江培情，王立成

（大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024）

基于Ottosen模型的混凝土多軸動(dòng)態(tài)強(qiáng)度準(zhǔn)則

江培情，王立成

（大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024）

由于混凝土材料的率敏感特性，不同應(yīng)變率水平下混凝土結(jié)構(gòu)的承載力、剛度具有不同的變化機(jī)理。在地震作用下，除了考慮混凝土結(jié)構(gòu)承受的復(fù)雜應(yīng)力之外，應(yīng)變率也是分析混凝土動(dòng)態(tài)強(qiáng)度變化規(guī)律不可忽略的因素，若依然使用單軸拉、壓、剪強(qiáng)度理論對(duì)工程進(jìn)行設(shè)計(jì)和計(jì)算，可能會(huì)對(duì)大型結(jié)構(gòu)的建設(shè)和使用帶來(lái)危險(xiǎn)?；贠ttosen靜態(tài)強(qiáng)度準(zhǔn)則模型，結(jié)合大量不同強(qiáng)度等級(jí)混凝土多軸靜、動(dòng)強(qiáng)度試驗(yàn)結(jié)果，建立了一種考慮應(yīng)變率效應(yīng)和混凝土強(qiáng)度等級(jí)兩個(gè)因素的混凝土多軸動(dòng)態(tài)強(qiáng)度準(zhǔn)則。分析表明該強(qiáng)度準(zhǔn)則符合混凝土破壞曲面連續(xù)、光滑、外凸等要求，能較好地反映普通混凝土的多軸動(dòng)態(tài)強(qiáng)度變化規(guī)律，而且只需要通過(guò)幾個(gè)特征點(diǎn)就能得到，形式簡(jiǎn)單，便于實(shí)際工程應(yīng)用。

混凝土；Ottosen模型；子午線(xiàn)；應(yīng)變率；動(dòng)態(tài)強(qiáng)度準(zhǔn)則

江培情，王立成.基于Ottosen模型的混凝土多軸動(dòng)態(tài)強(qiáng)度準(zhǔn)則［J］.水利水運(yùn)工程學(xué)報(bào)，2015（1）：74－81.（JIANG Pei?qing，WANG Li?cheng.Dynamic strength criterion of concrete based on Ottosen model under multi?axial stress［J］.Hydro?Science and Engineering，2015（1）：74－81.）

混凝土結(jié)構(gòu)除承受多軸靜荷載作用之外，往往還要承受諸如風(fēng)荷載、地震作用和沖擊荷載等動(dòng)態(tài)作用。大量試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，混凝土材料具有率敏感性，在不同應(yīng)變率水平下混凝土結(jié)構(gòu)的承載力、剛度具有不同的變化機(jī)理。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者已經(jīng)對(duì)混凝土單軸動(dòng)態(tài)力學(xué)性能的應(yīng)變率效應(yīng)做了大量研究［1－5］。然而，由于實(shí)際工程中混凝土結(jié)構(gòu)大多處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，單軸應(yīng)變率效應(yīng)研究往往不能反映混凝土真實(shí)的工作狀態(tài)。由于多軸動(dòng)態(tài)試驗(yàn)設(shè)備相對(duì)復(fù)雜，技術(shù)要求高，操作難度大，不同的試驗(yàn)設(shè)備、材料以及試驗(yàn)條件所得到的結(jié)論不盡相同，因此，混凝土在多軸應(yīng)力狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)特性方面僅有少量的研究［6－10］。本文基于Ottosen靜態(tài)多軸強(qiáng)度準(zhǔn)則，并結(jié)合已有的混凝土靜、動(dòng)態(tài)強(qiáng)度試驗(yàn)結(jié)果，建立了一個(gè)考慮應(yīng)變率效應(yīng)和混凝土強(qiáng)度等級(jí)的多軸動(dòng)態(tài)強(qiáng)度準(zhǔn)則。

