馬躍超, 胡秀玲

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

基于觀測(cè)器的非線性廣義馬爾科夫跳變時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒H∞控制

馬躍超, 胡秀玲

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

研究了非線性廣義Markov跳變時(shí)滯系統(tǒng)的H∞控制問題.得到了增廣系統(tǒng)全局指數(shù)穩(wěn)定且具有H∞性能指標(biāo)的基于觀測(cè)器的反饋控制器存在的充分條件.通過求解線性矩陣不等式得到了控制器和觀測(cè)器的增益矩陣.最后用數(shù)值算例驗(yàn)證了所提出設(shè)計(jì)方法的有效性.

H∞控制； 指數(shù)穩(wěn)定； 觀測(cè)器； 馬爾科夫跳變； 線性矩陣不等式

0 引言

廣義系統(tǒng)可以描述許多實(shí)際系統(tǒng)，如電力系統(tǒng)，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，機(jī)器人系統(tǒng)等[1-3].近年來，廣義系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制綜合問題已被廣泛研究[4-6]，由于其要求所得閉環(huán)系統(tǒng)不僅穩(wěn)定，且正則無脈沖，比普通系統(tǒng)的研究更加復(fù)雜.

Markov跳變系統(tǒng)是一類特殊的混雜系統(tǒng)，信號(hào)可以隨時(shí)間變化在不同的模式間進(jìn)行切換，文獻(xiàn)[7-10]中呈現(xiàn)了該系統(tǒng)的一些研究成果，文獻(xiàn)[11]討論了不確定離散Markov跳變系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題，文獻(xiàn)[12]研究了Markov跳變系統(tǒng)的無源性問題，文獻(xiàn)[13]研究了隨機(jī)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性問題.

系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性問題也很重要，它能夠確定系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度達(dá)到平衡點(diǎn).文獻(xiàn)[14]研究了不確定奇異時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)魯棒指數(shù)穩(wěn)定性問題，文獻(xiàn)[15]研究了一類離散非線性廣義Markov跳變系統(tǒng)的均方指數(shù)穩(wěn)定性問題.

本文研究了帶有Markov跳變參數(shù)和非線性項(xiàng)的廣義時(shí)滯系統(tǒng)的H∞控制問題，主要目的是設(shè)計(jì)一個(gè)基于觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制器以保證所得閉環(huán)系統(tǒng)全局指數(shù)穩(wěn)定且滿足H∞性能指標(biāo).

1 系統(tǒng)的描述與準(zhǔn)備

考慮如下廣義隨機(jī)非線性系統(tǒng)

(1)

其中:x(t)∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量;u(t)∈Rm是控制輸入;y(t)∈Rp是測(cè)量輸出;z(t)∈Rq為控制輸出;ω(t)∈Rt為系統(tǒng)擾動(dòng)輸入;d是時(shí)滯且d≥0;E是奇異矩陣,且rank(E)=r≤n;ηt是一個(gè)在有限集合Λ={1,2,…,r}中隨時(shí)間取值的Markov隨機(jī)過程，轉(zhuǎn)移概率矩陣為Π=(πij)r×r，描述如下:

(2)

(3)

其中,ki>0是Lipschitz常數(shù).

建立如下觀測(cè)器和狀態(tài)反饋控制器,

(4)

其中：H(i)，K1(i)，K2(i)是觀測(cè)器和狀態(tài)反饋控制器的增益矩陣，得到閉環(huán)系統(tǒng),

(5)

其中：

定義3 廣義Markov跳變系統(tǒng)(5)是魯棒H∞穩(wěn)定的，對(duì)于常數(shù)γ且在零初始條件下Z(t)滿足

2 主要結(jié)果

(6)

(7)

(8)

其中:

證明 首先證明系統(tǒng)(5)是正則無脈沖的，

(9)

(10)

由于rank(E)=r≤n，可選擇非奇異矩陣M，N使

(11)

根據(jù)(11)式，可令

因此，對(duì)于上述常數(shù)λ>0,有

構(gòu)造如下形式的Lyapunov函數(shù)，

故

故有

其中:

由Ω<0可知JV<0,可得

其中:

因此可知，在ω(t)=0時(shí)，系統(tǒng)(5)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

(12)

(13)

其中:

其他變量同定理1.

證明 類似于定理1的推導(dǎo)，能得到

JV+ZT(t)Z(t)≤γ2ωT(t)ω(t),

故有,

可以看出滿足定義3，證明完成.

定理3 對(duì)于給定的d，當(dāng)ω(t)=0時(shí)，系統(tǒng)(5)是全局指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在常數(shù)α1，α2，β1，β2和矩陣X(i)，Y(i)，Z(i)，一組對(duì)稱正定矩陣{S(i),i∈Λ}和對(duì)稱正定矩陣R，S，W，有如下線性矩陣不等式成立:

(14)

(15)

(16)

(17)

其中:

證明 首先驗(yàn)證條件(14)和(16)等價(jià)于條件(7).

定理4 對(duì)任意給定的d，γ>0，廣義Markov跳變系統(tǒng)(5)是全局指數(shù)穩(wěn)定的且具有H∞性能指標(biāo)γ，如果存在常數(shù)α1，α2，β1，β2和矩陣X(i)，Y(i)，Z(i)，一組對(duì)稱正定矩陣{S(i),i∈Λ}和對(duì)稱正定矩陣R，S，W，有如下線性矩陣不等式成立:

(18)

(19)

(20)

(21)

其中:

Π6=W-α1I，Π7=W-α2I，Π8=-W-β1I，Π9=-W-β2I，

(22)

備注4 定理3和定理4的可行解約束條件可轉(zhuǎn)化為如下含參數(shù)μ的線性不等式的優(yōu)化問題

X(i),Y(i),Z(i),Si,R,S,W,α1,α2,β1,β2,μ,Φi, s.t.(16),(17),(22),

(23)

minγ2,X(i),Y(i),Z(i),Si,R,S,W,α1,α2,β1,β2,μ,Φi， s.t. (20),(21),(22) .

