王麗霞，李雙東

（安徽大學江淮學院公共基礎部，安徽合肥230031）

隨機微分博弈下帶有負債的保險公司最優(yōu)決策

王麗霞，李雙東

（安徽大學江淮學院公共基礎部，安徽合肥230031）

應用線性-二次控制方法，假定市場是保險公司博弈的虛擬對手，研究帶有負債情形下的保險公司與市場二人零和隨機微分博弈問題.假設保險公司的目標是最大化終值財富期望效用，分別在指數(shù)效用和冪效用下，求得保險公司的最優(yōu)投資策略與最優(yōu)再保險策略，最優(yōu)市場策略，并在最優(yōu)策略下求得值函數(shù)的表達式.最后通過指數(shù)效用下的數(shù)值算例，在市場最壞的情形，分別給出有無負債及有負債時不同的負債參數(shù)對保險公司最優(yōu)投資與再保險策略的影響.

負債；隨機微分博弈；線性二次控制；效用函數(shù)

YibinUniversity,2015,15(12):64-69.

近年來，運用隨機控制理論研究保險公司最優(yōu)投資及再保險策略問題成為學者們關注的熱點. Browne[1]首次應用隨機控制方法研究了擴散風險模型基于最大化生存概率準則和最大化指數(shù)效用準則的最優(yōu)投資問題，并給出最優(yōu)投資策略滿足的表達式.Bai[2]則給出擴散風險模型中最大化終值財富效用的是最優(yōu)投資與再保險策略.

多數(shù)學者對最優(yōu)投資的研究僅從投資者的角度出發(fā)，而未考慮到市場對投資者的影響.實際上，投資者的決策會隨著市場的改變而發(fā)生變化，因此，將市場的不確定性因素考慮進來，從投資者和市場兩個方面出發(fā)，所得模型將更符合實際，這就將問題轉化成了隨機微分博弈，即假定市場是投資者博弈的虛擬對手.很多學者對此作了研究，Mataramvura[3]利用隨機微分博弈思想研究了跳擴散金融市場中風險最小化情形下的投資組合問題.Elliott[4-5]研究了市場中兩個投資者作為競爭對手時而構成的二人零和隨機微分博弈問題，在風險最小化原則下的投資組合策略.

隨著隨機微分博弈思想在金融數(shù)學領域的應用和發(fā)展，一些學者開始基于該思想研究保險公司的最優(yōu)投資與再保險問題.Lin[6]運用線性二次控制方法研究了隨機微分博弈下保險公司的最優(yōu)投資策略.羅琰[7]和楊鵬[8]則在此基礎上考慮了再保險，在最大化終值財富期望效用準則下研究了隨機微分博弈下保險公司的最優(yōu)投資和再保險策略.

在實際中，許多投資者往往帶有負債，因此研究負債情形下的組合投資問題是風險管理中的重要問題.Xie[9]建立了負債與股票價格服從不同的布朗運動的情形下均值－方差模型，得到了最優(yōu)投資的顯示表達式.榮喜民[10]運用隨機控制理論通過求解相應的HJB方程給出了負債情形下基于最大化效用準則的最優(yōu)投資策略的表達式.楊鵬[11]則研究了負債情形下投資者與市場的隨機微分博弈，基于效用最大化原則，求解了最優(yōu)投資組合策略和市場策略.實際上，多數(shù)保險公司也帶有負債，但目前鮮有文獻基于微分博弈思想研究帶有負債的保險公司的最優(yōu)投資決策問題.

本文在文獻[8]的基礎上，在負債情形下，研究保險公司與市場之間的隨機微分博弈問題，以最大化期望效用為準則，分別在指數(shù)效用和冪效用下分析保險公司的最優(yōu)投資與再保險策略，最優(yōu)市場策略及值函數(shù)的表達式.并通過數(shù)值的例子，分析市場參數(shù)對所得結果的影響，尤其是負債過程對保險公司的投資及再保險策略的影響.

1 模型建立

1.1 再保險與投資模型

設(Ω,Ft,P)為一個完備的概率空間，P是一個完備概率測度，F(xiàn)t右連續(xù)，文中所有的隨機變量和隨機過程都定義在此概率空間上，W1(t)和W2(t)是兩個獨立的標準布朗運動.