1 多軸應(yīng)力狀態(tài)下混凝土強(qiáng)度準(zhǔn)則

對(duì)于多軸應(yīng)力狀態(tài)下的混凝土強(qiáng)度準(zhǔn)則，通常采用以3個(gè)主應(yīng)力作為坐標(biāo)軸的空間破壞包絡(luò)曲面表示。當(dāng)以Cauchy應(yīng)力第一不變量I1，應(yīng)力偏張量第二不變量J2表示時(shí)，混凝土強(qiáng)度準(zhǔn)則可表示為

式中：αi為待定參數(shù)。Ottosen提出的四參數(shù)模型能夠體現(xiàn)混凝土破壞曲面的主要特點(diǎn)，即在偏平面上的圖形是對(duì)稱(chēng)的光滑凸曲線(xiàn)，且利用該模型得到的靜態(tài)強(qiáng)度準(zhǔn)則與試驗(yàn)值吻合度較好。因此本文以O(shè)ttosen模型為基礎(chǔ)建立考慮應(yīng)變率效應(yīng)的混凝土動(dòng)態(tài)強(qiáng)度準(zhǔn)則。

在不同應(yīng)變率下，應(yīng)力張量第一不變量I1和偏應(yīng)力張量第二不變量J2值變?yōu)橛行?yīng)力張量［13］，因此引入3個(gè)系數(shù)分別反映不同應(yīng)變速率下的有效應(yīng)力張量變化值，建立考慮應(yīng)變率效應(yīng)的混凝土強(qiáng)度準(zhǔn)則表示為：

式中：α，β，λ為與應(yīng)變率˙ε相關(guān)的待定參數(shù)；a，b為常數(shù)，可由試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定；參數(shù)λ為cos3θ的函數(shù)，即λ＝λ（cos3θ）≥0，見(jiàn)式（3）。

式中：k1和k2分別表示量值系數(shù)和形狀系數(shù)，均由試驗(yàn)來(lái)確定。Lode角θ的表達(dá)式為：

通常，偏平面上從靜水壓力軸（ξ軸）到破壞曲面邊界的直線(xiàn)距離定義為r。rt，rc分別表示拉、壓子午面上靜水壓力軸到強(qiáng)度包絡(luò)線(xiàn)的距離；若0.5＜rt／rc＜1，函數(shù)λ將勾畫(huà)出在偏平面上的光滑凸曲線(xiàn)。對(duì)于低應(yīng)力狀態(tài)，偏平面上的橫截面圖形近似于三角形，對(duì)于高應(yīng)力狀態(tài)（或極限狀態(tài)I1→－∞），橫截面軌跡近似于圓形（rt／rc→1），符合混凝土在偏平面上的強(qiáng)度包絡(luò)線(xiàn)的變化規(guī)律。

由式（2）可得混凝土強(qiáng)度準(zhǔn)則的拉壓子午線(xiàn)方程。

式中：λt和λc分別為θ＝0°和60°時(shí)的λ值。r，ξ與I1，J2的轉(zhuǎn)換公式為：

2 靜態(tài)應(yīng)力條件下的破壞面方程

在復(fù)雜準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力條件下，設(shè)定靜態(tài)加載速率為 ˙ε＝10－5／s，若取α＝1，β＝1，γ＝1，式中4個(gè)參數(shù)可以由兩組單軸、一組雙軸和一組三軸共4組試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定。由于具體應(yīng)用中多軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)不易獲得，常用單軸數(shù)據(jù)近似推算［12］。4組試驗(yàn)為：①單軸抗壓強(qiáng)度f(wàn)cs（θ＝60°）；②單軸抗拉強(qiáng)度f(wàn)ts（θ＝0°）；③雙軸等壓強(qiáng)度f(wàn)ccs（θ＝0°）；④三軸應(yīng)力狀態(tài)（ξ，r），其中ξ，r按試驗(yàn)結(jié)果取值。

