王光濤

一、本文的符號

二、概念、術(shù)語和詳細(xì)數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程及結(jié)果。

1、實現(xiàn)的方差和二次變差

2、隨機波動率

3、單次冪變差過程

4、雙次冪變差過程

5、帶有罕見、大幅跳躍的隨機波動率模型

5.1 罕見的跳躍及其二次變差

5.2 罕見的跳躍與單次冪變差

5.3 罕見的跳躍與雙次冪變差

三、實證分析

上證指數(shù)000001的五分鐘交易數(shù)據(jù)，時間是2013/10/14—2013/11/25日，四十個交易日。其二次變差、實現(xiàn)的方差、雙次冪變差如右下圖所示：

從右圖中可以直觀的看到雙次冪變差對實現(xiàn)方差的逼近比實現(xiàn)的方差對二次變差的逼近要好的多，但是處在同一個數(shù)量級。二次變差與實現(xiàn)方差的離差平方和為1.3874e-007，這是一個非常接近于零的數(shù)，可見實現(xiàn)的方差可以作為二次變差的估計量。而雙次冪變差與實現(xiàn)方差的離差平方和為3.2009e-008，這個數(shù)與1.3874e-007相比更加接近于零，與右圖也是吻合的。同時也說明（23）式是成立的。

上圖為真實交易數(shù)據(jù)生成的圖像，左圖給出了存在跳躍時的實現(xiàn)方差、二次變差和雙次冪變差的圖像。不失一般性的在第十天中加入一個2%的價格跳躍。也就是說當(dāng)五分鐘的價格中有2%的跳躍時就可以檢測到。當(dāng)加入1%的跳躍時，五分鐘數(shù)據(jù)監(jiān)測不到，但卻可以被一分鐘的數(shù)據(jù)捕捉到。

右圖是實現(xiàn)的方差減去雙次冪變差生成的圖像，可以清晰的看到在第十個交易日有明顯的價格跳躍，其值為0.00040278。而2%的平方為0.0004，可見右圖準(zhǔn)確的捕捉到了這個跳躍，驗證了（24）式。為了更好的比較分析，下面我們分析一分鐘的交易數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)采用2013/11/18—2013/11/25日，8個交易日的價格。

由以上分析知，左圖中第二個交易日存在價格跳躍，實際是第480個交易價格的收益率為-0.079048，是一個比剔除這個收益率外其他收益率的均值6.8920e-006大的多的值。此處實現(xiàn)的方差減去雙次冪變差的結(jié)果為0.0062297。而-0.079048的平方為0.0062486，與0.0062297是如此的接近。當(dāng)用6.8920e-006替代-0.079048重新分析時，結(jié)果如下圖。

右圖坐標(biāo)軸的明顯變化也顯示了一分鐘數(shù)據(jù)的實現(xiàn)方差可以比五分鐘數(shù)據(jù)更好的逼近二次變差。這與數(shù)學(xué)理論是吻合的。不失一般性的在第480個交易價格處增加一個1%的跳躍，得到的以下兩張圖，清晰的展現(xiàn)了跳躍的存在。事實是第二個交易日的實現(xiàn)方差減去雙次冪變差的結(jié)果為0.00010412，1%的平方為0.0001.再一次驗證了（24）式。

四、總結(jié)

為了簡單明了的說明問題，實證分析中僅僅隨機的加入了一個跳躍，當(dāng)隨機的加入多個跳躍時得到同樣的結(jié)論。本文的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和實證分析一致的說明了雙次冪變差對跳躍的穩(wěn)健性，以及實現(xiàn)的方差可以作為二次變差的無偏估計值。所以價格跳躍的二次變差可以由已實現(xiàn)的方差與已實現(xiàn)的雙次冪變差之差表示，從而可以把價格跳躍分離出來。但是本文未給出識別跳躍的臨界值，因此還有待更深入的研究。

參考文獻：

[1]. John M. Maheu and Thomas H. McCurdy.2004. News Arrival， Jump Dynamics， and Volatility Components for Individual Stock Returns Wiley for the American Finance Association..

[2]. John M.Maheu，Thomas H. McCurdy and Xiaofei Zhao. 2013. Do jumps contribute to the dynamics of the equity premium？ Journal of Financial Economics

[3]. Peter Christoffersen，Kris Jacobs and Chayawat Ornthanalai.2012. Dynamic jump intensities and risk premiums： Evidence from S&P500; returns and options. Journal of Financial Economics

[4] Ole E. Barndorff-Nielsen 2002 Econometric analysis of realized volatility and its use in estimating stochastic volatility models J. R. Statist. Soc. B

[5] Torben G. Andersen，Tim Bollerslev and Dobrislav Dobrev. 2006. No-arbitrage semi-martingale restrictions for continuous-time volatility models subject to leverage effects， jumps and i.i.d noise： Theory and testable distributional implications. Journal of Econometrics

[6].Ole E.Barndorff-Nielsen and Neil Shephard.2003. Realized Power Variation and Stochastic Volatility Models. International Statistical Institute （ISI） and Bernoulli Society for Mathematical Statistics and Probability