假設保險公司的盈余過程滿足微分方程[8]dU(t)=αdt-βdW1(t),式中α＞0,β＞0均為常數(shù)，分別表示保險公司單位時間的平均索賠及索賠波動率，保費過程滿足dc(t)=(1+v)αdt,其中v＞0為保險公司的安全負載.故盈余過程滿足如下微分方程：

本文假設再保險策略比例再保險，再保險水平為a(t)(0≤a(t)≤1),當a(t)=1時表示保險公司完全分保，自留比例為0，當a(t)=0時表示沒有再保險，當a(t)＜0時表示公司接受新的分保.設再保險的安全負載為η，滿足η＞v.此時保險公司的盈余過程為

假設金融市場中有如下兩種金融資產(chǎn)：

（i）無風險資產(chǎn)（銀行賬戶），其價格演化方程為

其中r0＞0表示無風險利率.

（ii）風險資產(chǎn)，其價格演化方程為：上式中r＞r0,σ＞0為常數(shù).

設投資者在時刻t=0的初始財富為w(w＞0)，初始負債為l( ) l∈R,則投資者在初始時刻的財富凈值x0=w-l＞0.記L(t)為到達t時刻的累計負債，滿足:

其中c(t),d1(t),d2(t)均為時間t的確定函數(shù)，d1(t)表示由于保險公司保費及索賠的不確定性引起的負債波動率，d2(t)表示由于風險資產(chǎn)價格的波動引起的負債波動率.

保險公司除了可以進行再保險外還可以進行投資.設在t時刻投資于風險資產(chǎn)的投資額為π(t)，則投資于無風險資產(chǎn)的金額Xhl(t)-π(t)，其中Xhl(t)為再保險和投資策略為hl(t)=(a(t),π(t))下的盈余過程，結合(1)-(4)式，盈余過程Xhl(t)滿足如下隨機微分方程

定義：若hl(t)=( ) a(t),π(t)是Ft自適應的，對每個t∈[0,T]滿足，且隨機微分方程(5)對策略hl(t)=( ) a(t),π(t)有唯一強解，則稱之為可行策略.記所有可行策略的集合為H.

1.2 問題形成

本文假設保險公司以最大化終值財富期望效用為經(jīng)營目標，而市場則通過選擇適當?shù)母怕蕼y度最小化終值財富期望效用，以下引入市場控制的概率測度集，假設Ft可測的隨機過程{θ (t),t∈(0,T)}滿足，記滿足上述條件的θ(t)的全體集 合 為 Θ,對 于 每 個 θ(t),t∈(0,T),定 義如下：

對上式應有Ito?公式得

假設

{θ (t),t∈(0,T)}

幾乎處處有界，Zθ(0)= Z0(0 ＜Z0＜1),則Zθ(t)是(Ft,P )上的鞅，即有EZθ(T)=EZθ(0)=1.

假設u∶R→R為一個效用函數(shù)，滿足u'＞0, u''＜0（u是一個嚴格凸函數(shù)）.對每個策略hl= (a(t),π(t)),定義保險公司的終值財富在Pθ下的期望效用函數(shù)為：

其中Eθ是概率測度Pθ下的數(shù)學期望.

保險公司的策略選擇依賴于市場，即市場為博弈的主導者，則保險公司的目標是在市場最壞的情形選擇一個最優(yōu)策略hl(t)，最大化終值財富效用，即

這是保險公司與市場之間的二人零和隨機微分博弈問題，其中hl*=(a*(t),π*(t))為保險公司的最優(yōu)投資與再保險策略，θ*為最優(yōu)市場策略.解決該問題即要找到最優(yōu)策略(hl*,θ*)∈H×Θ和對應的值函數(shù)V(t,x,z).

2 最優(yōu)策略與值函數(shù)

本文分別在指數(shù)效用和對數(shù)效用下討論隨機微分博弈問題（7）的最優(yōu)解和值函數(shù).

2.1 指數(shù)效用函數(shù)

引理1g(t)滿足常微分方程：

則

證明：解常微分方程（8）即可得結論.

定理1在指數(shù)效用下，隨機微分博弈問題（7）中，保險公司的最優(yōu)再保險策略為

最優(yōu)投資策略為

市場的最優(yōu)策略為

對應的值函數(shù)滿足

其中g(t)滿足（9）式.

證明：令hl(·)和θ(·)為一組可行策略，Xhl(t)為滿足（5）式的控制過程，對應用Ito?公式，結合（8）式可得：

其中a*,π*,θ*分別滿足（10）-（12）式.對上式從t到T積分，并在條件Xhl(t)=x,Zθ(t)=z及概率測度Pθ下，取條件期望，得：

因為g(t)＞0,Zθ(t)＞0，故問題得證.

注1：定理1表明保險公司自身的負債不會影響市場的最優(yōu)策略，但由式（10）（11）知，市場波動引起的負債變化會對保險公司的最優(yōu)投資與最優(yōu)再保險策略造成一定的影響，最優(yōu)再保險策略隨著由保險公司保費及索賠的不確定性引起的負債波動率d1(t)的增大而減小，最優(yōu)投資策略則隨著由風險資產(chǎn)價格的波動引起的負債波動率d2(t)的增大而增大.