采用Haigh?Westergaard坐標(biāo)系（r，ξ，θ），上述應(yīng)力特征點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 破壞面的特征應(yīng)力點(diǎn)Tab.1 Typical stress points on the failure surface

將表1中的計(jì)算結(jié)果代入式（5）和（6），可以得到關(guān)于a，b，k1，k2的非線(xiàn)性方程組，如下式：

式中：混凝土強(qiáng)度關(guān)系系數(shù)fccs／fcs和fts／fcs根據(jù)混凝土材料常規(guī)試驗(yàn)得出。

試驗(yàn)全部在大連理工大學(xué)結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)室的靜、動(dòng)三軸電液伺服試驗(yàn)系統(tǒng)上完成［14－18］。試件為100 mm× 100 mm×100 mm立方體試件，混凝土強(qiáng)度分別按照C10，C20，C25，C30，C35強(qiáng)度等級(jí)設(shè)計(jì)。加載路徑主要有兩種：

（1）三軸恒側(cè)壓加載［14，16，18］：試件2個(gè)側(cè)面加載至預(yù)設(shè)的側(cè)應(yīng)力值（X，Y方向），并保持恒定，Z方向以設(shè)定的不同加載速率施加豎向荷載，直至試件破壞?；炷羵?cè)應(yīng)力加載量級(jí)分別為0，4，8和16 MPa，應(yīng)變速率分別為10－5／s，10－4／s和10－3／s共3個(gè)量級(jí)。

（2）雙軸比例加載［15，17］：兩個(gè)方向按照預(yù)設(shè)的應(yīng)力比以設(shè)定的加載速率施加雙軸荷載，直至試件破壞。選取的5種應(yīng)力比分別為1∶0，1∶0.25，1∶0.5，1∶0.75和1∶1。

不同強(qiáng)度等級(jí)混凝土的兩種強(qiáng)度關(guān)系系數(shù)如表2和圖1所示。由圖1可見(jiàn)，fccs／fcs值隨著混凝土強(qiáng)度的提高而減小，而fts／fcs則隨著混凝土強(qiáng)度的增大先增大后減小，表現(xiàn)出非單調(diào)性變化趨勢(shì)。

圖1 不同強(qiáng)度混凝土的強(qiáng)度關(guān)系系數(shù)Fig.1 Intensity coefficients for concrete with different strength grades

表2 不同強(qiáng)度等級(jí)混凝土的單軸抗拉、抗壓和雙軸抗壓強(qiáng)度Tab.2 Uniaxial tensile，compressive and biaxial compressive strength of concrete with different grades

由圖1所示的擬合曲線(xiàn)可以得到不同強(qiáng)度混凝土的強(qiáng)度系數(shù)，而由三軸試驗(yàn)可得三軸應(yīng)力狀態(tài)特征點(diǎn)；將應(yīng)力狀態(tài)特征值分別代入式（7），解四元非線(xiàn)性方程組，可得方程中的參數(shù)值（見(jiàn)表3）。

表3 同強(qiáng)度混凝土的應(yīng)力狀態(tài)特征值和系數(shù)計(jì)算值Tab.3 Typical values of stress state of concrete with different strength grades and recorded coefficient values

將表3中的參數(shù)值分別代入式（5）和（6），可以得出不同強(qiáng)度混凝土的Ottosen強(qiáng)度準(zhǔn)則表達(dá)式和拉壓子午線(xiàn)方程。繪出不同強(qiáng)度混凝土的拉、壓子午線(xiàn)并將其與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較（如圖2）。結(jié)果表明：根據(jù)強(qiáng)度準(zhǔn)則繪出的混凝土破壞曲面的拉、壓子午線(xiàn)與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好。

圖2 靜態(tài)應(yīng)力條件下子午平面上不同強(qiáng)度混凝土的強(qiáng)度準(zhǔn)則與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.2 Comparison of experimental results and proposed criterion of concrete with different strength grades in meridian plane under static condition

