模型不是學生認識的最終目的，我們還要有的放矢地引導學生把數學模型還原為具體的數學直觀或可感的數學現實，拓展已有的數學模型。拓展數學模型就是引導學生對模型結構進行適當變化，促進學生把大腦中已有的認知結構進行重組和優(yōu)化，產生新的數學模型。拓展數學模型，不但能幫助學生鞏固已經建構的數學模型，而且能促使學生靈活應用數學模型，從而培養(yǎng)學生思維的靈活性。學生在拓展數學模型的過程中，同樣離不開數學語言的轉換。

模型拓展時，筆者引導學生解決下面兩個問題：

1.在方格紙上畫兩個形狀不同的平行四邊形，使它們的面積都和圖中長方形的面積相等。（圖中方格邊長都是1厘米）

2.先畫一組平行線，再畫一組平行線，可能畫出什么圖形？

練習第1題時，學生嘗試畫圖后，通過交流，發(fā)現畫圖時只要所畫平行四邊形的底和高與圖中長方形的長和寬分別相等，那么所畫圖形和它的面積就相等，進而發(fā)現滿足底×高=15平方厘米的平行四邊形都符合要求；練習第2題時，有的學生畫出了長方形、有的學生畫出了正方形，有的學生畫出了平行四邊形。交流后，我出示圖9，引導學生觀察、分析這些等底等高的圖形的面積相等。在此基礎上，我出示圖10，學生猜想后再用課件演示圖形平移的過程（圖11），驗證學生的猜想——面積相等。

學生畫平行四邊形的過程就是長方形和平行四邊形圖形語言的轉換；學生畫2組平行線，是線與面圖形語言之間的轉換；學生判斷不規(guī)則圖形和平行四邊形的面積是否相等，是不規(guī)則圖形和規(guī)則圖形之間的語言轉換。這樣借助圖形語言之間的相互轉換，學生不但豐富了知識表象，而且拓展了數學模型——等底等高的平行四邊形面積相等，還進一步內化了數學模型，初步形成了模型思想，提高了學生學習數學的興趣和應用意識。

總之，引導學生充分經歷數學建模過程，不但有助于學生形成知識網絡，而且能促進學生合理使用各種數學語言，幫助學生加深對數學知識、數學思想和數學方法的理解，還能提升學生分析問題和解決問題的能力，從而提高教學效率。當然，教學過程中的文字語言，圖形語言和符號語言不是絕對孤立轉換的，有時是幾種語言的相互轉換，有時還要借助自然語言和數學語言的轉換才能達成教學目標。

【責任編輯：陳國慶】