注2：若不考慮負債存在的情形，即當c(t)= d1(t)=d2(t)=0時，結論與文獻[8]中所得結論一致，因此本文是文獻[8]的推廣.

2.2 冪效用函數(shù)

引理2f(t)與h(t)滿足如下常微分方程

則

證明：解常微分方程即可得，求解過程略.

定理2 隨機微分博弈問題在冪效用下的最優(yōu)再保險策略為

最優(yōu)投資策略為

最優(yōu)市場策略為

值函數(shù)滿足

其中 f(t)與h(t)滿足（16）、（17）式.

證明：令hl(·)和θ(·)為一組可行策略，Xhl(t)滿足（5）式，對應用Ito?公式，結合（14）（15）式有：

其中a*,π*,θ*分別滿足（18）-（20）式，對上式從t到T積分，并在條件Xhl(t)=x,Zθ(t)=z及概率測度Pθ下，取條件期望，得：

故問題得證.

注3：當c(t)=d1(t)=d2(t)=0時，即若不考慮負債存在的情形，結論與文獻[8]一致.

3 數(shù)值分析

本節(jié)在指數(shù)效用下通過數(shù)值算例，闡述負債對保險公司最優(yōu)策略影響.

取α=1,v=0.5,η=0.8,r0=0.05,r=0.12,β= 1,σ=1,c=0.08,m=1,T=20，根據(jù)定理1分別比較有無負債及不同負債參數(shù)對投資及再保險策略的影響.

①比較有負債和無負債情形策略的不同，取d1=0.03,d2=0.05,從圖1可以看出，在市場最壞的情形，負債情形下的投資于風險資產(chǎn)的比例高于無風險資產(chǎn)的比例，事實上，如果不考慮負債，在上述數(shù)據(jù)下，保險公司將賣空風險資產(chǎn)(π*＜0)還對承保風險.圖2顯示負債情形下的再保險水平低于無負債情形.

②比較不同的負債參數(shù)對最優(yōu)投資與再保險的影響.由圖3知，在市場最壞的情況下，最優(yōu)投資策略是負債波動率d2(t)的增函數(shù)，由于d2(t)表示由于風險資產(chǎn)價格的波動引起的負債波動率.當其增大時，保險公司投資到風險資產(chǎn)的比例也相應增多；圖4則給出了負債波動率d1(t)對最優(yōu)再保險策略的影響，由于d1(t)表示由保險公司保費及索賠的不確定性引起的負債波動率，當這部分波動增大時，再保險水平將減小.

圖1 有負債與無負債情形最優(yōu)投資策略比較

圖2 有負債與無負債情形最優(yōu)再保險策略比較

圖3 不同負債對投資策略的影響

圖4 不同負債對再保險策略的影響

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【編校：許潔】

OptimalPoliciesforInsuranceCompanywithLiabilityunderStochasticDifferentialGames

WANGLixia,LIShuangdong
(DepartmentofGeneralCourses,JianghuaiCollegeofAnhuiUniversity,Hefei,Anhui230031,China)

Usinglinear-quadraticcontroltheory,takingmarketasinsurancecompany'svirtualopponent,azero-sumsto?chasticdifferentialgameproblembetweeninsurerandmarketwithliabilitywasinvestigated.Assumingthattheaimofthe insureristomaximizetheexpectedutilityofterminalwealth,underexponentialutilityandpowerutility,theexpressionof optimalreinsurancestrategies,investmentstrategiesandthebestmarketingstrategiesaswellasvaluefunctionwereob?tained.Finally,anumericalanalysiswasgiventoshowtheimpactofliabilitiesandmarketparametersontheoptimal strategiesunderexponentialutility.

liability;stochasticdifferentialgames;linear-quadraticcontrol;utilityfunction

O225；F840.32

A

1671-5365(2015)12-0064-06

王麗霞，李雙東.隨機微分博弈下帶有負債的保險公司最優(yōu)決策[J].宜賓學院學報,2015,15(12):64-69.

WANGLX,LISD.OptimalPoliciesforInsuranceCompanywithLiabilityunderStochasticDifferentialGames[J].Journalof

2015-08-04修回：2015-08-31

安徽省教育廳質量工程項目“基于數(shù)學建模思想的獨立學院學科競賽體系的研究”（2013jyxm525）；安徽大學江淮學院院級基金“帶投資的再保險模型的隨機微分博弈問題研究”（2014KJ0001）

王麗霞（1984-），女，講師，碩士，研究方向為風險精算理論

時間：2015-08-3116:35

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.z.20150831.1635.001.html