3 不同應(yīng)變率下混凝土破壞面方程

在實(shí)際受力過(guò)程中，混凝土結(jié)構(gòu)承受靜態(tài)、動(dòng)態(tài)荷載作用，而且其動(dòng)、靜態(tài)力學(xué)性能之間的差異十分明顯，然而目前混凝土結(jié)構(gòu)抗震安全評(píng)價(jià)中，僅將混凝土靜態(tài)力學(xué)參數(shù)提高1%作為動(dòng)力學(xué)參數(shù)［19］。因此，開(kāi)展混凝土多軸應(yīng)力條件下的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能研究具有重要應(yīng)用價(jià)值。本文基于大連理工大學(xué)的林皋、宋玉普等人試驗(yàn)數(shù)據(jù)［14－17］，確定出適用于普通混凝土的多軸動(dòng)態(tài)強(qiáng)度準(zhǔn)則的材料參數(shù)值。需要說(shuō)明的是，本文研究的應(yīng)變率范圍為10－6／s～1／s，主要考慮了地震作用下的加載速率范圍。在這樣的加載速率范圍內(nèi)，混凝土在應(yīng)力空間內(nèi)的破壞面具有光滑、外凸的形式。

假定混凝土動(dòng)態(tài)強(qiáng)度關(guān)系系數(shù)為：

式中：fcsd，ftsd，fccds分別是動(dòng)態(tài)加載速率下，由試驗(yàn)得到的動(dòng)態(tài)單軸抗壓強(qiáng)度、單軸抗拉強(qiáng)度、雙軸等壓強(qiáng)度；ψd

cs，ψdts，ψdccs為3種應(yīng)力狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)強(qiáng)度放大系數(shù)。

根據(jù)式（7）和表3中的a，k1，k2，b值，通過(guò)兩組單軸和一組雙軸試驗(yàn)即可以確定參數(shù)α，β，γ的具體表達(dá)式，從而確定不同應(yīng)變率下的強(qiáng)度準(zhǔn)則方程?；炷猎趩屋S受壓、受拉、雙軸等壓應(yīng)力狀態(tài)下的特征應(yīng)力點(diǎn)（見(jiàn)表4）。

表4 動(dòng)態(tài)應(yīng)力條件下的應(yīng)力特征點(diǎn)Tab.4 Typical stress points under dynamic stress

將a，b，k1，k2和表4中的應(yīng)力狀態(tài)值代入式（7）得：

解此線(xiàn)性方程組，得：

式中：m1＝ψdtsfts／fcs；m2＝ψdcs；m3＝ψdccsfccs／fcs?；炷撂幱跍?zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力時(shí)，m1＝fts／fcs，m2＝1，m3＝fccs／fcs，可得α＝1，β＝1，γ＝1。

呂培印和宋玉普［20］認(rèn)為混凝土動(dòng)態(tài)強(qiáng)度增長(zhǎng)因子與應(yīng)變率之間的關(guān)系為：

式中：應(yīng)變率 ε˙的變化范圍為10－5／s～10－2／s；ε˙s表示準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)變率，取10－5／s；η為材料系數(shù)。

不同強(qiáng)度等級(jí)的混凝土在不同應(yīng)變率下的ψdcs，ψdts，ψdccs見(jiàn)表5，其中的η1，η2，η3由最小二乘法對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)根據(jù)式（11）擬合得到。

表5 不同強(qiáng)度等級(jí)混凝土在不同應(yīng)變率下的強(qiáng)度增長(zhǎng)因子Tab.5 Dynamic increase factors for concrete with different strength grades at different strain rates