(24)

3 數(shù)值算例

例1 考慮參數(shù)如下的系統(tǒng)：

Mode 1

Mode 2

例2 考慮參數(shù)如下的系統(tǒng):

其他矩陣變量同例1，令d=2，0

例3 考慮參數(shù)如下的系統(tǒng)(1)

Model 1

Mode 2

4 結(jié)論

本文解決了非線性廣義Markov跳變時(shí)滯系統(tǒng)的H∞控制問題,得到了增廣系統(tǒng)全局指數(shù)穩(wěn)定且具有H∞性能指標(biāo)的基于觀測(cè)器的反饋控制器存在的充分條件.通過求解線性矩陣不等式得到了控制器和觀測(cè)器的增益矩陣，最后，用數(shù)值算例驗(yàn)證了所提出方法的有效性.

[1] Hale J K, VerduynLunel S M. Introduction to Functional Differential Equations [M]. NewYork: Springer Verlag, 1993.

[2] Lu R Q, Su H Y. Robust Stability Theory of Singular Systems [M]. Beijing: Science Publishers, 2008.

[3] 王坤，王丹，張蕊.多時(shí)變時(shí)滯不確定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015,36(2)：60-64.

[4] Du Z P, Zhang Q L, Liu L L. Delay-dependent robust stabilization for uncertain singular systems with multiple input delays [J]. Acta Autom Sin，2009, 35(2): 162-167.

[5] 劉曉華, 楊園華. 基于觀測(cè)器的不確定廣義時(shí)滯系統(tǒng).魯棒控制與預(yù)測(cè)控制 [J]. 控制與決策, 2009, 24(4): 606-610.

[6] Feng Y, Zhu X， Zhang Q. An improved stabilization condition for singular time-delay systems [J]. Int J Innov Comput I, 2010, 6 (5): 2025-2034.

[7] Wang J R, Wang H J, Xue A K, et al. Delay-dependentH∞control for singular Markovian jump systems with time delay [J]. Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, 2013, 8(3): 1-12.

[8] Wang J, Park J H, Shen H. New delay-dependent bounded real lemmas of polytopic uncertain singular Markov jump systems with time delays [J]. Journal of the Franklin Institute, 2014, 351(3): 1673-1690.

[9] 劉健辰, 章兢, 張紅強(qiáng), 等. 時(shí)變時(shí)滯離散廣義Markov跳變系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性 [J]. 控制與決策, 2011, 26(5): 1-7.

[10]Wu L, Su X, Shi P. Output feedback control of Markovian jump repeated scalar nonlinear systems [J]. IEEE Trans Automat Control, 2014, 59(1): 199-204.

[11]Souza C E. Robust stability and stabilization of uncertain discrete-time Markovian jump linear systems [J]. IEEE Trans Automat Control, 2006, 51(5): 836-841.

[12]Wu Z G, Park J H, Su H Y, et al. Delay-dependent passivity for singular Markov jump systems with time-delays [J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 2013, 18(3): 669-681.

[13]楊紅艷, 夏茂輝, 于玲, 等. 基于LMI的隨機(jī)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性分析 [J]. 鄭州大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版, 2011, 43(3): 48-52.

[14]Wu Z G, Su H Y, Chu J. Delay-dependent robust exponential stability for uncertain singular systems with time delay [J]. International journal of innovative computing information and control, 2010, 6(5): 2275-2283.

[15]Long S H, Zhong S M. Mean-square exponential stability for a class of discrete-time nonlinear singular Markovian jump systems with time-varying delay [J]. Journal of the Franklin Institute, 2014, 351(10): 4688-4723.

(責(zé)任編輯：方惠敏)

Observer-based RobustH∞Control for Nonlinear Singular Markovian Jump System with Time Delay

MA Yuechao, HU Xiuling

(CollegeofScience,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

The problem of observer-basedH∞control for nonlinear singular Markov jump system with time delay was studied. Firstly, a sufficient condition for the existence of the observer-based controller which can ensure the augmented system globally exponentially stable and satisfy a prescribedH∞performance level was given. Then, the gain matrices of the controller and observer were achieved by solving some linear matrix inequalities. Finally, numerical examples were given to demonstrate the effectiveness of the proposed design approach.

H∞control; exponential stabilization; observer; Markovian jump; linear matrix inequalities (LMIs)

2015-07-07

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目,編號(hào)61273004；河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目,編號(hào)F2014203085.

馬躍超(1963—)，男，遼寧鳳城人，教授，博士，主要從事廣義系統(tǒng)、魯棒控制、復(fù)雜系統(tǒng)等研究；通訊作者：胡秀玲(1990—)，女，山西呂梁人，碩士研究生，主要從事隨機(jī)系統(tǒng)、魯棒控制的研究， E-mail:1398881688@qq.com.

馬躍超,胡秀玲.基于觀測(cè)器的非線性廣義馬爾科夫跳變時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒H∞控制[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2015,47(4)：24-32.

O231

A

1671-6841(2015)04-0024-09

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.04.005