在不同應(yīng)變率下，混凝土動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度增長(zhǎng)因子、動(dòng)態(tài)抗拉強(qiáng)度增長(zhǎng)因子、動(dòng)態(tài)雙軸等壓強(qiáng)度增長(zhǎng)因子與混凝土強(qiáng)度之間的關(guān)系分別如圖3（a），（b）和（c）所示。在相同應(yīng)變率下，隨著混凝土強(qiáng)度的增加，混凝土動(dòng)態(tài)強(qiáng)度增長(zhǎng)因子逐漸變小，這種影響是由于混凝土材料本身是非均勻的，而且內(nèi)部具有大量缺陷所致。較低強(qiáng)度混凝土的固有缺陷，例如各種孔隙、微裂縫等的存在導(dǎo)致了其在動(dòng)載作用下有一個(gè)明顯的壓密過(guò)程，從而導(dǎo)致了混凝土的抗壓強(qiáng)度增加。較高強(qiáng)度的混凝土的瑕疵和微損傷相對(duì)較少，在動(dòng)載作用下產(chǎn)生了材料抗力的慣性效應(yīng)，這些固有缺陷的減少導(dǎo)致了其抗壓強(qiáng)度提高相對(duì)較低。其中單軸抗拉和雙軸抗壓動(dòng)態(tài)強(qiáng)度的增長(zhǎng)因子減小趨勢(shì)更加明顯。

圖3 不同強(qiáng)度等級(jí)混凝土強(qiáng)度增長(zhǎng)因子Fig.3 Dynamic increase factors for concrete with different strength grades

利用式（11）和表5中C10和C30兩種混凝土的材料參數(shù)值，可得出不同應(yīng)變率下的α，β，γ值，即可得出混凝土在不同應(yīng)變率下的強(qiáng)度準(zhǔn)則（見(jiàn)圖4）。

圖4 強(qiáng)度準(zhǔn)則與三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)在子午平面上的對(duì)比Fig.4 Comparison of the triaxial experimental results and the proposed criterion in themeridian plane

從圖4（a）可見(jiàn)，在不同應(yīng)變率下，試驗(yàn)數(shù)據(jù)與壓子午線(xiàn)吻合較好；隨著應(yīng)變率增加，混凝土強(qiáng)度準(zhǔn)則的子午線(xiàn)逐漸向外推移，而隨著應(yīng)變率減小，混凝土動(dòng)態(tài)強(qiáng)度準(zhǔn)則逐漸逼近于靜態(tài)強(qiáng)度準(zhǔn)則。

圖4（b）為C10混凝土強(qiáng)度準(zhǔn)則的拉壓子午線(xiàn)與雙軸定側(cè)壓加載試驗(yàn)和雙軸定比例加載試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比。在相同應(yīng)變率下，定側(cè)壓加載試驗(yàn)和定比例加載試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)基本在同一條線(xiàn)上，因此可以近似認(rèn)為雙軸動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度包絡(luò)線(xiàn)與加載方式無(wú)關(guān)。圖4（c）為C30混凝土強(qiáng)度準(zhǔn)則的拉壓子午線(xiàn)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比?？梢?jiàn)，不同應(yīng)變率下試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的拉壓子午線(xiàn)吻合較好。

不同靜水壓力下偏平面上的包絡(luò)線(xiàn)如圖5所示，隨著靜水壓力的增大，偏平面上的強(qiáng)度包絡(luò)線(xiàn)逐漸由三角形向圓形過(guò)渡，符合混凝土破壞曲面的基本特征。圖5還清楚顯示了拉、壓子午線(xiàn)之間的動(dòng)態(tài)強(qiáng)度隨著相似角的變化規(guī)律。在定比例加載時(shí)，隨著應(yīng)變率增加，相似角不變，八面體正應(yīng)力和剪應(yīng)力為線(xiàn)性比例增加。隨相似角的改變，拉、壓子午線(xiàn)之間的破壞曲線(xiàn)可視為隨應(yīng)變率的增加平行外擴(kuò)；而在定側(cè)壓加載時(shí)，隨著應(yīng)變率的增加，相似角發(fā)生變化，但變化幅度很小。

圖5 偏平面上的強(qiáng)度包絡(luò)線(xiàn)Fig.5 Ultimate strength envelope in the deviatoric plane

4 結(jié) 語(yǔ)

本文基于Ottosen強(qiáng)度準(zhǔn)則模型，在八面體應(yīng)力空間內(nèi)建立了考慮應(yīng)變率效應(yīng)和混凝土強(qiáng)度等級(jí)的統(tǒng)一多軸靜、動(dòng)態(tài)強(qiáng)度準(zhǔn)則，強(qiáng)度準(zhǔn)則中的材料參數(shù)通過(guò)試驗(yàn)的特征應(yīng)力點(diǎn)確定。

結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析可得：①混凝土的fcc／fc值隨著混凝土強(qiáng)度的提高而變小，而ft／fc則隨著混凝土強(qiáng)度的增大先增大后減小，呈非單調(diào)性變化。②在相同的應(yīng)變率下，可以近似認(rèn)為雙軸動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度包絡(luò)線(xiàn)與加載方式無(wú)關(guān)。③隨相似角的改變，偏平面上拉、壓子午線(xiàn)之間的破壞曲線(xiàn)可視為隨應(yīng)變率的增加平行外擴(kuò)。

通過(guò)利用強(qiáng)度準(zhǔn)則得到的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，該強(qiáng)度準(zhǔn)則滿(mǎn)足混凝土破壞曲面連續(xù)、光滑、外凸等基本要求，能夠系統(tǒng)、全面地反映不同強(qiáng)度等級(jí)混凝土的多軸靜態(tài)和動(dòng)態(tài)強(qiáng)度變化規(guī)律，并可適用于多軸應(yīng)力狀態(tài)和不同應(yīng)變速率下的低強(qiáng)度混凝土，便于應(yīng)用于實(shí)際工程中。對(duì)于不同環(huán)境因素下的混凝土動(dòng)態(tài)強(qiáng)度準(zhǔn)則，需根據(jù)實(shí)際試驗(yàn)條件和試驗(yàn)數(shù)據(jù)重新標(biāo)定材料參數(shù)。

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Dynam ic strength criterion of concrete based on Ottosen model under multi?axial stress

JIANG Pei?qing，WANG Li?cheng
（State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China）

Due to the characteristic of the rate sensitivematerial，the changingmechanism of strength and stiffness of concrete structure under various strain rates are different.In addition to the complex stress state where concrete structure is subjected to dynamic loading such as earthquake，the effect of the strain rate is an important factor that can not be ignored.If projects are designed and calculated with strength theories of uniaxial tension，compression and shear，there will have great potential dangers in the construction and use of structure.Based on the Ottosen criterion model，in the present paper，by analysis ofmultiaxial static and dynamic strength test data of numerous concrete specimens，which are classified into different strength grades，a multiaxial dynamic strength criterion is reasonably established，in which both the strain rate effect and the strength of concrete are taken into account.The analysis results show that the predicted strength of the failure criterion is in good agreement with the basic requirements of continuity，smoothness and convexity and better reflects the dynamic strength change rule of ordinary concrete.Meanwhile，the strength criterion can be obtained just by the typical stress points，thus it has a simple expression form and is convenient for practical application to analysis of engineering structures.

concrete；Ottosen model；typical stress points；strain rate；dynamic strength criterion

TU37

A

1009－640X（2015）01－0074－08

10.16198／j.cnki.1009－640X.2015.01.011

2014－05－21

中國(guó)水利水電科學(xué)研究院流域水循環(huán)模擬與調(diào)控國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放研究基金資助項(xiàng)目（IWHR－SKL－

201309）；河海大學(xué)水文水資源與水利工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金資助項(xiàng)目（2013491711）

江培情（1991－），男，湖北麻城人，碩士研究生，主要從事混凝土多軸動(dòng)態(tài)特性方面的研究。

E?mail：dlmujpq＠163.com